解三角形知识点汇总和典型例题

中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 文成教育文成教育 教育是一教育是一项项良心工程良心工程 文成教育学科辅导教案讲义文成教育学科辅导教案讲义 授课对象授课教师徐老师 授课时间3 月 11 日授课题目解三角形复习总结 课 型复习课使用教具人教版教材 教学目标熟练掌握三角形六元素之间的关系 会解三角形 教学重点和难 点 灵活解斜三角形 参考教材人教版必修 5 第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解解三角形的必备知识和典型例题及详解 一 知识必备 1 直角三角形中各元素间的关系 在 ABC中 C 90 AB c AC b BC a 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB cosA sinB tanA c a c b b a 2 斜三角形中各元素间的关系 在 ABC中 A B C为其内角 a b c分别表示A B C的对边 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 R为外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 3 三角形的面积公式 1 aha bhb chc ha hb hc分别表示a b c上的高 S 2 1 2 1 2 1 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 2 2 absinC bcsinA acsinB S 2 1 2 1 2 1 4 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少有 一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以包括三角 形的高 中线 角平分线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 主要类型 1 两类正弦定理解三角形的问题 第 1 已知两角和任意一边 求其他的两边及一角 第 2 已知两角和其中一边的对角 求其他边角 2 两类余弦定理解三角形的问题 第 1 已知三边求三角 第 2 已知两边和他们的夹角 求第三边和其他两角 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的 特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 判定三角形形状时 可利用正余弦定理实现边角转化 统一成边的形式或角的 形式 6 求解三角形应用题的一般步骤 1 分析 分析题意 弄清已知和所求 2 建模 将实际问题转化为数学问题 写出已知与所求 并画出示意图 3 求解 正确运用正 余弦定理求解 4 检验 检验上述所求是否符合实际意义 二 典例解析 题型题型 1 1 正 余弦定理 正 余弦定理 例 1 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精确到 ABC20 a28 b 0 40 A 0 1 边长精确到 1cm 解 1 根据三角形内角和定理 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 3 000 180 32 081 8 0 180 CA B 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 2 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 所以 或 0 0B 0 180 0 64 B 0 116 B 当时 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当时 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 点评 应用正弦定理时 1 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的 情形 2 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型题型 2 2 三角形面积 三角形面积 例 2 在中 求的值和 ABC sincosAA 2 2 AC 23 ABAtan 的面积 ABC 解法一 先解三角方程 求出角 A 的值 2 1 45cos 2 2 45cos 2cossin A AAA 又 0180 A4560 105 AA 13 tantan 4560 23 13 A 4 62 60sin45cos60cos45sin 6045sin 105sinsin A 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 4 SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin 解法二 由计算它的对偶关系式的值 sincosAA sincosAA sincosAA 2 2 2 1 sincos 2 1 2sincos 2 0180 sin0 cos0 1 sin2 2 AA AA AAA A 另解 2 3 cossin21 cos sin 2 AAAA sincosAA 6 2 得 sin A 26 4 得 cos A 26 4 从而 sin264 tan23 cos426 A A A 以下解法略去 点评 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 着重数学考查运算 能力 是一道三角的基础试题 两种解法比较起来 你认为哪一种解法比较简单呢 题型题型 3 3 三角形中的三角恒等变换问题 三角形中的三角恒等变换问题 例 3 在 ABC中 a b c分别是 A B C的对边长 已知a b c成等比数列 且a2 c2 ac bc 求 A的大小及的值 c Bbsin 分析 因给出的是a b c之间的等量关系 要求 A 需找 A与三边的关系 故可 用余弦定理 由b2 ac可变形为 a 再用正弦定理可求的值 c b2 c Bbsin 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 5 解法一 a b c成等比数列 b2 ac 又a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC中 由余弦定理得 cosA bc acb 2 222 bc bc 22 1 A 60 在 ABC中 由正弦定理得 sinB b2 ac a Absin A 60 sin60 ac b c Bb 60sinsin 2 2 3 解法二 在 ABC中 由面积公式得bcsinA acsinB 2 1 2 1 b2 ac A 60 bcsinA b2sinB sinA c Bbsin 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用 正弦定理 题型题型 4 4 正 余弦定理判断三角形形状 正 余弦定理判断三角形形状 例 4 在 ABC中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 答案 C 解析 2sinAcosB sinC sin A B sinAcosB cosAsinB sin A B 0 A B 另解 角化边 点评 本题考查了三角形的基本性质 要求通过观察 分析 判断明确解题思路和变形 方向 通畅解题途径 题型题型 5 5 三角形中求值问题 三角形中求值问题 例 5 的三个内角为 求当 A 为何值时 取得最ABC ABC cos2cos 2 BC A 大值 并求出这个最大值 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 6 解析 由 A B C 得 所以有 cos sin B