成人高考数学公式大全

湖南环球教育湖南环球教育 数学常用公式及常用数学常用公式及常用结论结论 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 集合 集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真子集有个 真子集有 1 个 非个 非 12 n a aa 2n2n 空子集有空子集有 1 个 非空的真子集有个 非空的真子集有 2 个个 2n2n 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶顶点式点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解解连连不等式不等式常有以下常有以下转转化形式化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 方程方程在在上有且只有一个上有且只有一个实实根根 与与不等价不等价 前前0 xf 21 kk0 21 kfkf 湖南环球教育湖南环球教育 者是后者的一个必要而不是充分条件者是后者的一个必要而不是充分条件 特特别别地地 方程方程 有且只有一个有且只有一个实实根在根在内内 等价于等价于 或或 0 0 2 acbxax 21 kk0 21 kfkf 且且 或或且且 0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 闭闭区区间间上的二次函数的最上的二次函数的最值值 二次函数二次函数在在闭闭区区间间上的最上的最值值只能在只能在 0 2 acbxaxxf qp 处处及区及区间间的两端点的两端点处处取得 具体如下 取得 具体如下 a b x 2 1 当当 a 0 时时 若 若 则则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当当 a0 1 则则的周期的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f xa f x 0 f x 或或 则则的周期的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则则的周期的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且且 则则的周的周 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa xf 期期 T 4a 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则则的周期的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则则的周期的周期 T 6a axfxfaxf xf 30 分数指数分数指数幂幂 湖南环球教育湖南环球教育 1 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 31 根式的性 根式的性质质 1 n n aa 2 当 当 为为奇数奇数时时 n nn aa 当当 为为偶数偶数时时 n 0 0 nn a a aa a a 32 有理指数 有理指数幂幂的运算性的运算性质质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 注 若若 a 0 p 是一个无理数 是一个无理数 则则 ap表示一个确定的表示一个确定的实实数 上述数 上述 有理指数有理指数幂幂的运算性的运算性质质 对对于无理数指数于无理数指数幂幂都适用都适用 33 指数式与指数式与对对数式的互化式数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对对数的数的换换底公式底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推推论论 且且 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对对数的四数的四则则运算法运算法则则 若若 a 0 a 1 M 0 N 0 则则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设设函数函数 记记 若若的定的定义义域域为为 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR 则则 且 且 若若的的值值域域为为 则则 且 且 对对于于的情形的情形 0 a0 xfR0 a0 0 a 需要需要单单独独检验检验 37 对对数数换换底不等式及其推广底不等式及其推广 湖南环球教育湖南环球教育 若若 则则函数函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当当时时 在在和和上上为为增函数增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当当时时 在在和和上上为为减函数减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推推论论 设设 且 且 则则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增平均增长长率的率的问题问题 如果原来如果原来产值产值的基的基础础数数为为 N 平均增 平均增长长率率为为 则对则对于于时间时间 的的px 总产值总产值 有 有 y 1 xyNp 39 数列的同数列的同项项公式与前公式与前 n 项项的和的关系的和的关系 数列数列的前的前 n 项项的和的和为为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 40 等差数列的等差数列的通通项项公式公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n 项项和公式和公式为为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的等比数列的通通项项公式公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n 项项的和公式的和公式为为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 湖南环球教育湖南环球教育 42 等比差数列等比差数列 的通的通项项公式公式为为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n 项项和公式和公式为为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭按揭贷贷款款 每次每次还还款款元元 贷贷款款 元元 次次还还清清 每期利率每期利率为为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常 常见见三角不等式三角不等式 1 若 若 则则 0 2 x sintanxxx 2 若若 则则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的正弦 