2012年北京中考数学试卷(含答案).pdf

1 2012年中考数学卷精析版 北京卷 本试卷满分120 分 考试时间120 分钟 一 选择题 本题共32 分 每小题4 分 下面各题均有四个选项 其中只有一个是符合题意的 3 2012 北京市 4 分 正十边形的每个外角等于 A 18 B 36 C 45 D 60 答案 B 考点 多边形外角性质 分析 根据外角和等于3600的性质 得正十边形的每个外角等于3600 10 360 故选 B 4 2012 北京市 4 分 下图是某个几何体的三视图 该几何体是 A 长方体B 正方体C 圆柱D 三棱柱 答案 D 考点 由三视图判断几何体 2 分析 主视图 左视图 俯视图是分别从物体正面 左面和上面看 所得到的图形 由于主视图和左视 图为矩形 可得为柱体 俯视图为三角形可得为三棱柱 故选D 5 2012 北京市 4 分 班主任王老师将6 份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中 准备将它们奖 给小英等6位获 爱集体标兵 称号的同学 这些奖品中3 份是学习文具 2 份是科普读物 1 份是科技馆通 票 小英同学从中随机取一份奖品 恰好取到科普读物的概率是 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 答案 B 考点 概率 分析 根据概率的求法 找准两点 全部等可能情况的总数 符合条件的情况数目 二者的比值就 是其发生的概率 本题全部等可能情况的总数6 取到科普读物的情况是2 取到科普读物的概率是 21 63 故选 B 6 2012 北京市 4 分 如图 直线AB CD 交于点 O 射线 OM 平分 AOD 若 BOD 76 0 则 BOM 等于 A 38 B 104 C 142D 144 答案 C 考点 角平分线定义 对顶角的性质 补角的定义 分析 由 BOD 76 0 根据对顶角相等的性质 得 AOC 76 0 根据补角的定义 得 BOC 104 0 由射线 OM 平分 AOD 根据角平分线定义 COM 38 0 BOM COM BOC 142 0 故选 C 7 2012 北京市 4 分 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20 户家庭某月的用电量 如下表所 示 用电量 度 120 140 160 180 200 户数2 3 6 7 2 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 A 180 160 B 160 180 C 160 160 D 180 180 答案 A 考点 众数 中位数 分析 众数是在一组数据中 出现次数最多的数据 这组数据中 出现次数最多的是180 故这组 3 数据的众数为180 中位数是一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后 最中间的那个数 最中间两个数的平均 数 由此将这组数据重新排序为120 120 140 140 140 160 160 160 160 160 160 180 180 180 180 180 180 180 200 200 中位数是第10 和 11 个平均数 它们都是160 故这组数据的中 位数为 160 故选 A 8 2012 北京市 4 分 小翔在如图1 所示的场地上匀速跑步 他从点A 出发 沿箭头所示方向经过点B 跑到点 C 共用时 30 秒 他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程 设小翔跑步的时间为t 单 位 秒 他与教练的距离为y 单位 米 表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图2 所示 则这个固定 位置可能是图1 中的 A 点 M B 点 N C 点 P D 点 Q 答案 D 考点 动点问题的函数图象 分析 分别在点M N P Q 的位置 结合函数图象进行判断 利用排除法即可得出答案 A 在点 M 位置 则从A 至 B 这段时间内 弧AB上每一点与点M 的距离相等 即y 不随时间 的变化改变 与函数图象不符 故本选项错误 B 在点 N 位置 则根据矩形的性质和勾股定理 NA NB NC 且最大 与函数图象不符 故本 选项错误 C 在点 P 位置 则PC 最短 与函数图象不符 故本选项错误 D 在点 P 位置 如图所示 以Q 为圆心 QA 为半径画圆交AB于点 E 其中 y 最大的点是 AE 的中垂线与弧AB的交点 H 在弧AB上 从点E 到点 C 上 y 逐渐减小 QB QC 即 BC y y 且 BC 的中垂线QN 与 BC 的交点 F 是 y 