《自动控制原理》第七章离散控制系统

第7章离散控制系统 教学重点 了解线性离散系统的基本概念和基本定理 把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系 熟练掌握Z变换的方法 Z变换的性质和Z反变换 了解差分方程的定义 掌握差分方程的解法 了解脉冲传递函数的定义 熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法 与线性连续系统相对应 掌握线性离散系统的时域和频域分析方法和原则 教学难点 离散时间函数的数学表达式及采样定理 线性常系数差分方程与脉冲传递函数 采样控制系统的时域分析 采样控制系统的频域分析 概述 近年来 随着脉冲技术 数字式元器件 数字计算机 特别是微处理器的迅速发展 数字控制器在许多场合取代了模拟控制器 比如微型数字计算机在控制系统中得到了广泛的应用 离散系统理论的发展是非常迅速的 因此 深入研究离散系统理论 掌握分析与综合数字控制系统的基础理论与基本方法 从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看 是迫切需要的 离散系统与连续系统相比 既有本质上的不同 又有分析研究方法的相似性 利用z变换法研究离散系统 可以把连续系统中的许多概念和方法 推广应用于离散系统 本章内容 主要介绍线性离散系统的分析方法 首先给出信号采样和保持的数学描述 然后介绍z变换理论与性质以及脉冲传递函数 接着研究线性离散系统稳定性 稳态误差 动态性能的分析方法 并介绍最少拍系统的设计方法 最后介绍如何利用MATLAB进行线性离散系统的分析 7 1离散控制系统的基本概念 1 连续系统 如果控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数 也就是说 这些信号在全部时间上都是已知的 则这样的系统称为连续时间系统 简称连续系统 2 离散系统 如果控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码 则这样的系统称为离散时间系统 简称离散系统 采样控制系统 系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统 称为采样控制系统或脉冲控制系统 包括 数字控制系统 把数字序列形式的离散系统 称为数字控制系统或计算机控制系统 注 在理想采样及忽略量化误差情况下 数字控制系统近似于采样控制系统 将它们统称为离散系统 这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与校正在理论上统一 7 1 1采样控制系统 一般来说 采样控制系统是对传感器所采集的连续信号在某些规定的时间上取值 然后通过对这些值的比较 计算和输出 来达到控制目标的系统 采样控制系统结构构成 主要由采样器 数字控制器 保持器 执行器 被控对象和测量变送器构成 如图7 1所示 图7 1采样控制系统方框图 1 信号采样 在采样控制系统中 把连续信号 转化为脉冲序列 的过程称为采样 如图7 2所示 图7 2采样过程 采样周期 采样角频率 采样频率 2 信号复现 在采样控制系统中 把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现 实现复现过程的装置称为保持器 最简单的保持器是零阶保持器 它将脉冲序列 复现为阶梯信号 如图7 3所示 图7 3信号复现过程 7 1 2数字控制系统 数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统 其原理方框图如图7 4所示 图7 4数字控制系统方框图 过程分析 A D转换器将连续信号转换成数字序列 经数字控制器处理后生成离散控制信号 再通过D A转换器转换成连续控制信号作用于被控对象 1 A D转换器 A D转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置 A D转换包括采样过程和量化过程 采样过程是每隔 秒对连续信号 进行一次采样 得到采样信号 量化过程 是计算机中任何数值都用二进制表示 因此 幅值上连续的离散信号 信号 此过程称为量化过程 须经过编码表示成最小二进制数的整数倍 成为离散数字 2 D A转换器 D A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置 