二次函数应用练习题

0 一次函数图象的平移一次函数图象的平移 1 直线与直线的位置关系 平行 0 kbkxy 0 kkxy 当时 把直线向上平移个单位 可得直线 0b ykx bykxb 当时 把直线向下平移个单位 可得直线 0b ykx bykxb 2 直线与直线 的位置关系 111 bxky 222 bxky 12 0 0kk 与相交 12 kk 1 y 2 y 且与相交于轴上同一点 0 或 0 12 kk 12 bb 1 y 2 yy 1 b 2 b 且与平行 且与重合 12 kk 12 bb 1 y 2 y 12 kk 12 bb 1 y 2 y 3 平移的处理方法 直线与 y 轴交点为 0 直线平移则直线上的点ykxb b 0 也会同样的平移 平移不改变 则将平移后的点代入解析式求出即可 bkb 4 交点问题及直线围成的面积问题 方法 两直线交点坐标必满足两直线解析式 求交点就是联立两直线解析式求方程组 的解 复杂图形 外补内割 即 往外补成规则图形 或分割成规则图形 三角形 往往选择坐标轴上的线段作为底 底所对的顶点的坐标确定高 例 1 已知直线 将直线向上平移 2 个单位长度得到直线 求直线 1 23lyx 1 l 2 l 的解析式 2 l 已知直线 将直线向下平移 2 个单位长度得到直线 求直线 1 23lyx 1 l 2 l 的解析式 2 l 思考 已知直线 将直线向上 或向下 平移个单位长度得到 1 lykxb 1 lm 0 m 直线 求直线的解析式 2 l 2 l 1 例 2 已知直线 y 3x 12 将直线向左平移 5 个单位长度得到直线 求直线 1 l 1 l 2 l 的解析式 2 l 已知直线 y 3x 12 将直线向右平移 5 个单位长度得到直线 求直线的解析式 1 l 1 l 2 l 2 l 思考 已知直线 将直线向左 或向右 平移个单位长度得到 1 lykxb 1 l 0 m m 直线 求直线的解析式 2 l 2 l 例 3 如图 已知点 A 2 4 B 2 2 C 4 0 求 ABC 的面积 例 4 已知直线经过两点 1 6 3 2 它和轴 轴的交点式 B A 直线mxy 过点 2 2 且与轴交点的纵坐标是 3 它和轴 nyx 轴的交点是 D C y 1 分别写出两条直线解析式 并画草图 2 计算四边形 ABCD 的面积 O x y 3 4 6 2 F E D C B A 2 3 若直线 AB 与 DC 交于点 E 求 BCE 的面积 一 填空题 1 直线与直线平行 则 57yx 2ykx k 2 将直线向下平移 3 个单位所得直线的解析式为 3yx 3 将直线向上平移 5 个单位 得到直线 5yx 4 将直线向上平移 1 个单位所得直线的解析式为 4 12 x y 5 直线是由直线向 平移 个单位得到的 24yx 2yx 6 直线是由直线向 平移 个单位 3 12 x y 3 2x y 7 一直线与另一条直线平行 且 与轴的交点坐标为 0 6 则此直线23yx y 解析式为 8 把直线向右平移 3 个单位长度后 其直线解析式为 24yx 9 把直线向左平移 4 个单位长度后 其直线解析式为 1 3 2 yx 10 要由直线得到直线 可以通过平移得到 先将直线212yx 26yx 向 填 上 或 下 平移 单位长度得到直线 再将直线212yx 2yx 向 平移 填 上 或 下 单位长度得到直线 当2yx 26yx 然也可以这样平移 先将直线向 平移 填 左 或 右 单位长212yx 度得到直线 再将直线向 平移 填 左 或 右 2yx 2yx 单位长度得到直线 以上这两种方法是分步平移 也可以一次直接平移得到 26yx 即将直线向 平移 填 上 或 下 单位长度直接得到直线212yx 或者将直线向 平移 填 左 或 右 单位长度26yx 212yx 3 直接得到直线 26yx 11 直线向左平移 2 个单位长度后得到的直线解析式是 直512yx 线 向右平移 3 个单位长度后得到的直线解析式是 6 2 x y 12 直线既可以看作直线向 平移 填 上 或 下 813yx 83yx 单位长度得到 也可以看作直线向 平移 填 左 或 右 单位83yx 长度得到 13 直线向下平移 2 个单位 再向左平移 1 个单位得到直线 1 4 3 xy 14 过点 2 3 且平行于直线的直线是 2yx 15 直线是直线向右平移 2 个单位再向下平移 5 个单位得到的 而 22m yx n 7 在直线上 则 2ana 二 解答题 1 直线经过 1 2 3 4 两点 求直线与坐标轴围成的图形的面积 2 如图 A B 分别是轴上位于原点左右两侧的点 点 P 2 在第一象限 直线xp PA 交轴于点 C 0 2 直线 PB 交轴于点 D AOP 的面积为 6 yy 1 求 COP 的面积 2 求点 A 的坐标及的值 p 3 若 BOP 与 DOP 的面积相等 求直线 BD 的 函数解析式 2 p y x P OF E D C BA 4 3 已知 经过点 3 2 它与轴 轴分别交于点 B A 直线 1 2lyxm xy 经过点 2 2 且与轴交于点 C 0 3 它与 2 lykxb y 轴交于点 D x 1 求直线的解析式 12 l l 2 若直线与交于点 P 求的值 1 l 