二次函数恒成立问题

1 二次函数恒成立问题 2016 年 8 月东莞莞美学校 一 恒成立问题的基本类型 一 恒成立问题的基本类型 类型 1 设 0 2 acbxaxxf 1 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 2 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 类型 2 设 0 2 acbxaxxf 1 当时 上恒成立 0 a 0 xxf在 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 上恒成立 0 xxf在 0 0 f f 2 当时 上恒成立0 a 0 xxf在 0 0 f f 上恒成立 0 xxf在 0 2 0 2 0 2 f a b a b f a b 或或 类型 3 min xfIxxf恒成立对一切 max xfIxxf恒成立对一切 类型 4 maxmin Ix xgxfxgxfIxxgxf 的图象的上方或的图象在恒成立对一切 二 恒成立问题常见的解题策略 二 恒成立问题常见的解题策略 策略一 利用二次函数的判别式 对于一元二次函数有 0 0 2 Rxacbxaxxf 1 上恒成立 Rxxf 在0 00 且a 2 上恒成立Rxxf 在0 00 且a 例 1 若不等式的解集是 R 求 m 的范围 02 1 1 2 xmxm 解析 要想应用上面的结论 就得保证是二次的 才有判别式 但二次项系数含有参数 m 所以要讨 论 m 1 是否是 0 1 当 m 1 0 时 不等式化为 2 0 恒成立 满足题意 2 2 时 只需 所以 01 m 0 1 8 1 01 2 mm m 9 1 m 策略二 利用函数的最值 或值域 1 对任意 x 都成立 mxf mxf min 2 对任意 x 都成立 简单计作 大的大于最大的 小的小于最小的 mxf max xfm 由此看出 本类问题实质上是一类求函数的最值问题 例 2 已知 若恒成立 求a的取值范围 aaxxxf 3 2 2 2 2 xfx 解析 本题可以化归为求函数f x 在闭区间上的最值问题 只要对于任意 若2 2 2 min xfx 恒成立2 2 2 xfx 2 2 2 min xfx 237 2 2 2 min afxf a 或或 即a的取值范围为 2 4 3 2 2 2 2 2 min a a a fxf a 27 2 2 2 min afxf a 222 5 策略三 利用零点分布 例 3 已知 若恒成立 求a的取值范围 aaxxxf 3 2 0 2 2 xfx 解析 本题可以考虑f x 的零点分布情况进行分类讨论 分无零点 零点在区间的左侧 零点在区 间的右侧三种情况 即 0 或或 即a的取值范围为 7 2 0 2 0 2 2 2 0 f f a 0 2 0 2 2 2 0 f f a 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题 可以考虑函数的零点分布情况 要 求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了 变式 设 当时 恒成立 求实数的取值范围 22 2 mxxxf 1 xmxf m 解 设 则当时 恒成立mmxxxF 22 2 1 x0 xF 当时 显然成立 120 2 1 4 mmm即0 xF 当时 如图 恒成立的充要条件为 0 0 xF O Ox x y y x x 1 1 3 解得 综上可得实数的取值范围为 1 2 2 0 1 0 m F 23 mm 1 3 策略四 分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端 从而问题转化为求主元函数的最 值 进而求出参数范围 这种方法本质也还是求最值 但它思路更清晰 操作性更强 一般地有 1 恒成立为参数 aagxf max xfag 2 恒成立为参数 aagxf max xfag 例 4 函数 若对任意 恒成立 求实数的取值范 1 2 2 x x axx xf 1 x0 xfa 围 解 若对任意 恒成立 1 x0 xf 即对 恒成立 1 x0 2 2 x axx xf 考虑到不等式的分母 只需在时恒成立而得 1 x02 2 axx 1 x 在时恒成立 只要在时恒成立 而易求得二02 2 axx 1 xxxa2 2 1 x 次函数在上的最大值为 所以 xxxh2 2 1 3 3 a 变式 已知函数时恒成立 求实数的取值范围 4 0 4 2 xxxaxxf0 xfa 解 将问题转化为对恒成立 x xx a 2 4 4 0 x 令 则 x xx xg 2 4 min xga 由可知在上为减函数 故1 44 2 xx xx xg xg 4 0 0 4 min gxg 即的取值范围为 0 aa 0 注 分离参数后 方向明确 思路清晰能使问题顺利得到解决 策略五 确定主元 4 在给出的含有两个变量的不等式中 学生习惯把变量看成是主元 未知数 而把另一个变量x 看成参数 在有些问题中这样的解题过程繁琐 如果把已知取值范围的变量作为主元 把要求取值范a 围的变量看作参数 则可简化解题过程 例 5 若不等式对满足的所有都成立 求 x 的范围 1 12 2 xmx22 mm 解析 我们可以用改变主元的办法 将 m 视为主变元 即将元不等式化为 0 12 1 2 xxm 令 则时 恒成立 所以只需即 12 1 2 xxmmf22 m0 mf 0 2 0 2 f f 所以 x 的范围是 0 12 1 2 0 12 1 2 2 2 xx xx 2 31 2 71 x 总结 利用了一次函数有 nmxbkxxf 0 0 0 0 0 0 nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 变式 对任意 不等式恒成立 求的取值范围 1 1 a024 4 2 axaxx 分析 题中的不等式是关于的一元二次不等式 但若把看成主元 则问题可转化为一次不等式xa 在上恒成立的问题 044 2 2 xxax 1 1 a 解 令 则原问题转化为恒成立 44 2 2 xxaxaf0 af 1 1 a 当时 可得 不合题意 2 x0 af 当时 应有解之得 