包括解码过程和复现过程 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号 复现过程就是通过保持器 将离散模拟信号复现为连续模拟信号 7 2信号的采样与保持 7 2 1采样过程及其数学描述 由图7 2可写出脉冲序列的表达式为 式 7 2 也可写作 因此 采样过程从物理意义上可以看作是脉冲调制过程 此时 采样开关相当于理想单位脉冲发生器的作用 通过它将连续信号调制成脉冲序列 从频率特性的角度看 假设连续信号 的频率特性为 该信号的频谱 如图7 5所示 图7 5连续信号频谱 离散信号 的拉氏变换为 的傅立叶变换为 即 如图7 6所示 图7 6采样信号频谱 时 图7 7采样信号频谱 时 7 2 2采样定理 香农采样定理 如果被采样的连续信号 的频谱具有有限带宽 且频谱的 最高角频率为 则只要采样角频率 满足 或采样频率 满足 则通过理想滤波器 由采样得到 的离散信号能够可以不失真地恢复为原连续信号 采样定理给出了采样频率下限的选取规则 对于采样频率的上限 要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定 7 2 3信号恢复 1 零阶保持器 零阶保持器是工程实践上最常用的一种保持器 它把采样时刻 的采样 值恒定不变地保持到下一个采样时刻 如图7 8所示 图7 8零阶保持器的输出波形 保持器的输出 与连续输入信号 之间的关系为 对于零阶保持器 在任意时刻 输入单位脉冲信号 其单位脉冲响应 为一个幅值为1的矩形方波 如图7 9所示 图7 9零阶保持器的时域特性 零阶保持器的频率特性为 绘制幅频特性 和相频特性 曲线 如图7 10所示 图7 10零阶保持器的幅频特性与相频特性 2 一阶保持器 其外推关系式为 一阶保持器的输出波形如图7 11所示 图7 11一阶保持器的输出波形 一阶保持器的脉冲响应如图7 12所示 图7 12一阶保持器的脉冲响应 一阶保持器的幅频特性和相频特性曲线 如图7 13所示 图7 13一阶保持器的幅频特性与相频特性 7 3z变换理论 Z变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法 是研究线性离散系统的重要数学工具 因此又称为离散拉氏变换 7 3 1z变换的定义 连续时间函数 经采样周期为 的采样开关后 得到采样信号 即 进行拉氏变换可得 引入一个新变量 即 得到以 为变量的函数 即 式中 称为离散信号 的z变换 记为 7 3 2z变换的方法 常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法 部分分式法和留数计算法 1 级数求和法 根据z变换的定义 将连续信号 按周期 进行采样 级数展开可得 例7 1试求单位阶跃函数 的z变换 解 因为单位阶跃函数 在所有采样时刻上的采样值均为1 即 则 为一理想单位脉冲序列 因此 上式为一个等比级数 若满足 则级数收敛 可写成如下闭合形式 例7 2试求衰减指数函数 的z变换 解 将 在各采样时刻上的采样值代入展开式 得 若 即 则可写成闭合形式 例7 3试求函数 的z变换 解 将 在各采样时刻上的采样值代入展开式 得 若 则可写成闭合形式 2 部分分式法 将连续时间函数 的拉氏变换 展开成部分分式之和的形式 即 由拉氏反变换可得原时间函数 直接对上式进行z变换 得 例7 4已知连续时间函数 的拉氏变换为 试求其z变换 解 首先将 展开成部分分式的形式 然后对上式逐项求取拉氏反变换 得 根据求得的时间函数再逐项写出相应的z变换 得 例7 5利用部分分式法求取正弦函数的z变换 解 已知正弦函数的拉氏变换为 将其分解成部分分式之和的形式 得利用拉氏反变换求出的原时间函数为 利用已知的指数函数z变换公式可求得相应的z变换 即 3 留数计算法若已知连续时间函数的拉氏变换及其全部极点 则的z变换可通过留数计算求得 由拉氏反变换可得采样后 其采样值为而的z变换为最后得若满足 则上式可写为由此可通过拉氏变换直接求相应的z变换函数 应用留数定理计算上式中的积分 可得 1 若为的单极点 则 2 若为的重极点 则例7 6试用留数法求取拉氏变换为的连续时间函数e t 的z变换 解 由题意可知 的极点均为单极点 即 可计算 即 例7 7已知 求的z变换 解 根据题意可知 其极点为重极点 即 可计算 即 常用函数的z变换及相应的拉氏变换见表7 