2 l ACPACD SS 知识点一 二次函数的平移 二次函数的平移大致分为两类 即为上下平移和左右平移 1 上下平移 若原函数为 cbxaxy 2 mcbxaxym mcbxaxym 2 2 为个单位 则平移后函数向下平移 为个单位 则平移后函数向上平移 注 其中 m 均为正数 若 m 为负数则将对应的加 减 号改为 减 加号即可 通常上述变换称为上加下减 或者上正下负 2 左右平移 若原函数为 左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式cbxaxy 2 然后再进行相应的变形khxay 2 knhxayn knhxayn 2 2 数为个单位 则平移后的函若向右平移了 数为个单位 则平移后的函若向左平移了 注 其中 n 均为正数 若 n 为负数则将对应的加 减 号改为 减 加号即可 通常上述变换称为左加右减 或者左正右负 例例 1 把抛物线向左平移一个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的表 2 yx 达式为 A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 例例 2 将函数的图像向右平移个单位 得到函数的图像 2 yxx 0 a a 2 32yxx 则 a 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 举一反三 抛物线的图像向右平移 2 个单位长度 再向下平移 3 个单位 2 yxbxc 长度 所得图像的函数解析式为 则 b c 的值为 2 23yxx 5 A b 2 c 3 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 例例 3 已知二次函数 当 b 从 1 逐渐变化到 1 的过程中 它所对 2 1 11 yxbxb 应的抛物线位置也随之变动 下列关于抛物线的移动方向的描述中 正确的是 A 先往左上方移动 再往右下方移动 B 先往左下方移动 再往左上方移动 B 先往右上方移动 再往右下方移动 D 先往右下方移动 再往右上方移动 例例 4 已知抛物线 C 将抛物线 C 平移得到抛物线 若两条抛物线 C 2 310yxx C 关于直线 x 1 对称 则下列平移方法在 正确的是 C A 将抛物线 C 向右平移个单位 B 将抛物线 C 向右平移 3 个单位 5 2 C 将抛物线 C 向右平移 5 个单位 D 将抛物线 C 向右平移 6 个单位 1 把抛物线向左平移一个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的表达 2 yx 式为 A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 2 抛物线cbxxy 2 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得图像的 解析式 为32 2 xxy 则 b c 的值为 A b 2 c 2 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 3 将函数的图像向右平移个单位 得到函数的图像 2 yxx 0 a a 2 32yxx 则 a 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知二次函数 当 b 从 1 逐渐变化到 1 的过程中 它所对应 2 1 11 yxbxb 的抛物线位置也随之变动 下列关于抛物线的移动方向的描述中 正确的是 A 先往左上方移动 再往右下方移动 B 先往左下方移动 再往左上方移动 B 先往右上方移动 再往右下方移动 D 先往右下方移动 再往右上方移动 5 已知抛物线 C 将抛物线 C 平移得到抛物线 若两条抛物线 C 2 310yxx C 关于直线 x 1 对称 则下列平移方法正确的是 C A 将抛物线 C 向右平移个单位 B 将抛物线 C 向右平移 3 个单位 5 2 C 将抛物线 C 向右平移 5 个单位 D 将抛物线 C 向右平移 6 个单位 6 已知二次函数的图像过点 0 3 图像向左平移 2 个单位后的对称轴是轴 向下平y 6 移 1 个单位后与轴只有一个交点 则此二次函数的解析式为 x 7 已知 0 把抛物线向下平移 1 个单位 再向左平移0 cbaacbxaxy 2 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 8 在平面直角坐标系中 将抛物线绕着它与轴的交点旋转 180 所得 2 23yxx y 抛物线的解析式是 A B 2 1 2yx 2 1 4yx C D 2 1 2yx 2 1 4yx 1 要从抛物线 y 2x2的图象得到 y 2x2 1 的图象 则抛物线 y 2x2必须 A 向上平移 1 个单位 B 向下平移 1 个单位 C 向左平移 1 个单位 D 向右平 移 1 个单位 2 将抛物线 y 3x2的图象向右平移 1 个单位 再向下平移两个单位后 则所得抛物线解 析式为 A y 3 x 1 2 2 B y 3 x 1 2 2 C y 