正态分布课件

8 3正态分布曲线 1 两点分布 3 超几何分布 2 二项分布 一 复习回顾 你是否认识它 二 创设情境 图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子 它们彼此的距离均相等 上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间 从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球 当小圆球向下降落过程中 碰到钉子后皆以1 2的概率向左或向右滚下 于是又碰到下一层钉子 如此继续下去 直到滚到底板的一个格子内为止 把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下 只要球的数目相当大 它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形 即 中间高 两头低 呈左右对称的古钟型 其中n为钉子的层数 这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型 称为高尔顿钉板 或高尔顿板 三 探究思考 1 我们也来玩一玩 思考 随着试验次数和分组数的增多 频率直方图的形状会呈现什么样的变化 结论 在上面游戏中得到的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象 1 正态曲线的定义 函数 式中的实数 0 是参数 分别表示总体的平均数与标准差 称P x 的图象称为正态曲线 四 定义 思考 2 上面的表达式有什么特点 3 回忆一下前面学习必修1时我们学习函数 可以从哪些方面研究它 答 定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性等 归纳 总结 曲线位于 x 轴上方 与 x 轴不相交 曲线是单峰的 它关于 对称 曲线在 处达到峰值 曲线与 轴之间的面积为 1 x x 曲线是单峰的 它关于 对称 曲线在 处达到峰值 曲线与 轴之间的面积为 1 归纳 总结 1 思考 式子中有两个变化的参数 我们可以看成两个变量 但是双变量会对我们的研究造成一定的困难 同学们有什么好的办法吗 针对解析式中含有两个参数 较难独立分析参数对曲线的影响 这里通过固定一个参数 讨论另一个参数对图象的影响 这样的处理大大降低了难度 2 观察 归纳 总结 1 0 1 O 1 当 一定时 曲线随 的变化而沿x轴平移 2 当 一定时 影响了曲线的形状 即 越小 则曲线越瘦高 表示总体分布越集中 越大 则曲线越矮胖 表示总体分布越分散 结论 x y 0ab 五 正态分布 则称X的分布为正态分布 正态分布由参数m s唯一确定 m s分别表示总体的平均数与标准差 正态分布记作N m s2 其图象称为正态曲线 如果对于任何实数a b 随机变量X满足 记作 X N m s2 EX mDX s 2 定义 3 标准正态分布 六 3 原则 对于正态分布 随机变量X在 的附近取值的概率较大 在离 很远处取值的概率较小 七 有关正态分布的随机变量的有关概率计算 知识点1 标准正态分布的随机变量的有关概率可以通过查表 见附录1 标准正态分布表 1 正态分布密度函数及正态曲线完全由变量 和 确定 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数 可以用样本的均值去估计 是衡量随机变量总体波动大小的特征数 可以用样本的标准差去估计 2 对于正态曲线的性质 应结合正态曲线的特点去理解 记忆 例1 如图所示是一个正态曲线 试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式 求出总体随机变量的期望和方差 思路点拨 给出了一个正态曲线 就给出了该曲线的对称轴和最大值 从而就能求出总体随机变量的期望 标准差及解析式 一点通 利用正态曲线的性质可以求参数 具体方法如下 1 正态曲线是单峰的 它关于直线x 对称 由此性质结合图象求 2 正态曲线在x 处达到峰值 由此性质结合图象可求 答案 B 解析 由 的意义可知 图象越瘦高 数据越集中 2越小 故有 1 2 3 答案 A 例2 在某项测量中 测量结果服从正态分布N 1 4 求正态总体X在 1 1 内取值的概率 思路点拨 解答本题可先求出X在 1 3 内取值的概率 然后由正态曲线关于x 1对称知 X在 1 1 内取值的概率就等于在 1 3 内取值的概率的一半 一点通 解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性 把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化 在此过程中注意数形结合思想的运用 3 若随机变量X N 2 则P X 4 设随机变量X服从正态分布N 2 9 若P X c 1 P X c 1 则c 答案 2 5 若X N 5 1 求P 5 X 7 例3 10分 据调查统计 某市高二学生中男生的身高X 单位 cm 服从正态分布N 174 9 若该市共有高二男生3000人 试估计该市高二男生身高在 174 180 范围内的人数 思路点拨 因为 174 3 所以可利用正态分布的性质可以求解 精解详析 因为身高X N 174 9 所以 174 3 2分 所以 2 174 2 3 168 2 174 2 3 180 所以身高在 168 180 范围内的概率为0 9544 6分 又因为 174 所以身高在 168 174 和 174 180 范围内的概率相等 均为0 4772 故该市高二男生身高在 174 180 范围内的人数是3000 0 4772 1432 人 10分 一点通 解决此类问题一定要灵活把握3 原则 将所求概率向P X P 2 X 2 P 3 X 3 进行转化 然后利用特定值求出相应的概率 同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质 1 已知X N 0 1 则X在区间内取值的概率A 0 9544B 0 0456C 0 9772D 0 0228 2 设离散型随机变量X N 0 1 则 D 0 5 0 9544 3 若已知正态总体落在区间的概率为0 5 则相应的正态曲线在x 时达到最高点 0 3 4 已知正态总体的数据落在 3 1 里的概率和落在 3 5 里的概率相等 那么这个正态总体的数学期望是 1 练一练 因为P 3 X 3 0 9974 所以正态总体X几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 0026 这是一个小概率事件 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 这是统计中常用的假设检验基本思想 1 正态曲线态变量概率密度曲线的函数表达式为f x e x R 其中参数 为正态分布变量的 为正态分布变量的 正态变量的概率密度函数 即f x 的叫做正态曲线 期望为 标准差为 的正态分布通常记作 0 1的正态分布叫 数学期望 标准差 0 图象 N 2 标准正态分布 2 正态曲线的性质 1 曲线在x轴的 并且关于直线对称 2 曲线在时处于最高点 并由此处向左右两边延伸时 曲线逐渐 呈现 的形状 3 曲线的形状由参数 确定 越 曲线 矮胖 越 曲线越 高瘦 上方 x x 降低 中间高 两边低 大 小 3 正态分布的3 原则P X 68 3 P 2 X 2 P 3