余弦的诱导诱导公式公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅辅助角助角 所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 sincosab 22 sin ab a b n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 湖南环球教育湖南环球教育 tan b a 48 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x R 及函数及函数 x R A 为为常数 且常数 且sin yx cos yx A 0 0 的周期的周期 函数 函数 A 为为 2 T tan yx 2 xkkZ 常数 且常数 且 A 0 0 的周期的周期 T 51 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 面面积积定理定理 1 分分别别表示表示 a b c 边边上的高 上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC 中 有中 有 ABCCAB 湖南环球教育湖南环球教育 222 CAB 222 CAB 55 简单简单的三角方程的通解的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特特别别地地 有有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最最简单简单的三角不等式及其解集的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实实数与向量的数与向量的积积的运算律的运算律 设设 为实为实数 那么数 那么 1 结结合律 合律 a a 2 第一分配律 第一分配律 a a a 3 第二分配律 第二分配律 a b a b 58 向量的数量向量的数量积积的运算律 的运算律 1 a b b a 交 交换换律 律 2 a b a b a b a b 3 a b c a c b c 59 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e1 e 2是同一平面内的两个不共 是同一平面内的两个不共线线向量 那么向量 那么对对于于这这一平一平 面内的任一向量 有且只有一面内的任一向量 有且只有一对实对实数数 1 2 使得 使得 a 1e1 2e2 湖南环球教育湖南环球教育 不共不共线线的向量的向量 e1 e2叫做表示叫做表示这这一平面内所有向量的一一平面内所有向量的一组组基底 基底 60 向量平行的坐 向量平行的坐标标表示表示 设设 a b 且 且 b 0 则则 a b b 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 a 与与 b 的数量的数量积积 或内或内积积 a b a b cos 61 a b 的几何意的几何意义义 数量数量积积 a b 等于等于 a 的的长长度度 a 与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影 b cos 的的 乘乘积积 62 平面向量的坐平面向量的坐标标运算运算 1 设设 a b 则则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设设 a b 则则 a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设设 A B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设设 a 则则 a x yR xy 5 设设 a b 则则 a b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 两向量的两向量的夹夹角公式角公式 a b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 平面两点平面两点间间的距离公式的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a b 且 且 b 0 则则 11 x y 22 xy A bb a 1221 0 x yx y a b a 0 a b 0 1212 0 x xy y 66 线线段的定比分公式段的定比分公式 设设 是是线线段段的分点的分点 是是实实数 且数 且 则则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 湖南环球教育湖南环球教育 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐三角形的重心坐标标公式公式 ABC 三个三个顶顶点的坐点的坐标标分分别为别为 则则 ABC 的的 11 A x y 22 B x y 33 C x y 重心的坐重心的坐标标是是 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注注 图图形形 F 上的任意一点上的任意一点 P x y 在平移后在平移后图图形形 上的上的对应对应点点为为 F 且 且的坐的坐标为标为 P x y PP h k 69 按向量平移按向量平移 的几个的几个结论结论 1 点 点按向量按向量 a 平移后得到点平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数函数的的图图象象 按向量按向量 a 平移后得到平移后得到图图象象 则则 的的 yf x C h k C C 函数解析式函数解析式为为 yf xhk 3 图图象象 按向量按向量 a 平移后得到平移后得到图图象象 若若 的解析式的解析式 C h kCC yf x 则则 的函数解析式的函数解析式为为 C yf xhk 4 曲曲线线 按向量按向量 a 平移后得到平移后得到图图象象 则则 的方程的方程为为C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量向量 m 按向量按向量 a 平移后得到的向量仍然平移后得到的向量仍然为为 m x y h k x y 70 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件向量形式的充要条件 设设 为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所所对边长对边长分分别为别为 则则OABC A B C a b c 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 3 为为的垂心的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为为的内心的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为为的的的旁心的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 