的最小值点 经判断点Q 符合函数图象 故本选项正确 故选 D 4 二 填空题 本题共16 分 每小题4 分 9 2012 北京市 4 分 分解因式 2 mn 6mn 9m 答案 2 m n 3 考点 提公因式法和应用公式法因式分解 分析 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式 若有公因式 则把它提取出来 之后再观察是否是完全平方式或平方差式 若是就考虑用公式法继续分解因式 因此 2 22 mn 6mn 9m m n 6n 9 m n 3 10 2012 北京市 4 分 若关于x的方程 2 x2xm 0有两个相等的实数根 则m的值是 答案 1 考点 一元二次方程根的判别 分析 根据方程有两个相等的实数根 判断出根的判别式为0 据此求出m 的值即可 关于 x 的方程 x2 2x m 0 有两个相等的实数根 0 2 2 4 1 m 0 解得 m 1 11 2012 北京市 4 分 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB 他调整自己的 位置 设法使斜边DF 保持水平 并且边DE 与点 B 在同一直线上 已知纸板的两条直角边DE 40cm EF 20cm 测得边DF 离地面的高度AC 1 5 m CD 8 m 则树高AB m 答案 5 5 考点 相似三角形的判定和性质 分析 利用 Rt DEF 和 Rt BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB DEF BCD 90 D D DEF DCB BCDC EFDE 5 DE 40cm 0 4m EF 20cm 0 2m AC 1 5m CD 8m BC8 0 20 4 BC 4 m AB AC BC 1 5 4 5 5 m 12 2012 北京市 4 分 在平面直角坐标系xOy中 我们把横 纵坐标都是整数的点叫做整点 已知点 A 0 4 点 B 是x轴正半轴上的整点 记 AOB 内部 不包括边界 的整点个数为m 当 m 3 时 点 B 的横坐标的所有可能值是 当点 B 的横坐标为4n n 为正整数 时 m 用含 n 的代数式表示 答案 3 或 4 6n 3 考点 分类归纳 图形的变化类 点的坐标 矩形的性质 分析 根据题意画出图形 再找出点B 的横坐标与 AOB 内部 不包括边界 的整点m 之间的关系即 可求出答案 如图 当点B 在 3 0 点或 4 0 点时 AOB 内部 不包括边界 的整点为 1 1 1 2 2 1 共三个点 当m 3 时 点 B 的横坐标的所有可能值是3 或 4 当点 B 的横坐标为4n n 为正整数 时 以 OB 为长 OA 为宽的矩形内 不包括边界 的整点个数为 4n 1 3 12 n 3 对角线AB 上的整点个数总为3 AOB 内部 不包括边界 的整点个数m 12 n 3 3 2 6n 3 三 解答题 本题共30 分 每小题5 分 13 2012 北京市 5 分 计算 1 0 2 1 5 182sin 45 8 答案 解 原式 2 1 3 228 227 2 考点 实数的运算 零指数幂 算术平方根 特殊角的三角函数值 负整数指数幂 6 分析 针对零指数幂 算术平方根 特殊角的三角函数值 负整数指数幂4 个考点分别进行计算 然后 根据实数的运算法则求得计算结果 16 2012 北京市 5 分 已知 如图 点E A C 在同一条直线上 AB CD AB CE AC CD 求证 BC ED 答案 证明 AB CD BAC ECD 在 BAC 和 ECD 中 AB EC BAC ECD AC CD BAC ECD SAS CB ED 考点 平行线的性质 全等三角形的判定和性质 分析 首先由 AB CD 根据平行线的性质可得 BAC ECD 再由条件 AB CE AC CD 可证出 BAC 和 ECD 全等 再根据全等三角形对应边相等证出CB ED 17 2012 北京市 5 分 如图 在平面直角坐标系xoy 中 函数 4 y x0 x 的图象与一次函数y kx k 的 图象的交点为A m 2 1 求一次函数的解析式 7 2 设一次函数y kx k 的图象与y 轴交于点B 若 P 是 x 轴上一点 且满足 PAB 的面积是4 直接写出点P 的坐标 答案 解 1 将 A m 2 代入 4 y x0 x 得 m 2 则 A 点坐标为A 2 2 将 A 2 2 代入 y kx k 得 2k k 2 解得 k 2 一次函数解析式为y 2x 2 2 3 0 1 0 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 曲线上点的坐标与方程的关系 分析 1 将 A 点坐标代入 4 y x0 x 求出 m 的值为 