统计学第三章平均指标与变异指标 及习题

第三章平均指标与变异指标 第一节平均指标第二节变异指标第三节标准差 偏度和峰度 第一节平均指标 第一节平均指标 一 平均指标的含义也称平均数 它表明同类现象在一定时间 地点 条件下所达到的一般水平 是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值 二 平均指标的作用反映标志值的集中趋势 如农民家庭收入情况 便于比较分析 如用劳动生产率等平均数对比不同企业的生产情况 分析现象之间的依存关系 如商业企业规模的大小和商品流通费用率之间存在的依存关系 第一节平均指标 三 平均指标的分类在社会经济统计中 常用的平均指标有算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数等 一 算术平均数 mean 简单算术平均数根据未分组的原始统计资料 将总体各单位的标志值简单加总形成总体标志总量 而后除以总体单位总数 这种方法为简单算术平均法 第一节平均指标 计算公式为 2 加权算术平均数根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的方法 称为加权算术平均法 第一节平均指标 计算公式为 3 算术平均数的性质 1 各个变量值与平均数离差之和为0 2 各个变量值与平均数的离差平方和为最小值 例 某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表 试计算工人平均工资 各组标志值 各组单位数 各组标志总量 甲乙两企业生产同种产品 1月份各批产量和单位产品成本资料如下 求平均成本 怎么做 第一节平均指标 二 调和平均数 harmonicmean 又称倒数平均数 1 简单调和平均数2 加权调和平均数 第一节平均指标 2 加权调和平均数m为权数 即行使速度为77公里 小时 例 求商品的平均价格 第一节平均指标 三 几何平均数 geometricmean 1 简单几何平均数 例1 2001 2005年我国工业品的产量分别是上年的107 6 102 5 100 6 102 7 102 2 计算这5年的平均发展速度 1 067 1 025 1 006 1 027 1 022 2ndF 5 出现结果 1 0309即103 1 例2 某企业生产某一产品 要经过铸造 金加工 电镀三道工序 各工序产品合格率分别为98 85 90 求三道工序的平均合格率 90 8 第一节平均指标 2 加权几何平均数几何平均数也可用对数的算术平均形式表示 因此 也称对数平均数 可以证明 例 某投资银行25年的年利率分别是 1年3 4年5 8年8 10年10 2年15 求平均年利率 1 03 1 05 yx 4 1 08 yx 8 1 1 yx 10 1 15 yx 2 2ndF 25 出现结果 1 086即108 6 平均年利率 108 6 1 8 6 练习 求这几年间国内生产总值的平均发展速度 第一节平均指标 四 中位数 median 将总体各单位标志值按大小顺序排列 居于中点位置的那个标志值就是中位数 它是位置平均数 不受极端值的影响 1 由未分组资料计算中位数先按大小顺序排列 其次利用公式 N 1 2确定中位数位次 最后确定中位数 第一节平均指标 2 由单项式分组资料计算中位数经过分组的资料在确定中位数时 首先将变量数列的频数或频率进行累加 然后用公式来计算中位数位次 确定中位数组 最后确定中位数 3 由组距式分组资料计算中位数确定中位数位次的方法同上 然后按下限公式或上限公式计算中位数 第一节平均指标 下限公式 上限公式 第一节平均指标 五 众数 mode 指总体中出现次数最多的标志值 也是一种位置平均数 不受极端值的影响 由单项数列计算众数时 把次数最多的组定位众数组 该组的变量值即为众数 由组距数列计算众数 也要确定众数组 然后利用上下限公式计算 第一节平均指标 下限公式 上限公式 第一节平均指标 六 位置平均数与算术平均数的关系运用中位数 众数和算术平均数的数量关系判别总体分布特征 对称 左偏和右偏 利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算 根据皮尔逊的经验 在分布偏斜度不大的情况下 众数与中位数的距离约为中位数与算术平均数距离的2倍 例 根据某城市住户家庭月工资的抽样调查资料计算得到众数为2300元 中位数为2100元 问算术平均数为多少 其分布呈何种形态 第一节平均指标 四 平均指标的应用 一 社会现象的同质性是计算和应用平均指标的前提 如不能将小麦 棉花 茶叶等混合在一起计算平均单位产量 二 总平均数与组平均数要结合运用 第一节平均指标 三 要用分配数列补充说明平均数 第二节变异指标 第二节变异指标 一 变异指标的涵义又称标志变动度或离散指标 它综合反映同质总体各单位标志值的差异程度 是社会经济统计中广泛应用的另一种综合指标 二 标志变异指标的作用 一 衡量平均数代表性的尺度 二 反映现象的均衡性和稳定性在控制产品质量 进行投资分析和评价经济管理工作中有重要的意义 第二节变异指标 三 变异指标的分类变异指标主要有 全距 平均差 方差 标准差和离散系数等 一 全距 range 又称极差 是同质总体各单位标志值中最大值与最小值之差 二 平均差与平均差系数 第二节变异指标 1 平均差它是总体中各单位标志值与算术平均数离差的绝对值的算术平均数 常用MD表示 1 简单平均法 2 加权平均法 第二节变异指标 2 平均差系数例 甲组 203030404050乙组 304550535765 第二节变异指标 四 标准差和标准差系数 一 标准差又称均方差 也是总体各单位标志值对算术平均数的平均离差 在处理方法上比平均差更优越 因此 平均离差通常以标准差为标准 1 简单平均法2 加权平均法3 简捷法 第二节变异指标 3 简捷法资料未分组 资料分组且为单项数列或异距数列时 第二节变异指标 资料分组且为等距数列时 例 班级同学成绩分布 第二节变异指标 二 标准差系数 例 有两组工人日产量甲组 60 65 70 75 80乙组 2 5 7 9 12不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度 可以计算离散系数本例中 即乙组的离散程度大于甲组 由此可见 当我们比较两组数据的离散程度时 如两组平均数相等 可以直接比较标准差 如两组平均数不等 则需比较两组的离散系数 标准差与标准差系数的不同应用条件 在比较两个不同数列 总体 标志变异程度大小 或说明其平均数代表性大小 时 当其平均水平相同时 可直接计算标准差进行比较 当其平均水平不相同 或其计量单位不同