常用不等式 常用不等式 1 当且当且仅仅当当 a b 时时取取 号号 a bR 22 2abab 2 当且当且仅仅当当 a b 时时取取 号号 a bR 2 ab ab 湖南环球教育湖南环球教育 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 72 极极值值定理定理 已知已知都是正数 都是正数 则则有有yx 1 若 若积积是定是定值值 则则当当时时和和有最小有最小值值 xypyx yx p2 2 若和 若和是定是定值值 则则当当时积时积有最大有最大值值 yx syx xy 2 4 1 s 推广推广 已知已知 则则有有Ryx xyyxyx2 22 1 若 若积积是定是定值值 则则当当最大最大时时 最大 最大 xy yx yx 当当最小最小时时 最小最小 yx yx 2 若和 若和是定是定值值 则则当当最大最大时时 最小 最小 yx yx xy 当当最小最小时时 最大最大 yx xy 73 一元二次不等式一元二次不等式 如果 如果 与与 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 同号 同号 则则其解集在两根之外 如果其解集在两根之外 如果 与与异号 异号 则则其其 2 axbxc a 2 axbxc 解集在两根之解集在两根之间间 简简言之 同号两根之外 异号两根之言之 同号两根之外 异号两根之间间 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 74 含有含有绝对值绝对值的不等式的不等式 当当 a 0 时时 有 有 2 2 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 75 无理不等式无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 湖南环球教育湖南环球教育 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 76 指数不等式与指数不等式与对对数不等式数不等式 1 当当时时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当当时时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直直线线的五种方程的五种方程 1 点斜式 点斜式 直直线线 过过点点 且斜率 且斜率为为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 斜截式 b 为为直直线线 在在 y 轴轴上的截距上的截距 ykxb l 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式截距式 分分别为别为直直线线的横 的横 纵纵截距 截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 一般式 其中其中 A B 不同不同时为时为 0 0AxByC 79 两条直两条直线线的平行和垂直的平行和垂直 1 若若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若若 且且 A1 A2 B1 B2都不都不为为零零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 湖南环球教育湖南环球教育 80 夹夹角公式角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直直线线时时 直 直线线 l1与与 l2的的夹夹角是角是 12 ll 2 81 到到 的角公式的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直直线线时时 直 直线线 l1到到 l2的角是的角是 12 ll 2 82 四种常用直 四种常用直线线系方程系方程 1 定点直定点直线线系方程 系方程 经过经过定点定点的直的直线线系方程系方程为为 000 P xy 除直除直线线 其中其中 是待定的系数是待定的系数 经过经过定点定点 00 yyk xx 0 xx k 的直的直线线系方程系方程为为 其中其中是待定的系数 是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 2 共点直共点直线线系方程 系方程 经过经过两直两直线线 的的 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 交点的直交点的直线线系方程系方程为为 除除 其中 其中 是是 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 待定的系数 待定的系数 3 平行直平行直线线系方程 直系方程 直线线中当斜率中当斜率 k 一定而一定而 b 变动时变动时 ykxb 表示平行直表示平行直线线系方程 与直系方程 与直线线平行的直平行的直线线系方程是系方程是0AxByC 是参是参变变量 量 0AxBy 0 4 垂直直垂直直线线系方程 与直系方程 与直线线 A 0 B 0 垂直的直垂直的直线线0AxByC 系方程是系方程是 是参是参变变量 量 0BxAy 83 点到直点到直线线的距离的距离 点点 直直线线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 湖南环球教育湖南环球教育 84 或或所表示的平面区域所表示的平面区域0AxByC 0 设设直直线线 则则或或所表示的平面区域是 所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若若 当 当 与与同号同号时时 表示直 表示直线线 的上方的区域 当的上方的区域 当 与与0B BAxByC lB 异号异号时时 表示直 表示直线线 的下方的区域的下方的区域 简简言之言之 同号在上同号在上 异号异号AxByC l 在下在下 若若 当 当 与与同号同号时时 表示直 表示直线线 的右方的区域 当的右方的区域 当 与与0B AAxByC lA 异号异号时时 表示直 表示直线线 的左方的区域的左方的区域 简简言之言之 同号在右同号在右 异异AxByC l 号在左号在左 85 或或所表示的平面区域所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设设曲曲线线 则则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或或所表示的平面区域是 所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 86 圆圆的四种方程的四种方程 1 圆圆的的标标准方程准方程 222 xaybr 2 圆圆的一般方程的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆圆的参数方程的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆圆的直径式方程的直径式方程 圆圆的直径的端点是的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 