C 2 2 A 2 B C 2 A 2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin 即 A 时 cosA 2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B C 2 3 2 点评 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式 通过三 角函数的性质求得结果 题型题型 6 6 正余弦定理的实际应用 正余弦定理的实际应用 例 6 2009 辽宁卷文 理 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两 岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 0 75 0 30 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 0 60 AC 0 1km 试探究图中 B D 间 距离与另外哪两点间距离相等 然后求 B D 的距离 计算结 果精确到 0 01km 2 1 414 6 2 449 解 在 ABC 中 DAC 30 ADC 60 DAC 30 所以 CD AC 0 1 又 BCD 180 60 60 60 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 在 ABC 中 ABCsin C BCAsin AAB 即 AB 20 623 15sin ACsin60 因此 BD km33 0 20 623 故 B D 的距离约为 0 33km 点评 解三角形等内容提到高中来学习 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求 的降低 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展 但也不可太难 只要掌握基本知识 概 念 深刻理解其中基本的数量关系即可过关 三 思维总结 1 解斜三角形的常规思维方法是 1 已知两角和一边 如A B C 由A B C 求C 由正弦定理求a b 2 已知两边和夹角 如a b c 应用余弦定理求c边 再应用正弦定理先求较短 边所对的角 然后利用A B C 求另一角 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 7 3 已知两边和其中一边的对角 如a b A 应用正弦定理求B 由A B C 求C 再由正弦定理或余弦定理求c边 要注意解可能有多种情况 4 已知三边a b c 应余弦定理求A B 再由A B C 求角C 2 三角学中的射影定理 在 ABC 中 AcCabcoscos 3 两内角与其正弦值 在 ABC 中 BABAsinsin 4 解三角形问题可能出现一解 两解或无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解 三 课后跟踪训练 1 2010 上海文数 18 若 ABC的三个内角满足 sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 2 2010 天津理数 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc sin2 3sinCB 则 A A 0 30 B 0 60 C 0 120 D 0 150 答案 A 解析 本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用 属于中等题 由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR 所以 cosA 2222 c a3 22 bbcc bcbc 32 33 22 bcbc bc 所以 A 300 温馨提示 解三角形的基本思路是利用正弦 余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算 3 2010 湖北理数 3 在ABC 中 a 15 b 10 A 60 则cosB A 2 2 3 B 2 2 3 C 6 3 D 6 3 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 8 答案 D 解析 根据正弦定理 sinsin ab AB 可得 1510 sin60sinB 解得 3 sin 3 B 又因为ba 则BA 故 B 为锐角 所以 2 6 cos1sin 3 BB 故 D 正确 4 2010 广东理数 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 解 由A C 2B及A B C 180 知 B 60 由正弦定理知 13 sinsin60A 即 1 sin 2 A 由ab 知 60AB 则 30A 180180306090CAB sinsin901C 5 2009 湖南卷文 在锐角ABC 中 1 2 BCBA 则 cos AC A 的值等于 AC的取值范围为 解析 设 2 AB 由正弦定理得 12 sin2sin2coscos ACBCACAC 由锐角ABC 得0290045 又01803903060 故 23 3045cos 22 2cos 2 3 AC 6 2009 全国卷 理 在ABC 中 内角 A B C 的对边长分别为a b c 已知 22 2acb 且sincos3cossin ACAC 求 b 分析 此题事实上比较简单 但考生反应不知从何入手 对已知条件 1 22 2acb 左侧是二次的右侧是一次的 学生总感觉用余弦定理不好处理 而对已知 条件 2 sincos3cossin ACAC 过多的关注两角和与差的正弦公式 甚至有的学 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 9 生还想用现在已经不再考的积化和差 导致找不到突破口而失分 解法 在ABC 中则sincos3cossin ACAC 由正弦定理及余弦定理有 222222 3 22 abcbca ac abbc AA 角化边 化简并整理得 222 2 acb 又由已知 22 2acb 2 4bb 解得40 bb 或舍 7 在 ABC中 已知A B C成等差数列 求 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 的值 解析 因为A B C成等差数列 又A B C 180 所以A C 120 从而 60 故 tan 由两角和的正切公式 得 2 CA 3 2 CA 3 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan CA CA 所以 2 tan 2 tan33 2 tan 2 tan CACA 3 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 点评 在三角函数求值问题中的解题思路 一般是运用基本公式 将未知角变换为已知 角求解 同时结合三角变换公式的逆用 8 2009 四川卷文 在ABC 中 AB 为锐角 角ABC 所对的边分别为 abc 且 510 sin sin 510 AB I 求AB 的值 II 若21ab 求abc 的值 解 I AB 为锐角 510 sin sin 510 AB 22 2 53 10 cos1 sin cos1 sin 510 AABB 2 53 105102 cos coscossinsin 5105102 ABABAB 0AB 4 AB II 由 I 知 3 4 C 2 sin 2 C 中小学中小学 1 对对 1 课课外外辅导专辅导专家家 10 由 sinsinsin abc ABC 得 5102abc 即2 5ab cb 又 21ab 221bb 1b 2 5ac 9 2010 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 100 36 1961 2 10 62 A