1 表7 1z变换表 7 3 3z变换的性质1 线性定理设连续函数 的z变换分别为 为常数 则有2 时移定理若函数的z变换为 则有3 初值定理若函数的z变换为 且时 则有 4 终值定理若函数的z变换为 且不含有的二重以上的极点 以及的极点均位于z平面的单位圆内 则有7 3 4z反变换已知z变换表达式 求相应离散序列的过程 称为z反变换 记为当时 信号序列是单边的 对单边序列常用的z反变换法有部分分式法 幂级数法和反演积分法 1 部分分式法部分分式法又称查表法 根据已知的 通过查z变换表找出相应的或 例7 8已知 试用部分分式法求z反变换 解 首先展开成如下部分分式形式 由此可得由表7 1查得因此2 幂级数法 长除法 Z变换函数可以直接通过长除法得到一个无穷项幂级数的展开式 根据的系数便可以得出时间序列的值 例7 9设 试用幂级数法求 解 根据题意可得利用长除法 得由此可得3 反演积分法反演积分法又称留数法 的幂级数展开形式为 则有反演积分公式式中 表示函数在极点处的留数 留数计算方法如下 若为单极点 则若为m阶重极点 则 例7 10设 试用反演积分法求 解 根据前式 可得例7 11设 试用反演积分法求z反变换 解 根据题意可知 该函数有一个单极点 有一个二重极点 得 因此相应的采样信号为总结 上述三种方法中 幂级数法最简单 但得到的z反变换是开式的 因此难以应用 而部分分式法和反演积分法得到的z反变换均为闭合形式 7 4离散控制系统的数学模型7 4 1线性常系数差分方程对于线性定常离散控制系统 一般可用n阶后向差分方程描述 即同理 线性定常离散系统也可用n阶前向差分方程描述 即 工程上对于线性定常系数差分方程的求解方法通常有迭代法和z变换法 1 迭代法若已知差分方程 并且给定输出序列的初值 则可利用递推关系 通过计算机迭代计算出输出序列 例7 12已知二阶后向差分方程 其中 输入序列 初始条件为 试用迭代法求解输出序列 解 根据初始条件和递推关系 得 2 z变换法用z变换法求解线性定常系数差分方程与用拉氏变换法求解微分方程相类似 其实质是将差分方程转化为代数方程 通过代数运算及查表的方法来求出输出序列 z变换法求解差分方程的一般步骤如下 1 利用z变换的实数位移定理对差分方程两端取z变换 并代入相应的初始条件 得到以z为变量的代数方程 2 求出代数方程的解 3 取z反变换 从而求得输出序列 例7 13试用z变换法求解下列二阶前向差分方程其中 初始条件为 解 对方程两端取z变换 得即代入初始条件 得即 利用反演积分法求出z反变换 得7 4 2脉冲传递函数1 脉冲传递函数定义在线性定常离散控制系统中 当初始条件为零时 系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比 称为线性定常离散控制系统的脉冲传递函数 设离散系统如图7 14所示 根据线性定常离散系统的脉冲传递函数定义得 图7 14开环采样系统 输出是连续信号的情况 如图7 15所示 可以在系统输出端虚设一个开关 如图7 15中虚线所示 2 脉冲传递函数的性质 1 脉冲传递函数是复变量z的复函数 一般是有理分式 2 脉冲传递函数只与系统自身的结构 参数有关 3 系统的脉冲传递函数与系统的差分方程有直接关系 4 系统的脉冲传递函数是系统的单位脉冲响应序列的变换 5 系统的脉冲传递函数在z平面上有对应的零 极点分布 图7 15虚设采样开关的开环采样系统 3 脉冲传递函数的求法传递函数的拉氏反变换是单位脉冲函数 将离散化得到脉冲响应序列 将进行z变换即可得到 这一变换过程可表示为例7 14已知采样系统结构图如图7 16所示 1 求系统的脉冲传递函数 2 写出系统的差分方程 图7 16采样系统结构图 解 1 首先将E z z分解为部分分式形式查 变换表得4 开环系统脉冲传递函数 1 串联环节之间有采样开关时设开环离散系统如图7 17所示 在两个串联连续环节和之间 有理想采样开关 根据脉冲传递函数定义 有由此可得 2 串联环节之间无采样开关时设开环离散系统如图7 18所示 在两个串联连续环节G1 s 和G2 s 之间没有理想采样开关 此时系统的传递函数为上式作为一个整体进行z变换 由脉冲传递函数定义得 图7 17串联环节之间有理想采样开关的开环采样系统 图7 18环节之间无理想采样开关的开环采样系统 例7 15已知开环采样系统分别如图7 17 图7 18所示 其中 输入信号r t 1 t 试求开环脉冲传递函数和输出的z变换 解 根据z变换表 