3 x 1 2 2 D y 3 x 1 2 2 3 要从抛物线 y 2x2得到 y 2 x 1 2 3 的图象 则抛物线 y 2x2必须 A 向左平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 B 向左平移 1 个单位 再向上平移 3 个单 位 C 向右平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 D 向右平移 1 个单位 再向上平移 3 个单 位 4 抛物线向左平移 1 个单位得到抛物线 2 3 2 yx A 2 3 1 2 yx 2 3 1 2 yx 2 3 1 2 yx 5 函数与的图象的不同之处是 2 1 3 yx 2 1 2 3 yx 7 对称轴 开口方向 顶点 形状 6 把 y x2 4x 化成 y a x m 2 n 的形式是 A B C D 2 2 3yx 2 2 5yx 2 2 3yx 2 2 5yx 7 把二次函数的图象先向右平移 2 个单位 再向上平移 5 个单位后得到一个新图 2 xy 象 则新图象所表示的二次函数的解析式是 A B C D 52 2 xy 52 2 xy 52 2 xy 52 2 xy 8 对于抛物线 下列叙述错误的是 22 2 34 2 1yxyx 与 A 开口方向相同 B 对称轴相同 C 顶点坐标相同 D 图象都在 x 轴上方 9 已知二次函数的图像过点 0 3 图像向左平移 2 个单位后的对称轴是轴 向下y 平移 1 个单位后与轴只有一个交点 则此二次函数的解析式为 x 10 二次函数图象经过坐标原点 其顶点是 1 1 求此二次函数解析式 11 已知二次函数图象的顶点为 1 8 且过点 0 6 求解析式 12 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象的对称轴是 x 1 且过点 0 0 和点 1 2 求此函数的 解析式 若图象经过点 1 m 求 m 的值 8 13 已知 0 把抛物线向下平移 1 个单位 再向左平0 cbaacbxaxy 2 移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 知识点二 二次函数解析式的几种求法知识点二 二次函数解析式的几种求法 类型一类型一 一 一 已知三点求二次函数的解析式已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时 通常把这三点的坐标 代入一般式中 可得以 为未知数的三元方程组 解此方程组求cbxaxy 2 abc 得 的值再代入一般式可得所求函数解析式 abc 例 1 已知二次函数的图象经过点 A B C 求这个二次函数 2 3 2 6 7 30 5 的解析式 类型二 二 已知顶点坐标 对称轴 或极值求二次函数的解析式二 已知顶点坐标 对称轴 或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标 对称轴 或极值时 可设其解析式为 即顶点式 nmxay 2 较为简便 例 2 已知二次函数图象的顶点为 2 5 且与 y 轴的交点的纵坐标为 13 求这个二次 函数的解析式 例 3 已知二次函数的图象过点 1 2 对称轴为且最小值为 2 求这个函数的1 x 解析式 9 类型三 三 已知图象与三 已知图象与 x 轴两交点坐标求解析式轴两交点坐标求解析式 当已知二次函数图象与 x 轴的两交点坐标时 可设其解析式为 即交点式 较为简便 21 xxxxay 例 4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 两点 与 y 轴交点的纵坐标为 0 1 A 0 3 B 2 求此二次函数的解析式 类型四 四 由二次函数的图象平移变换求解析式四 由二次函数的图象平移变换求解析式 由已知图象的平移变换求解析式时 通常是将已知图象的解析式写成 顶点式 即 的形式 若图象右 左 移动几个单位 的值就减 加 几个单位 nmxay 2 m 若图象向上 下 移动几个单位 的值就加 减 几个单位 n 例 5 将二次函数的图象向左平移 3 个单位 再向下平移 2 个单582 2 xxy 位 求所得二次函数的解析式 类型五 五 二次函数的图象绕顶点旋转五 二次函数的图象绕顶点旋转或沿或沿 x 轴翻折变换求解析式轴翻折变换求解析式 0 180 这类问题 必须把已知二次函数的解析式化成 顶点式 当的图象绕顶点旋转 时 旋转前后顶点坐标不变 而开口方向相反 故二次顶系数互为相反数 当图象沿 0 180 x 轴翻折时 翻折前后顶点关于 x 轴对称 开口方向相反 例 6 把函数的图象绕顶点旋转 1800 求所得抛物线的解析式 142 2 xxy 10 例 7 把二次函数的图象沿 x 轴翻折 求所得抛物线的解析式 52 2 xxy 二次函数应用练习题二次函数应用练习题 1 如图 已知抛物线 l1 y x2 4 的图象与 x 轴相交于 A C 两点 B 是抛物线 l1上的动点 B 不与 A C 重合 抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称 