2 x 0 1 0 1 f f 31 xx或 故的取值范围为 x 3 1 策略六 消元转化 例 6 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若 若对于所有的恒成立 求实数0 0 1 1 nm nfmf nmnm或12 2 attxf 1 1 1 1 ax t的取值范围 解析 本题不等式中有三个变量 因此可以通过消元转化的策略 先消去一个变量 容易证明f x 是定义在 1 1 上的增函数 故 f x 在 1 1 上的最大值为f 1 1 则对于所有的12 2 attxf 恒成立对于所有的恒成立 即对于所有的 1 1 1 1 ax 121 2 att 1 1 a02 2 tta 恒成立 令 只要 1 1 a 2 2 ttaag 0 1 0 1 g g 022 ttt或或 5 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题 可以根据题意依次进行消元转化 从而转化为只 含有两变量的不等式问题 使问题得到解决 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略 只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数 的取值范围 事实上 这些策略不是孤立的 在具体的解题实践中 往往需要综合考虑 灵活运用 才 能使问题得以顺利解决 3 3 巩固练习巩固练习 1 1 若关于x的不等式0 2 aaxx的解集为 求实数a的取值范围 2 若 关于x的不等式3 2 aaxx的解集不是空集 求实数a的取值范围 w w w k s 5 u c o m 解 1 设 aaxxxf 2 则关于x的不等式0 2 aaxx的解集为 0 xf在 上恒成立 0 min xf 即 0 4 4 2 min aa xf解得04 a 2 设 aaxxxf 2 则关于x的不等式3 2 aaxx的解集不是空集 3 xf在 上能成立 3 min xf 即 3 4 4 2 min aa xf解得6a 或2a 2 若函数 2 68ymxmxm 在 R 上恒成立 求 m 的取值范围 分析 该题就转化为被开方数 2 680mxmxm 在 R 上恒成立问题 并且注意对二次项系 数的讨论 略解 要使 2 68ymxmxm 在 R 上恒成立 即 2 680mxmxm 在 R 上 恒成立 1 0m 时 80 0m 成立 2 0m 时 2 0 36483210 m mmm m 01m 由1 2 可知 01m 3 已知向量 2 1 1 axxbx t 若函数 baxf 在区间 1 1 上是增函数 求t的取 值范围 解 依定义 1 1 232 ttxxxxtxxxf 23 2 txxxf 则 xf在区间 1 1 上是增函数等价于 0 x f在区间 1 1 上恒成立 而 0 x f在区间 1 1 上恒成立又等价于xxt23 2 在区间 1 1 上恒成立 6 设 1 1 23 2 xxxxg进而 xgt 在区间 1 1 上恒成立等价于 1 1 max xxgt 考虑到 1 1 23 2 xxxxg在 3 1 1上是减函数 在 1 3 1 上是增函数 则 51 max gxg 于是 t的取值范围是5 t 4 已知函数 3 31 5f xxaxg xfxax 其中 fx是 f x的导函数 对满足 11a 的一切a的值 都有 0g x 求实数x的取值范围 解法 1 由题意 2 335g xxaxa 这一问表面上是一个给出参数a的范围 解不等式 0g x 的问题 实际上 把以x为变量的函数 g x 改为以a为变量的函数 就转化为不 等式的恒成立的问题 即 令 2 335ax ax 11a 则对11a 恒有 0g x 即 0a 从而转化为对11a 0a 恒成立 又由 a 是a的一次函数 因而是一个单调函数 它的最值在定义域的端点得到 为此 只需 10 10 即 2 2 320 380 xx xx 解得 2 1 3 x 故 2 1 3 x 时 对满足 11a 的一切a的值 都有 0g x 解法 2 考虑不等式 2 3350g xxaxa 由11a 知 2 36600aa 于是 不等式的解为 22 36603660 66 aaaaaa x 但是 这个结果是不正确的 因为没有考虑a的条件 还应进一步完善 为此 设 22 36603660 66 aaaaaa g ah a 不等式化为 11g axh aa 恒成立 即 maxmin 11g axh aa 由于 2 3660 6 aaa g a 在11a 上是增函数 则 max 2 1 3 g ag 2 3660 6 aaa h a 在11a 上是减函数 则 min 11 h ah 所以 2 1 3 x 7 故 2 1 3 x 时 对满足11a 的一切a的值 都有 0g x 5 若对任意的实数x 2 sin2 cos220 xkxk 恒成立 求k的取值范围 解法一 原不等式化为 2 cos2 cos210 xkxk 令costx 则1t 即 2 22 22121f ttktktkkk 在 1 1t 上恒大于 0 若1k 要使 0f t 即 1 0f 1 2 k k 不存在 若11k 若使 0f t 即 2 210f kkk 1212k 121k 若1k 要使 0f t 即 1 0f 1k 由 可知 12k 解法二 2 2210f ttktk 在 1 1 上恒成立 2 2101212kkk 2 210 1 0 1 0 11 kk f f kk 或 12k 由 可知 12k 6 已知函数对于一切成立 求 a 的取值范围 2 10f xxax 1 0 2 x 7 已知函数对于恒成立 求 m 的取值范围 2 4f xxxm 0 1 x 8 若不等式在内恒成立 求 a 的取值范围 22 96260 xaxaa 11 33 x 9 已知函数的定义域为 R 求实数的取值范围 1 lg 22 axaxy a 解 由题设可将问题转化为不等式对恒成立 即有0 1 22 axaxRx 解得 所以实数的取值范围为 04 1 22 aa 3 1 1 aa或a 3 1 1 10 已知函数 若对任意恒有 试确定的取值范围 lg2 a f xx x 2 x 0f x a 8 解 根据题意得 在上恒成立