可知对于如图7 17所示的采样系统因此对于如图7 18所示的采样系统 5 闭环系统脉冲传递函数在采样系统中 由于采样开关在系统中的位置不同 因此闭环离散系统结构图的形式并不唯一 图7 19所示的是常见的系统结构图 可得该闭环离散系统脉冲传递函数为闭环离散系统的误差传递函数为 其中为开环离散系统的脉冲传递函数 图7 19闭环离散系统结构图 其中 例7 16设闭环采样系统结构图如图7 20所示 试求其闭环脉冲传递函数 解 由图可得对D s 离散化 有则又有离散化得即同时 输出信号的采样拉氏变换为进行z变换 即得 图7 20闭环采样系统结构图 7 5离散控制系统的分析与设计7 5 1离散控制系统的稳定性在线性连续系统中 判别系统稳定性是根据特征方程的根在s平面的分布位置确定的 若系统特征方程的根全部都位于s平面的左半平面 则系统稳定 1 s平面与z平面之间的映射关系在z变换定义中 给出了s域到z域的映射关系 即 其中 s是复变量 可表示为 映射到z域则为写成极坐标形式为如图7 21所示 由此可见 可以把s平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带 其中从的周期带称为主带 其余的周期带称为辅带 图7 21s平面与z平面之间的映射 2 线性定常离散系统稳定的充要条件离散系统稳定性的概念与连续系统相同 如果一个线性定常离散系统的脉冲响应序列趋于零 则系统是稳定的 否则系统不稳定 由s域到z域的映射关系及连续系统的稳定判据 可知 1 s左半平面映射为z平面单位圆内的区域 对应稳定区域 2 s右半平面映射为z平面单位圆外的区域 对应不稳定区域 3 s平面上的虚轴 映射为z平面的单位圆周 对应临界稳定情况 属不稳定 线性定常离散系统稳定的充要条件是 系统闭环脉冲传递函数的全部极点均分布在z平面上以原点为圆心的单位圆内 或者系统所有特征根的模均小于1 3 离散系统的稳定性判据在z域中不能直接套用劳斯判据 必须引入z域到域的线性变换 使z平面单位圆内的区域 映射成s平面上的左半平面 这种新的坐标变换称为变换 令复变量 得显然由于上式的分母始终为正 因此可得 1 等价于 表明 平面的虚轴对应于z平面的单位圆周 2 等价于 表明 左半平面对应于z平面单位圆内的区域 3 等价于 表明 右半平面对应于z平面单位圆外的区域 z平面和 平面的这种对应关系 如图7 22所示 图7 22z平面与 平面的对应关系 例7 17设闭环离散系统如图7 23所示 其中采样周期T 0 1s 试求系统稳定时K的临界值 解 首先求系统开环传递函数的z变换由此可得 闭环特征方程为令 得化简后 得列出劳斯表 从劳斯表第一列系数可知 为保证系统稳定 则需 所以 系统稳定的临界增益值 图7 23闭环离散系统方框图 7 5 2离散控制系统的瞬态响应离散系统的动态特性 是通过在外部输入信号作用下的输出曲线来反映的 设闭环离散系统的闭环脉冲传递函数为当时 有经部分分式展开后 可得其中 求z反变换 即可求得系统在采样时刻的输出离散值为式中 等号右边第一项为y kT 的稳态分量 第二项为y kT 的瞬态分量 图7 24闭环极点分布与瞬态分量的关系图 1正实轴上闭环极点当时 极点位于单位圆内的正实轴上 对应的瞬态分量指数衰减 且越靠近原点 衰减越快 当时 极点位于单位圆外的正实轴上 对应的瞬态分量指数发散 且越靠近原点 发散越快 系统不稳定 当时 极点位于单位圆上的正实轴上 对应的瞬态分量为等幅脉冲序列 系统临界稳定 2负实轴上闭环极点当时 极点位于单位圆内的负实轴上 且当为偶数时 为正值 当为奇数时 为负值 当时 极点位于单位圆外的负实轴上 对应的瞬态分量为正 负交替的发散振荡脉冲序列 当时 极点位于单位圆上的负实轴上 对应的瞬态分量为正 负交替的等幅振荡脉冲序列 3Z平面上的闭环共轭复数极点当时 极点位于单位圆外的z平面上 对应的瞬态分量发散振荡 系统不稳定 当时 极点位于单位圆内的z平面上 对应的瞬态分量衰减振荡 且pi越小 即复极点越靠近原点 衰减振荡越快 当时 极点位于单位圆上 对应的瞬态分量等幅振荡 系统处于临界稳定 综上所述 闭环脉冲传递函数的闭环极点在单位圆内 对应的瞬态分量均为衰减 故系统稳定 当闭环极点在单位圆上或单位圆外 对应的瞬态分量等幅振荡或发散振荡 故系统不稳定 为了使离散系统具有良好的动态过程 闭环极点应尽量避免配置在单位圆的左半部 尤其不要靠近负实轴 以免产生强烈振荡 闭环极点应最好配置在单位圆的右半部 