以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D 1 求 l2的解析式 2 求证 点 D 一定在 l2上 3 ABCD 能否为矩形 如果能为矩形 求这些矩形公共部分的面积 若只有一个矩形符合条件 则 求此矩形的面积 如果不能为矩形 请说明理由 注 计算结果不取近似值 2 已知 二次函数与 x 轴交于 A B 两点 A 在 B 的左边 与 y 2 1 ymx 3 m x 4 m0 4 轴交于点 C 且 ACB 90 1 求这个二次函数的解析式 2 矩形 DEFG 的一条边 DG 在 AB 上 E F 分别在 BC AC 上 设 OD x 矩形 DEFG 的面积为 S 求 S 关于 x 的函数解析式 3 将 1 中所得抛物线向左平移 2 个单位后 与 x 轴交于 A B 点 A 在 B 的左边 矩形 D E F G 的一条边 D G 在 A B 上 G 在 D 的左边 E F 分别在抛物线上 矩形 D E F G 的周长 是否存在最大值 若存在 请求出最大值 若不存在 请说明理由 3 阅读材料 解答下列问题 求函数 y x 1 中的 y 的取值范围 1x 3x2 解 y 1x 1 2 1x 11 2 x 1x 3x2 11 0 1x 1 y 2 在高中我们将学习这样一个重要的不等式 x y 为正数 此不等式说明 当正数xy 2 yx x y 的积为定值时 其和有最小值 例如 求证 x 2 x O x 1 证明 1 x 1 x 2 x 1 x x 2 x 1 利用以上信息 解决以下问题 1 求函数 y 中 x 1 y 的取值范围 1x 1x 2 若 x O 求代数式 2x 的最小值 x 4 4 如图 已知二次函数 y x2 4x c 的图像经过坐标原点 并且与函数 y x 的图像交于 O A 两 2 1 2 1 点 1 求 c 的值 2 求 A 点的坐标 3 若一条平行于 y 轴的直线与线段 OA 交于点 F 与这个二次函数的图像交 于点 E 求线段 EF 的最大长度 5 利用图象解一元二次方程 x2 2x 1 0 时 我们采用的一种方法是 在直角坐标系中画出抛物线 y x2和 直线 y 2x 1 两图象交点的横坐标就是该方程的解 1 请再给出一种利用图象求方程 x2 2x 1 0 的解的方法 2 已知函数 y x3的图象 如图 求方程 x3 x 2 0 的解 结果保留 2 个有效 数字 6 我们学过二次函数的图象的平移 如 将二次函数 y 3x2的图象向左平移 2 个单位 再向下平移 4 个 单位 所图象的函数表达式是 2 3 2 4yx 12 类比二次函数的图象的平移 我们对反比例函数的图象作类似的变换 1 将的图象向右平移 1 个单位 所得图象的函数表达式为 1 y x 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数表达式为 2 函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到 的图 1x y x 1 y x 1 2 x y x 象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到 3 一般地 函数 且 的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样 xb y xa 0ab ab 的变换得到 7 已知抛物线 y ax2 b x c 经过 A B C 三点 当 x 0 时 其图象如图所示 1 求抛物线的解析式 写出抛物线的顶点坐标 2 画出抛物线 y ax2 b x c 当 x 0 时的图象 3 利用抛物线 y ax2 b x c 写出为何值时 y 0 8 下表给出了代数式与的一些对应值 2 xbxc x x 01234 2 xbxc 3 1 3 1 请在表内的空格中填入适当的数 2 设 则当取何值时 y 0 y 2 xbxc x 3 请说明经过怎样平移函数的图象得到函数的图象 y 2 xbxc 2 yx 9 已知抛物线经过及原点 2 yaxbxc 5 3 3 3 0 2 PE 0 0 O 1 求抛物线的解析式 2 过 P 点作平行于轴的直线 PC 交轴于 C 点 在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上 xy 任取一点 Q 过点 Q 作直线 QA 平行于轴交轴于 A 点 交直线 PC 于 B 点 直线 QA 与直线 PC 及两坐标yx 轴围成矩形 OABC 如图 13 是否存在点 Q 使得 OPC 与 PQB 相似 若存在 求出 Q 点的坐标 若不 存在 请说明理由 3 如果符合 2 中的 Q 点在 x 轴的上方 连结 OQ 矩形 OABC 内的四个 三角形 OPC PQB OQP OQA 之间存在怎样的关系 为什么 13 10 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成 长方形的长为 8 m 宽为 2 m 隧道最高点 P 位于 A B 的中 央且距地面 6 m 建立如图所示的坐标系 1 求抛物线的解析式 2 一辆货车高 4 m 宽 2 m 能否从该隧道内通过 为什么 3 如