2 再将 2 2 代入 y kx k 求出 k 的值 即可得到一次函数的解析式 2 将三角形以x 轴为分界线 分为两个三角形计算 再把 它们相加 一次函数y 2x 2 与 x 轴的交点为C 1 0 与 y 轴的交点为B 0 2 11 2 CP2 CP4 22 解得 CP 2 P 点坐标为 3 0 1 0 18 2012 北京市 5 分 列方程或方程组解应用题 据林业专家分析 树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物 具有滞尘净化 空气的作用 已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 4 毫克 若 一年滞尘1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 毫克所需的国槐树叶的片数相同 求一片国槐 树叶一年的平均滞尘量 答案 解 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 2x 4 毫克 由题意得 1000550 2x4x 解得 x 22 经检验 x 22 是原分式方程的解 答 一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 毫克 8 考点 分式方程的应用 分析 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 2x 4 毫 克 根据关键语句 若一年滞尘1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550 毫克所需的国槐树叶的片 数相同 可得方程 1000550 2x4x 解方程即可得到答案 注意最后一定要检验 四 解答题 本题共20 分 每小题5 分 19 2012 北京市 5 分 如图 在四边形ABCD 中 对角线AC BD 交于点 E BAC 90 0 CED 450 DCE 90 0 DE 2 BE 22 求 CD 的长和四边形ABCD 的面积 答案 解 过点D 作 DH AC CED 45 DH EC DE 2 EH DH 1 又 DCE 30 DC 2 HC 3 AEB 45 BAC 90 BE 22 AB AE 2 AC 2 1 3 3 3 ABCD 1193 3 S233133 222 四形 边 考点 勾股定理 含30 度角的直角三角形的性质 等腰直角三角形的性质 分析 利用等腰直角三角形的性质得出EH DH 1 进而得出再利用直角三角形中30 所对边等于斜边的 一半得出 CD 的长 求出AC AB 的长即可得出四边形ABCD 的面积 20 2012 北京市 5 分 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 OD BC 于点 D 过点 C 作 O 的切线 交OD 的延长线于点E 连结 BE 1 求证 BE 与 O 相切 2 连结 AD 并延长交BE 于点 F 若 OB 9 2 sinABC 3 求 BF 的长 答案 证明 1 连接 OC OD BC OC OB CD BD 垂径定理 CDO BDO HL COD BOD 9 在 OCE 和 OBE 中 OC OB COE BOE OE OE OCE OBE SAS OBE OCE 90 即 OB BE BE 与 O 相切 2 过点 D 作 DH AB OD BC ODH OBD OD OHDH OBODBD 又 2 sinABC 3 OB 9 OD 6 OH 4 HB 5 DH 25 又 ADH AFB AHDH ABFB 即 1852 5 18FB 解得 FB 36 5 13 考点 垂径定理 全等三角形的判定和性质 切线的判定和性质 相似三角形的判定和性质 锐角三角 函数定义 分析 1 连接 OC 先证明 OCE OBE 得出 EB OB 从而可证得结论 2 过点D 作DH AB 根据 2 sinABC 3 可求出OD 6 OH 4 HB 5 然后由 ADH AFB 利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF 的长 21 2012 北京市 5 分 近年来 北京市大力发展轨道交通 轨道运营里程大幅增加 2011 年北京市又调 整修订了2010 至 2020 年轨道交通线网的发展规划 以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据 制作的统计图表的一部分 北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表 截至2010 年底 开通时间开通线路 运营里程 千米 