87 圆圆系方程系方程 1 过过点点 的的圆圆系方程是系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中其中是直是直线线的方的方 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc AB 程程 是待定的系数 是待定的系数 2 过过直直线线 与与圆圆 的交点的的交点的圆圆系方程系方程l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是是 是待定的系数 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 3 过圆过圆 与与圆圆 的交点的的交点的 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 圆圆系方程是系方程是 是待定的系是待定的系 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 湖南环球教育湖南环球教育 数 数 88 点与点与圆圆的位置关系的位置关系 点点与与圆圆的位置关系有三种的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若若 则则 22 00 daxby 点点 在在圆圆外外 点点 在在圆圆上上 点点 在在圆圆内内 dr Pdr Pdr P 89 直直线线与与圆圆的位置关系的位置关系 直直线线与与圆圆的位置关系有三种的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中其中 22 BA CBbAa d 90 两两圆圆位置关系的判定方法位置关系的判定方法 设设两两圆圆圆圆心分心分别为别为 O1 O2 半径分 半径分别为别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 91 圆圆的切的切线线方程方程 1 已知已知圆圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点在在圆圆上 上 则则切切线线只有一条 其方程是只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当当圆圆外外时时 表示表示过过两个切点的两个切点的 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 切点弦方程 切点弦方程 过圆过圆外一点的切外一点的切线线方程可方程可设为设为 再利用相切条 再利用相切条 00 yyk xx 件求件求 k 这时这时必有两条切必有两条切线线 注意不要漏掉平行于 注意不要漏掉平行于 y 轴轴的切的切 线线 斜率斜率为为 k 的切的切线线方程可方程可设为设为 再利用相切条件求 再利用相切条件求 b ykxb 湖南环球教育湖南环球教育 必有两条切必有两条切线线 2 已知已知圆圆 222 xyr 过圆过圆上的上的点的切点的切线线方程方程为为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率斜率为为 的的圆圆的切的切线线方程方程为为 k 2 1ykxrk 92 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 93 椭圆椭圆焦半径公式焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 94 椭圆椭圆的的内外部的的内外部 1 点 点在在椭圆椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点 点在在椭圆椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 95 椭圆椭圆的切的切线线方程方程 1 椭圆椭圆上一点上一点处处的切的切线线方程是方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆过椭圆外一点外一点所引两条切所引两条切线线的切点的切点 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 弦方程是弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆椭圆与直与直线线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 96 双曲双曲线线的焦半径公式的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 双曲双曲线线的内外部的内外部 1 点点在双曲在双曲线线的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点点在双曲在双曲线线的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 98 双曲双曲线线的方程与的方程与渐渐近近线线方程的关系方程的关系 湖南环球教育湖南环球教育 1 若双曲 若双曲线线方程方程为为渐渐近近线线方程 方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若若渐渐近近线线方程方程为为双曲双曲线线可可设为设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲若双曲线线与与有公共有公共渐渐近近线线 可 可设为设为1 2 2 2 2 b y a x 焦点在 焦点在 x 轴轴上 上 焦点在 焦点在 y 轴轴上 上 2 2 2 2 b y a x 0 0 99 双曲双曲线线的切的切线线方程方程 1 双曲双曲线线上一点上一点处处的切的切线线方程是方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过过双曲双曲线线外一点外一点所引两条切所引两条切线线的切的切 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 点弦方程是点弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 双曲 双曲线线与直与直线线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 100 抛物抛物线线的焦半径公式的焦半径公式pxy2 2 抛物抛物线线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过过焦点弦焦点弦长长 pxx p x p xCD 2121 22 101 抛物抛物线线上的上的动动点可点可设为设为 P或或 P pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 其中其中 2 2ypx 102 二次函数二次函数的的图图象是抛物象是抛物线线 1 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 顶顶点坐点坐标为标为 2 焦点的坐 