定积分的应用课件

内容提要1 元素法 2 平面图形的面积 3 立体的体积 教学要求1 熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题 2 熟悉各种平面面积的积分表达方法 3 熟练掌握应用微元法求体积的方法 4 能用定积分表达某些物理量 定积分的应用 回顾 用定积分求曲边梯形面积的问题 及直线 所围成的曲边梯形的面积 其求解步骤如下 一 定积分的微元法 第一步 分割 将区间 任意分成 个小区间 由此曲边梯形就相应地分成 个小曲边梯形 第二步 近似 形面积之和 即 所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯 为底 的小矩形面积 近似代替小曲边梯形面积 第三步 求和 第四步 取极限 总结 上述四步中 由第一步知 有关 部分量的和 可加性 分成许多小区间 的面积A这个量就相应地分成许多部分量 如果把区间 具有 这种性质称为所求量A对区间 则所求 而A是所有 所求面积A这个量与 就是定积分的被积表达式 上述第二步中的近似表达式 可确定定积分的被积表达式 方法是 于是有 再将区间 则 可写为 称 为面积A的微元 于是 即 记为 一般地 当所求量F符合下列条件 以上方法称为 这就给出了定积分的被积表达式 于是 微元法 微元法解决实际问题的一般步骤如下 1 根据问题的具体情况 选取一个变量 例如取 为积分变量 并确定它的变化区间 以上步骤要熟练掌握 如 平面图形的面积 引力和平均值 液体的压力 变力做功 平面曲线的弧长 体积 注意微元法解决实际问题的使用对象 具有可加性的量 等等 二 平面图形的面积 1 如果 则 S S 即 一 在直角坐标系下的面积问题 如图 则 用微元法 用微元法 所围成的图形 例1计算由抛物线 的面积A 解 用微元法 确定积分区间 解 方法一 选择x作积分变量 从而得到积分区间 区间上任取一小区 间 dA 面积微元 确定积分区间 面积微元 方法二 选择y作积分变量 解得y 0 y 1 从而得到积分区间 区间上任取一小区 间 1 y y dy dA 解 求两曲线的交点 选为积分变量 选x作积分变量时 需求 两块面积 作面积微元dA dA 成的图形的面积 解 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 注意 如果曲边梯形的曲边 的方程为参数方程 曲边梯形的面积 由上例可知 解 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 注意 面积微元 曲边扇形的面积 二 在极坐标系下的面积问题 所围成的图形 称为曲边扇形 解 用微元法 解 解 所围平面图形的面积A 例2求心形线 解 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 求双纽线 所围平面图形的面积 2 在极坐标系下的面积问题 三 体积 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 一 旋转体的体积 由一个平面图形绕这个平面内一条 直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 取横坐标x为积分变量 一般地 由连续曲线 直线 的立体 它的变化区间为 相应于 上任一小区 小曲边梯形 绕x轴旋转而成的薄片 近似地等于以f x 为底面半径 dx为高的圆柱体的 体积 即体积微元为 于是 在闭区间 a b 上作定积分 得所求旋转体 体积为 的体积 例 1 圆锥体的体积 解 直线的方程为 利用旋转体体积公式 知 例2计算椭圆 绕x轴旋转而形成的旋转体 的体积 解 这个旋转体可以看成 以半个椭圆 绕x轴旋转而成的立体 取积分变量为x 利用旋转体体积公式 知 所求的体积为 求星形线 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积 解 由旋转体的体积公式 知 直线 绕y轴旋转 体积为 熟记 一周而成的立体 旋转一周而成的旋转体的 体积 图形 解 二 平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体位于过点x a x b且垂直于x轴的两平面之间 从而 用垂直于x轴的任一平面截此立体所得的截面积A x 是x的已知函数 取x为积分变量 在区间 a b 上任取一小区间 过其端点作垂直x轴的平面 作体积微元 x x dx 以A x 为底 dx为高作柱体 用微元法 解 取坐标系如图 底半圆方程为 截面面积 立体体积 而垂直于底面上一条固 定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积 解 设截面面积为 取坐标系如图 底圆方程 解 设截面面积为 恰当的选择积分变量有助于简化积分运算 小结 1 在直角坐标系下的面积问题 注意 2 旋转体的体积 3 平行截面面积为已知的立体的体积 平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积 平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积 掌握 理解 求摆线 的一拱与 所围成的 x 轴 旋转构