1971 1 号线31 1984 2 号线23 2003 13 号线41 八通线19 2007 5 号线28 2008 8 号线5 10 号线25 机场线28 2009 4 号线28 2010 房山线22 大兴线22 亦庄线23 昌平线21 15 号线20 10 请根据以上信息解答下列问题 1 补全条形统计图并在图中标明相应数据 2 按照 2011 年规划方案 预计2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米 3 要按时完成截至2015 年的轨道交通规划任务 从2011 到 2015 这 4 年中 平均每年需新增运营 里程多少千米 答案 解 1 根据表格所给数据即可得出 2009 年运营路程为 200 28 228 补全条形统计图如图所示 2 根据统计表和扇形图 截止2010 年已开通运营总路程336 千米 占计划的33 6 预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到 336 33 6 1000 千米 3 截止2015 年新增运营路程为 1000 36 7 367 千米 从 2011 到 2015 年这 4 年中 平均每年需新增运营里程 367 36 4 82 75 千米 考点 统计表 条形统计图 扇形统计图 频数 频率和总量的关系 平均数 分析 1 根据表格所给数据即可得出 2009 年运营路程为 2008 年运营总路程 28 求出即可 2 根据统计表和扇形图 截止2010 年已开通运营总路程和占计划的百分比 即可得出答案 3 根据截止2015 年新增运营路程为 1000 36 7 367 千米 从而得出从2011 到 2015 年这 4 年中 平均每年需新增运营里程 22 2012 北京市 5 分 操作与探究 1 对数轴上的点P进行如下操作 先把点P 表示的数乘以 1 3 再把所得数对应的点向右平移1 个 单位 得到点P 的对应点P 点 A B 在数轴上 对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B 其中点A B 的对 应点分别为A B 如图 1 若点 A 表示的数是3 则点 A 表示的数是 若点 B 表示的 数是 2 则点 B 表示的数是 已知线段AB 上的点 E经过上述操作后得到的对应点E 与点 E 重 合 则点 E 表示的数是 11 2 如图 2 在平面直角坐标系xoy 中 对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作 把每个 点的横 纵坐标都乘以同一种实数a 将得到的点先向右平移m 个单位 再向上平移n 个单位 m 0 n 0 得到正方形A B C D 及其内部的点 其中点A B 的对应点分别为A B 已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F 与点 F 重合 求点F 的坐标 答案 解 1 0 3 3 2 2 根据题意得 3am1 3am2 0 an2 解得 1 a 2 1 m 2 n2 设点 F 的坐标为 x y 对应点F 与点 F 重合 11 xx 22 1 y2y 2 解得 x1 y4 点 F 的坐标为 1 4 考点 坐标与图形的平移变化 数轴 正方形的性质 平移的性质 分析 1 根据题目规定 以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A 设点 B 表示的数为a 根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数 设点E表示的数为b 根据题意列出方程计算即可得解 点 A 3 1 3 1 1 1 0 设点 B 表示的数为a 则 1 3 a 1 2 解得 a 3 设点 E 表示的数为b 则 1 3 a 1 b 解得 b 3 2 2 先根据向上平移横坐标不变 纵坐标加 向右平移横坐标加 纵坐标不变求出平移规律 然后设点F的坐标为 x y 根据平移规律列出方程组求解即可 12 五 解答题 本题共22 分 第 23 题 7 分 第 24 题 7 分 第 25 题 8 分 23 2012 北京市 7 分 已知二次函数 23 y t1 x2 t2 x 2 在 x 0和 x2时的函数值相等 1 求二次函数的解析式 2 若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A 3m 求 m 和 k 的值 3 设二次函数的图象与x 轴交于点B C 点 B 在点 C 的左侧 将二次函数的图象在点B C 间 的部分 含点 B 和点 C 向左平移 n n0 个单位后得到的图象记为C 同时将 2 中得到的直线ykx6 