焦点的坐标为标为 3 准 准线线 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 方程是方程是 2 41 4 acb y a 103 抛物抛物线线的内外部的内外部 1 点点在抛物在抛物线线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点点在抛物在抛物线线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 湖南环球教育湖南环球教育 2 点点在抛物在抛物线线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点点在抛物在抛物线线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点点在抛物在抛物线线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点点在抛物在抛物线线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点点在抛物在抛物线线的内部的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点点在抛物在抛物线线的外部的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 104 抛物抛物线线的切的切线线方程方程 1 抛物抛物线线上一点上一点处处的切的切线线方程是方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 过过抛物抛物线线外一点外一点所引两条切所引两条切线线的切点弦方程的切点弦方程pxy2 2 00 P xy 是是 00 y yp xx 3 抛物 抛物线线与直与直线线相切的条件是相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 105 两个常两个常见见的曲的曲线线系方程系方程 1 过过曲曲线线 的交点的曲的交点的曲线线系方程是系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为为参数参数 12 0f x yfx y 2 共焦点的有心共焦点的有心圆锥圆锥曲曲线线系方程系方程 其中其中 当当 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 时时 表示表示椭圆椭圆 当当时时 表示双曲表示双曲线线 22 min ka b 2222 min max a bka b 106 直直线线与与圆锥圆锥曲曲线线相交的弦相交的弦长长公式公式 或或 22 1212 ABxxyy 弦端点 弦端点 A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 由方程 由方程 消去消去 y 得到得到 为为直直 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 线线的的倾倾斜角 斜角 为为直直线线的斜率 的斜率 ABk 107 圆锥圆锥曲曲线线的两的两类对类对称称问题问题 1 曲 曲线线关于点关于点成中心成中心对对称的曲称的曲线线是是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲 曲线线关于直关于直线线成成轴对轴对称的曲称的曲线线是是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108 四四线线 一方程一方程 对对于一般的二次曲于一般的二次曲线线 用 用代代 用 用代代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 用 用代代 用 用代代 用 用代代 即得方程即得方程 2 y 00 2 x yxy xy 0 2 xx x 0 2 yy y 湖南环球教育湖南环球教育 曲 曲线线的切的切线线 切点弦 中 切点弦 中 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 点弦 弦中点方程均是此方程得到点弦 弦中点方程均是此方程得到 109 证证明直明直线线与直与直线线的平行的思考途径的平行的思考途径 1 转转化化为为判定共面二直判定共面二直线线无交点 无交点 2 转转化化为为二直二直线线同与第三条直同与第三条直线线平行 平行 3 转转化化为线为线面平行 面平行 4 转转化化为线为线面垂直 面垂直 5 转转化化为为面面平行面面平行 110 证证明直明直线线与平面的平行的思考途径与平面的平行的思考途径 1 转转化化为为直直线线与平面无公共点 与平面无公共点 2 转转化化为线线为线线平行 平行 3 转转化化为为面面平行面面平行 111 证证明平面与平面平行的思考途径明平面与平面平行的思考途径 1 转转化化为为判定二平面无公共点 判定二平面无公共点 2 转转化化为线为线面平行 面平行 3 转转化化为线为线面垂直面垂直 112 证证明直明直线线与直与直线线的垂直的思考途径的垂直的思考途径 1 转转化化为为相交垂直 相交垂直 2 转转化化为线为线面垂直 面垂直 3 转转化化为线为线与另一与另一线线的射影垂直 的射影垂直 4 转转化化为线为线与形成射影的斜与形成射影的斜线线垂直垂直 113 证证明直明直线线与平面垂直的思考途径与平面垂直的思考途径 1 转转化化为该为该直直线线与平面内任一直与平面内任一直线线垂直 垂直 2 转转化化为该为该直直线线与平面内相交二直与平面内相交二直线线垂直 垂直 3 转转化化为该为该直直线线与平面的一条垂与平面的一条垂线线平行 平行 4 转转化化为该为该直直线线垂直于另一个平行平面 垂直于另一个平行平面 5 转转化化为该为该直直线线与两个垂直平面的交与两个垂直平面的交线线垂直垂直 114 证证明平面与平面的垂直的思考途径明平面与平面的垂直的思考途径 湖南环球教育湖南环球教育 1 转转化化为为判断二面角是直二面角 判断二面角是直二面角 2 转转化化为线为线面垂直面垂直 115 空空间间向量的加法与数乘向量运算的运算律向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交加法交换换律 律 a b b a 2 加法加法结结合律 合律 a b c a b c 3 数乘分配律 数乘分配律 a b a b 116 平面向量加法的平行四平面向量加法的平行四边边形法形法则则向空向空间间的推广的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这这三个三个 向量向量为为棱的平行六面体的以公共始点棱的平行六面体的以公共始点为为始点的始点的对对角角线线所表示的所表示的 向量向量 117 共共线线向量定理向量定理 对对空空间间任意两个向量任意两个向量 a b b 0 a b存在存在实实数数 使使 a b 三点共三点共线线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共共线线且且不共不共线线且且不共不共线线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 