大学物理-第七章机械波

机械波,本章教学要求： 理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。 了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。 理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。 了解机械波的多普勒效应及其产生原因。,本章重点：简谐波的波动方程,相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。驻波。本章难点：波动方程，相干波，驻波,返回目录,下一页,上一页,机械波目录,7.1 机械波的几个概念,7.2 平面简谐波波函数,7.3 机械波的能量,7.4 惠更斯原理 波的衍射，反射和折射,7.5 波的干涉,7.6 多普勒效应,返回总目录,1. 机械波产生的条件,波动是振动的传播过程。,机械波：机械振动在介质中的传播过程。,弹性介质,波源,电磁波：变化的电场和变化的磁场在空 间的传播过程。不需要媒质。,7-1-1 机械波的形成,2.横波和纵波,横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。,注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。,纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。,振动方向,传播方向,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（仅在固体中传播 ）,7-1-2 横波与纵波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,7-1-3 波面与波线,波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。,波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。,波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。,平面波：波面为平面,球面波：波面为球面,柱面波：波面为柱面,波阵面和波射线,平面波,球面波,1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。,注：,2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。,波前,波线,2、球面波,1、平面波,波线,波面,波前,波的特征：,(1) 质元并未“随波逐流”,波的传播不是媒质质元的传播,(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动,(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态的传播,(5) 同相点-同振动状态的点,如间距为波长,相位差2,沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。,(4) 振动具有时间周期性,则波动在空间上也有周期性,波是相位的传播,图中b点比a点的相位落后,o,x,t,不同时刻对应有不同的波形曲线,y,波形曲线能反映横波、纵波的位移情况,波形曲线(波形图),1.波长 : 波的传播方向上两相邻同相点间的距离,波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,一般情况下,波的周期(频率)等于波源的振动周期(频率),四. 波的特征量,2.波的周期T: 波动传播一个波长所需的时间.,7-1-4 波长、频率、波速之间的基本关系式,弹性模量,弹性绳上的横波,T-绳的初始张力, -绳的线密度,在外力作用下，当其伸长量为l 时，内部产生弹性力F,实验表明：,比例系数E叫弹性模量,设固体长为l，截面积为S,F/S叫正应力，l/l叫线应变,切变模量,固体切向形变r时，内部产生切向弹性力F,实验表明：,G叫切变模量,体积模量,当液体或气体体积缩小V时，压强相应增大p,实验表明：,K叫体积模量，负号表示压强增大体积变小,波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.,7-2 平面简谐波波函数,7-1-1 波函数,由波的形成过程可知，介质中各质元都在振动，但是各个质元的振动状态是不同的。因此要描述波，需要一个描述波动的函数式，能反映x处的质点在任意时刻t的位移y，,1.平面波的波面是平面，而同一波面上各质元的运动状态是相同的2.对于平面波来说，只要给出其中一条波线上各质元的振动规律，也就确定了空间中各质元的振动规律3.因此可以将平面波简化为一条直线上的波动来研究,平面波简谐波（介质是均匀和无吸收的 ）,在波线上任取一点为坐标原点，沿（逆）波线方向建立坐标轴,x: 表示波线上各质点的平衡位置,y： 表示各质点离开平衡位置的位移,对于某一时刻 t, 各质点位移情况由y-x曲线表示，我们称之为波形曲线,y,波线上各质点依次重复波源的振动，各质 点振动相位沿传播方向依次滞后（落后）,7-2 平面简谐波波动方程,波动方程描写波线上所有质点的振动方程,波 源 点：波源所在位置（有时不重要）原 点： 坐标选择，坐标轴一定要与波线方向一致或反向）参考点x0: 已知振动方式的点,返回本章目录,下一页,上一页,一、沿X轴正方向传播的平面简谐波,平面简谐波：在均匀无吸收介质中传播的平面波，波源作谐振动。,1、已知坐标原点O的振动方程，求波动方程,返回本章目录,下一页,上一页,所以P点振动方程为：,返回本章目录,下一页,上一页,所以P点振动方程为：,上式称为相位滞后式，对x0的点同样适用,问题： x点的初位相为多少？,返回本章目录,下一页,上一页,讨论：,返回本章目录,下一页,上一页,波线上各点的简谐运动图,返回本章目录,下一页,上一页,(5) 质点的振动速度，加速度,2. 已知波线上一点x0的振动方程，求波动方程,x点相位滞后,问题：x=0点的初相为多少？ x点的初相是多少？,返回本章目录,下一页,上一页,二、沿X轴负方向传播的平面简谐波,1、已知坐标原点O的振动方程，求波动方程,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,沿X轴正向传播的波，曲线上升段各质点速度为负，曲线下降段各质点速度为正,沿X轴负向传播的波，曲线上升段各质点速度为正，曲线下降段各质点速度为负,返回本章目录,下一页,上一页,3、由波形曲线及传播方向判断波形图上各质点振动速度方向,4波的图像与振动图像的区别,已知t=T/4时刻的波形图，且波沿x轴正方向传播，,求：,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,三、波动方程的三种表达式,返回本章目录,下一页,上一页,1）波动方程,例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求,解 写出波动方程的标准式,2）求 波形图.,3） 处质点的振动规律并做图 .,处质点的振动方程,【例7-5】 图7-12(a)表示t0时刻的波形图；图7-12(b)表示原点x=0处质元的振动曲线，试求此波的波函数，并画出x2m处质元的振动曲线。