向上平移n个单位 请结合图象回答 当平移后的直线与图象G 有公共点时 n 的取值范围 答案 解 1 二次函数在x0和x 2时的函数值相等 二次函数图象的对称轴为x 1 2 t2 1 2 t1 解得 3 t 2 二次函数解析式为 23 yxx 22 1 2 二次函数图象经过A 3m 点 2 13 m336 22 A 3 6 又 一次函数ykx6的图象经过A 点 3k66 解得 k4 3 由题意可知 二次函数在点B C 间的部分图象的解析式为 1 yx3x1 2 1x3 则向左平移后得到的图象C 的解析式为yx3nx1n 2 1 n1x3n 此时一次函数y4x6的图象平移后的解析式为y4x6n 平移后的直线与图象C 有公共点 两个临界的交点为n10 与3n0 当 x n1时 04n16n 即 2 n 3 当x 3n时 04 3n6n 即n6 13 2 n6 3 考点 二次函数综合题 二次函数的性质 曲线上点的坐标与方程的关系 平移的性质 分析 1 由二次函数在x0 和x 2时的函数值相等 可知二次函数图象的对称轴为 0 2 x 1 2 从 而由对称轴公式 b x 1 2a 可求得 3 t 2 从而求得二次函数的解析式 2 由二次函数图象经过A 3m 点代入 2 3 yxx 22 1 可求得 m6 从而由一次函数 ykx6的图象经过A 点 代入可求得 k 4 3 根据平移的性质 求得平移后的二次函数和一次函数表达式 根据平移后的直线与图象C 有公共点 求得公共点的坐标即可 14 24 2012 北京 在ABC中 BCBA BAC M是AC的中点 P是线段BM上的动点 将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ 1 若且点P与点M重合 如图1 线段CQ的延长线交射线BM于点D 请补全图形 并写出CDB的度数 2 在图 2 中 点P不与点 B M重合 线段CQ的延长线与射线BM交于点D 猜想CDB的大小 用含的代数式表示 并加以证明 3 对于适当大小的 当点P在线段BM上运动到某一位置 不与点B M重合 时 能使得线段 CQ的延长线与射线BM交于点D 且QDPQ 请直接写出的范围 答案 解 1 补全图形如下 CDB 30 2 作线段CQ 的延长线交射线BM 于点 D 连接 PC AD AB BC M 是 AC 的中点 BM AC AD CD AP PC PD PD 在 APD 与 CPD 中 AD CD PD PD PA PC APD CPD SSS AP PC ADB CDB PAD PCD 又 PQ PA PQ PC ADC 2 CDB PQC PCD PAD PAD PQD PQC PQD 180 APQ ADC 360 PAD PQD 180 ADC 180 APQ 180 2 即 2 CDB 180 2 CDB 90 3 45 60 考点 旋转的性质 等边三角形的判定和性质 三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质 等腰三 角形的判定和性质 15 分析 1 利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出 CMQ 是等边三角形 即可得出答案 BA BC BAC 60 M 是 AC 的中点 BM AC AM AC 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转2 得到线段PQ AM MQ AMQ 120 CM MQ CMQ 60 CMQ 是等边三角形 ACQ 60 CDB 30 2 首先由已知得出 APD CPD 从而得出 PAD PQD PQC PQD 180 即可求出 3 由 2 得出 CDB 90 且 PQ QD PAD PCQ PQC 2 CDB 180 2 点 P不与点 B M 重合 BAD PAD MAD 2 180 2 45 60 25 2012 北京市 8 分 在平面直角坐标系xoy 中 对于任意两点P1 x1 y1 与 P2 x2 y2 的 非常距离 给出如下定义 若 x1 x2 y1 y2 则点 P1与点 P2的 非常距离 为 x1 x2 若 x1 x2 y1 y2 则点 P1与点 P2的 非常距离 为 y1 y2 例如 点P1 1 2 点 P2 3 5 因为 1 3 2 5 所以点 P1与点 P2的 非常距离 为 2 5 3 也就是图1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值 点 Q 为垂直于 y 轴的直线P1Q 与垂直于x 轴的直线 P2Q 的交点 1 已知点A 1 0 2 B 为 y 轴上的一个动点 若点 A 与点 B 的 非常距离 为 2 写出一个满足条件的点B 的坐标