118 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p 与两个不共与两个不共线线的向量的向量 a b 共面的共面的存在存在实实数数对对 使使 x y paxby 推推论论 空空间间一点一点 P 位于平面位于平面 MAB 内的内的存在有序存在有序实实数数对对 使使 x y MPxMAyMB 或或对对空空间间任一定点任一定点 O 有序 有序实实数数对对 使 使 x yOPOMxMAyMB 119 对对空空间间任一点任一点 和不共和不共线线的三点的三点 A B C 满满足足O 则则当当时时 对对于空于空间间任一点任一点 总总OPxOAyOBzOC xyzk 1k O 有有 P A B C 四点共面 当四点共面 当时时 若 若平面平面 ABC 则则1k O P A B C 四点共面 若四点共面 若平面平面 ABC 则则 P A B C 四点不共四点不共O 面 面 四点共面四点共面与与 共面共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面平面 ABC 1 ODxy OAxOByOC O 120 空空间间向量基本定理向量基本定理 湖南环球教育湖南环球教育 如果三个向量如果三个向量 a b c 不共面 那么不共面 那么对对空空间间任一向量任一向量 p 存在一个 存在一个 唯一的有序唯一的有序实实数数组组 x y z 使 使 p xa yb zc 推推论论 设设 O A B C 是不共面的四点 是不共面的四点 则对则对空空间间任一点任一点 P 都 都 存在唯一的三个有序存在唯一的三个有序实实数数 x y z 使 使 OPxOAyOBzOC 121 射影公式射影公式 已知向量已知向量 a 和和轴轴 e 是是 上与上与 同方向的同方向的单单位向量位向量 作作 A 点在点在AB lll 上的射影上的射影 作 作 B 点在点在 上的射影上的射影 则则l Al B a e a e cosABAB 122 向量的直角坐向量的直角坐标标运算运算 设设 a b 则则 123 a a a 123 b b b 1 a b 112233 ab ab ab 2 a b 112233 ab ab ab 3 a R 123 aaa 4 a b 1 1223 3 aba ba b 123 设设 A B 则则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 124 空 空间间的的线线线线平行或垂直平行或垂直 设设 则则 111 ax y z r 222 bxyz r a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 125 夹夹角公式角公式 设设 a b 则则 123 a a a 123 b b b cos a b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推推论论 此即三 此即三维维柯西不等式柯西不等式 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 126 四面体的四面体的对对棱所成的角棱所成的角 四面体四面体中中 与与所成的角所成的角为为 则则ABCDACBD 湖南环球教育湖南环球教育 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直 异面直线线所成角所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 其中 为为异面直异面直线线所成角 所成角 分分别别表示异面直表示异面直线线 090 oo a b a b r r 的方向向量 的方向向量 a b 128 直直线线与平面所成角与平面所成角AB 为为平面平面 的法向量的法向量 sin AB m arc AB m m 129 若若所在平面若所在平面若 与与过过若若的平面的平面 成的角成的角 另两另两边边 ABC AB AC 与平面与平面 成的角分成的角分别别是是 为为的两个内角 的两个内角 则则BC 1 2 AB ABC 22222 12 sinsin sinsin sinAB 特特别别地地 当当时时 有有90ACB 222 12 sinsinsin 130 若若所在平面若所在平面若 与与过过若若的平面的平面 成的角成的角 另两另两边边 ABC AB AC 与平面与平面 成的角分成的角分别别是是 为为的两个内角 的两个内角 则则BC 1 2 AB ABO 222 2 2 12 tantan sinsin tanAB 特特别别地地 当当时时 有有90AOB 222 12 sinsinsin 131 二面角二面角的平面角的平面角l 或或 为为平面平面 的法向量 的法向量 cos m n arc m n cos m n arc m n m n 132 三余弦定理三余弦定理 设设 AC 是是 内的任一条直内的任一条直线线 且 且 BC AC 垂足 垂足为为 C 又 又设设 AO 与与 AB 所成的角所成的角为为 AB 与与 AC 所成的角所成的角为为 AO 与与 AC 所成所成 1 2 的角的角为为 则则 12 coscoscos 133 三射三射线线定理定理 若若夹夹在平面角在平面角为为 的二面角的二面角间间的的线线段与二面角的两个半平面所段与二面角的两个半平面所 湖南环球教育湖南环球教育 成的角是成的角是 与二面角的棱所成的角是与二面角的棱所成的角是 则则有有 1 2 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 当且当且仅仅当当时时等号成立等号成立 1212 180 90 134 空空间间两点两点间间的距离公式的距离公式 若若 A B 则则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 135 点点 到直到直线线 距离距离Ql 点点 在直在直线线 上 直上 直线线 的方向向量的方向向量 a 向量 向量 22 1 ha ba b a PllPA b PQ 136 异面直异面直线间线间的距离的距离 是两异面直是两异面直线线 其公垂向量 其公垂向量为为 分分别别是是上任上任 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 一点 一点 为为间间的距离的距离 d 12 l l 137 点点 到平面到平面 的距离的距离 B 为为平面平面 的法向量 的法向量 是是经过经过面面 的一条斜的一条斜线线 AB n d n n AB A 138 异面直异面直线线上两点距离公式上两点距离公式 222 2cosdhmnmn 222 2cos dhmnmnEA AF 222 2cosdhmnmn EAAF 两条异面直两条异面直线线 a b 所成的角所成的角为为 其公垂 其公垂线线段段的的长长度度为为 h AA 在直在直线线 a b 上分上分别别取两点取两点 E F AEm AFn EFd 139 三个向量和的平方公式三个向量和的平方公式 222 2 222abcabca bb cc a 222 2 cos 2 cos 2 cos abcaba bbcb ccac a 140 长长度度为为 的的线线段在三条两两互相垂直的直段在三条两两互相垂直的直线线上的射影