大学物理-第三章刚体力学

第三章 刚体力学,3.2 刚体定轴转动定律,3.1 刚体运动学,3.3 刚体定轴转动中的功和能,3.4 刚体定轴转动的角动量守恒,3.1 刚体运动学,刚体运动学,刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。,刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动,一、刚体平动的描述,在运动过程中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都互相平行。,平动的刚体可视为质点,二、刚体定轴转动的描述,刚体上所有点都绕同一直线作圆周运动，该直线的方位固定。,1、转动平面,2、转动方程,2 刚体匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,注意： 1 刚体定轴转动与质点直线运动类似。,飞轮 30 s 内转过的角度,例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转过多少转？,解 由题意，令 ，即 ，积分,得,当t=300s 时,所以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在 300 s 内转子转过的转数,1、质心（P57-58）,质点系由 个质点组成, 质心的位置矢量为,注意（1）质心的位矢与坐标系的选取有关，但质心相对于质点系内各质点的相对位置与坐标系的选取无关，质心是给定质点系本身的一个特定位置。,对于质量连续分布的物体,（2）一些几何对称的物体，如直棒、圆环、圆盘和球体等，若质量均匀分布，则它们的几何对称中心也就是质心。,2、质心运动定理,质心运动的速度,质心运动的加速度,质点系的总动量,质心运动定理,3.2 刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,注意：,刚体上各质元对转轴上O点的角动量沿转轴的分量之和，即刚体上各质元对其圆心的角动量之和。,3.3刚体角动量与角动量守恒,定义转动惯量：,略去下标z：,注意：,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,圆盘对P 轴的转动惯量,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例1 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒,竿子长些还是短些较安全？,例3 一质量为 、半径为 的均匀圆环，求通过环中心 O 并与环面垂直的轴的转动惯量 .,解,例4 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,例5 求一质量为 、半径为 的均匀球体对中心 轴的转动惯量 .,解 设球体体密度为 ，在球上取半径为 ，厚度为 的圆盘。,而,圆盘质量,所以,圆盘对轴的转动惯量,转动定律的应用,例 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从,解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .,如令 ，可得,（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,（3） 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩,例 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度 .,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得,式中,得,由角加速度的定义,3.3 刚体转动中的功和能,注意：,刚体转动中的功和能,对于刚体与其他物体组成的系统，若只有保守内力做功，则系统机械能守恒。,五、刚体的机械能,例 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 .,解 拉力 对圆盘做功与 对物体做功抵消。,系统：物体，圆盘，地球,注意：,积分形式,微分形式,3.3 刚体定轴转动的角动量守恒,角动量守恒定律,圆锥摆,被 中 香 炉,惯性导航仪（陀螺）,角动量守恒定律在技术中的应用,例：匀质杆质量为M，长l，可绕通过中点的光滑轴在铅垂面内旋转。开始杆竖直静止。有一子弹质量为m，以水平速度v射入杆的下端而不复出，求(1)杆和子弹开始一起旋转时的角速度；（2）杆相对铅垂线偏转的最大角度。,(2)在杆开始转动到杆转到最大偏转角 的过程中，研究杆、子弹和地球组成的系统，机械能守恒。以杆下端最低点作为重力势能零点，则杆开始转动时的机械能为,杆转到最大角度时的机械能为,由机械能守恒， ，则有,例 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少 ?,解 把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统 ，机械能守恒 .,例：质量为M，半径为R的转盘，可绕通过中心的竖直轴转动，阻力忽略不计。开始质量为m