反常积分的计算

一 无穷限的反常积分 二 无界函数的反常积分 6 4反常积分 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一 无穷限的反常积分 无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 连续函数f x 在区间 a 上的反常积分定义为 下页 类似地 连续函数f x 在区间 b 上和在区间 的反常积分定义为 下页 一 无穷限的反常积分 无穷限的反常积分的定义 连续函数f x 在区间 a 上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F x 是f x 的原函数 则有 可采用如下简记形式 一 无穷限的反常积分 无穷限的反常积分的定义 连续函数f x 在区间 a 上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F x 是f x 的原函数 则有 类似地 有 下页 解 例1 下页 提示 例2 下页 解 解 例3 当p 1时 此反常积分发散 首页 二 无界函数的反常积分 注 如果函数f x 在点x0的任一邻域内都无界 那么点x0称为函数f x 的瑕点 也称为无界间断点 无界函数的反常积分又称为瑕积分 无界函数反常积分的定义 设函数f x 在区间 a b 上连续 点a为f x 的瑕点 函数f x 在 a b 上的反常积分定义为 下页 在反常积分的定义式中 如果极限是存在的 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 函数f x 在 a c c b 上 c为瑕点 的反常积分定义为 二 无界函数的反常积分 类似地 函数f x 在 a b 上 b为瑕点 的反常积分定义为 下页 无界函数反常积分的定义 设函数f x 在区间 a b 上连续 点a为f x 的瑕点 函数f x 在 a b 上的反常积分定义为 二 无界函数的反常积分 无界函数反常积分的定义 设函数f x 在区间 a b 上连续 点a为f x 的瑕点 函数f x 在 a b 上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F x 为f x 的原函数 可采用简记形式 则f x 在 a b 上的反常积分为 下页 二 无界函数的反常积分 无界函数反常积分的定义 设函数f x 在区间 a b 上连续 点a为f x 的瑕点 函数f x 在 a b 上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F x 为f x 的原函数 则f x 在 a b 上的反常积分为 提问 f x 在 a b 上和在 a c c b 上的反常积分如何计算 如何判断反常积分的敛散性 下页 所以点a为被积函数的瑕点 解 例4 下页 解 例5 下页 当c a c b 为瑕点时 解 例6 当q 1时 此反常积分发散 结束 例7 解 求 的无穷间断点 故I为反常 积分 说明 1 有时通过换元 反常积分和常义积分可以互相转化 例如 2 当一题同时含两类反常积分时 应划分积分区间 分别讨论每一区间上的反常积分 3 有时需考虑主值意义下的反常积分 其定义为 常积分收敛 注意 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 例题试证 并求其值 解 令 函数 1 定义 2 性质 1 递推公式 证 分部积分 注意到 2 证 3 余元公式 4 得应用中常见的积分 这表明左端的积分可用 函数来计算 例如 问题1 曲边梯形的面积 问题2 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分的性质 定积分的计算法 牛顿 莱布尼茨公式 一 主要内容 二 与定积分概念有关的问题的解法 1 用定积分概念与性质求极限 2 用定积分性质估值 3 与变限积分有关的问题 三 有关定积分计算和证明的方法 1 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 2 注意特殊形式定积分的计算 3 利用各种积分技巧计算定积分 4 有关定积分命题的证明方法 思考 下列作法是否正确 例1 求 解 因为 时 所以 利用夹逼准则得 因为 依赖于 且 1 思考例1下列做法对吗 利用积分中值定理 原式 不对 说明 2 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 解 将数列适当放大和缩小 以简化成积分和 已知 利用夹逼准则可知 例2 求 思考 提示 由上题 故 练习 1 求极限 解 原式 2 求极限 提示 原式 左边 右边 例3 估计下列积分值 解 因为 即 例4 证明 证 令 则 令 得 故 例5 解 例6 解 例8 解 例9 解 令 例10 解 例11 选择一个常数c 使 解 令 则 因为被积函数为奇函数 故选择c使 即 可使原式为0 例12 解 是偶函数 例13 设 解 例14 证 例15 证 作辅助函数 例16 解 1 2 例17 解 且由方程 确定y是x的函数 求 方程两端对x求导 得 令x 1 得 再对y求导 得 故 例18 求可微函数f x 使满足 解 等式两边对x求导 得 不妨设f x 0 则 注意f 0 0 得 例19 求多项式f x 使它满足方程 解 令 则 代入原方程得 两边求导 可见f x 应为二次多项式 设 代入 式比较同次幂系数 得 故 再求导 例20 证明恒等式 证 令 则 因此 又 故所证等式成立 例21 试证 使 分析 要证 即 故作辅助函数 至少存在一点 证明 令 在 上连续 在 至少 使 即 因在 上 连续且不为0 从而不变号 因此 故所证等式成立 故由罗尔定理知 存在一点 思考 本题能否用柯西中值定理证明 如果能 怎样设辅助函数 提示 设辅助函数 例22 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 1 在 a b 内f x 0 2 在 a b 内存在点 使 3 在 a b 内存在与 相异的点 使 03考研 证 1 由f x 在 a b 上连续 知f a 0 所以f x 在 a b 内单调增 因此 2 设 满足柯西中值定理条件 于是存在 即 3 因 在 a 上用拉格朗日中值定理 代入 2 中结论得 因此得 27 且满足 证明 存在 使得 28 01 29 04 设 则 30 设函数在区间上的图形为 31 连续函数 在区间 上的图形分别是直径为1的 上图形分