而且靠近原点的地方 这样 系统的动态过程进行较快 因而系统的快速性较好 7 5 3离散控制系统的稳态误差 1 一般方法 利用终值定理 设单位反馈离散系统结构图如图7 25所示 为系统采样信号 其z变换为 图7 25单位反馈离散系统 系统脉冲传递函数为如果的极点全部位于z平面上的单位圆内 即离散系统是稳定的 则可用z变换的终值定理求出系统的稳态误差 线性定常离散系统的稳态误差 与系统本身的结构和参数有关 与输入序列的形式及幅值有关 而且与采样周期的选取也有关 例7 18设离散系统如图7 25所示 其中 输入连续信号分别为和 试求离散系统的稳态误差 解 首先的z变换为系统的误差脉冲传递函数为闭环极点为 均位于z平面的单位圆内 因此可以应用终值定理方法求解稳态误差 当时 当时 2 稳态误差系数法在连续系统中 我们把开环传递函数具有的极点数作为划分系统型别的标准 在离散系统中 对应把开环脉冲传递函数具有的极点数 作为划分离散系统型别的标准 类似把中的系统 分别称为0型 型和 型离散系统 1 阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为阶跃函数时 其z变换函数稳态误差为其中称为离散系统的稳态位置误差系数 对0型离散系统 不趋于 从而稳态误差 对 型或 型以上的离散系统 因而稳态误差 2 斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为斜坡函数时 其z变换函数为因而稳态误差为其中称为离散系统的稳态速度误差系数 在斜坡输入条件下 0型系统的 所以 型系统的为有限值 存在常值速度误差 型和 型以上系统 稳态误差为零 3 加速度输入时的稳态误差 当系统输入为加速度函数时 其z变换函数为因而稳态误差为式中称为离散系统的稳态加速度误差系数 加速度输入条件下 由于0型及 型系统的 所以 型系统的为常数 则加速度误差是非零常数 表7 2单位反馈离散系统的稳态误差 加速度误差 速度误差 位置误差 例7 19设离散系统如图7 25所示 其中 输入连续信号分别为 和 试利用稳态误差系数法求该离散系统的 以及稳态误差 解 1 输入信号时 2 输入信号时 3 输入信号时 7 5 4最少拍系统及其设计 最少拍系统是指 在典型输入作用下 在各采样时刻上无稳态误差 且瞬态过程能在有限个采样周期内结束 完全跟踪控制信号的系统 在离散系统中 一个采样周期称为一拍 所谓最少拍系统 是指对于典型输入信号具有最快的响应速度 能在有限的几拍之内结束过渡过程 且在过渡过程结束后 在采样时刻上稳态误差为零的系统 最少拍系统也称为小调节时间系统或最快响应系统 最少拍系统的设计原则是 若系统被控对象无延迟 且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点 需选择闭环脉冲传递函数 使系统在典型输入作用下 经最少采样周期后 能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零 达到完全跟踪的目的 从而确定所需的数字控制器的脉冲传递函数 考虑到零阶保持器的存在 广义被控对象的脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为 闭环误差脉冲传递函数为因为系统为单位反馈系统 因此有可得 或 典型输入信号z变换的一般形式为是不包含因子的的多项式 表7 4典型输入信号的最少拍系统设计 调节时间 数字控制器的脉冲传递函数 a 单位阶跃信号 b 单位速度信号 c 单位加速度信号 图7 26典型输入信号的最少拍系统响应 例7 20设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为其中 采样周期T 1s 若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制 试求数字控制器脉冲传递函数D z 解 系统开环传递函数为 由于 故有 根据 由表7 3可知最少拍系统应具有的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数为的零点正好可以补偿在单位圆中的极点 已包含的传递函数延迟 因此 上述和满足消去中传递延迟及补偿在单位圆中极点的约束条件 可求出最少拍系统的数字控制器脉冲传递函数为 7 6应用MATLAB分析离散控制系统 7 6 1连续系统与离散系统模型之间的转换在M