,解 由图可知,由图7-12(b)中，可以看出x0处质元振动的振幅A2cm，t0时，该质元位移yo0，,因而该质元的初相位,所以x0处的质元的振动方程为,x2m处质元的振动方程为,此波的波动方程为,例3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程 .,1）以 A 为坐标原点，写出波动方程,2）以 B 为坐标原点，写出波动方程,3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程,点 C 的相位比点 A 超前,点 D 的相位落后于点 A,4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差,1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和 点的初相位.,2）平面简谐波的波函数为 式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.,向x 轴正向传播,向x 轴负向传播,2.波动方程,对 求x 、t 的二阶偏导数,得到,任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。,平面波的波动微分方程,以沿直杆传播的纵波为例讨论,7-3 机械波的能量,7-3-2 机械波的能量和能量密度,可见：,1、波的动能和势能均随时间作同周期性变化，变化周期为波动周期的一半（T/2）。,2、动能与势能同相变化。dV内的波动能量在 之间变化。,当dE增加时，表示有能量沿波线传入体元；当dE减少时，表示有能量沿波线从体元传出。,返回本章目录,下一页,上一页,5、理解动能与势能同相变化,以横波为例，考察某时刻波形图上的许多质元，位移最大处的质元C,C由于dy/dx=0,没有形变，波动势能最小（为0）；而位移为0处的质元A,A，dy/dx最大，形变最大，波动势能最大。 某质元由C点运动到D点的过程中，有能量从左传来，再由D点运动到E点的过程中，将能量输送给右边质元,返回本章目录,下一页,上一页,振动与波的关系：,一个质点,介质中振动的各个质点,一个质点沿直线或弧线做周期性运动,很多质点都在做振动，只是依次开始,受回复力，阻力小,振源、介质,都是周期性运动；构成介质的每个质点，在波传播过程中都做周期、振幅相同的振动，从整体看，所呈现的现象是波动。,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.,1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同相位的.,2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .,能量密度：单位体积介质中的波动能量.,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.,1、平均能流：单位时间内垂直通过S面的平均能量。,2、能流密度（波的强度）：单位面积上通过的平均能流。,可见：波的能量是沿波线并以波速u而流动的。,I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2),7-3-2 能流和能流密度,例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.,球面简谐波方程,一）惠更斯原理的表述,返回本章目录,下一页,上一页,波在弹性介质中运动时,任一点P 的振动,将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P 点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，P 可视为一个新的波源。1678年，惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理：,7-4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射,一、惠更斯原理,二）对现象的解释,1）从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面,球面波,平面波,t时刻的波阵面,返回本章目录,下一页,上一页,3)解释衍射现象,衍射（绕射）-波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘前进的现象,“室内讲话，墙外有耳”,水波的衍射,返回本章目录,下一页,上一页,波动绕过障碍物传播的现象，称为波的衍射或波的绕射。,衍射是波动的基本特性。对于一定的狭缝，波长越长，衍射现象越显著。,对于一定的波长，缝的宽度a越小，衍射现象越显著。衍射程度取决于缝宽a与波长 之比。,7-4-2 波的衍射,波的折射,特点：波的频率不改变波速和波长都发生了改变入射角与折射角之间满足折射定律,现象：波从一种介质射入另一种介质时，传播的方向会发生改变,7-4-3 波的折射定律,记,，则,一、波的叠加原理,两列波在空间传播的相遇区域，媒质中各质点将同时参与两个振动。任一时刻质点的位移是每个波在该处所引起的振动位移的合成。即发生波的叠加。,同一空间传播的两个或两个以上的波，每个波动在传播过程中各自保持自身的特性（振动方向、频率、传播方向等）不变，就好象空间并没有其它波动存在一样。相遇处发生振动的叠加，相遇后仍按各自的传播规律继续前进。,可见，两个或两个以上的波动在传播过程中相遇时，每一相遇点的振动是各个波动在该处振动的合成。相遇后，每一波又按各自的特性继续向前传播。,7-6 波的干涉,波的叠加原理只有当波的强度较小时才是正确的，当波的强度较大时，它并不成立。因当波的强度甚大时，波相互之间就有明显的影响。,绳波,水波,返回本章目录,下一页,上一页,光波,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,7-6 波的干涉,相干波,相干条件：,振动方向相同,频率相同,相位相同或相位差恒定,相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。,相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。,两列相干波在空间相遇，这时两列波传到空间任意一点均有恒定的相差。则质点的振动也是稳定的，有些点振动始终加强,有些点振动始终减弱，这种稳定的叠加就是波的干涉。,返回本章目录,下一页,上一页,讨论,当,当,返回本章目录,下一页,上一页,不满足以上条件时：,特别地，当 的条件下，,【例7-7】 图7-26所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。声波从入口E进入仪器，分B、C两路在管中传播，至喇叭口A会合传出。弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，从喇叭口发出的声音周期性地增强或减弱。设C管每拉动8cm声音减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为340ms)。,DCA与DBA两路声波干涉减弱条件，必须满足波程差,当C管拉动x=8 cm时，再次出现减弱时；,u= 340ms,例2）如图：A、B两点是处于同一介质中相距为20m的两个波源，它们作同方向、同频率的振动（=100HZ）,初相差为 ，设它们激起的是相向前进的两平面波，振幅均为5cm。波速为200 m/s，求A、B连线上因干涉而静止的各质点位置。,已知：AB=20m,=100HZ,A=5cm,u=200m/s,求：振幅=0的点的位置,返回本章目录,下一页,上一页,解：1）建立坐标AXY，选取A点位移最大时为计 时起点，即设波源A在A点的振动初相为0，则：,2）波动方程：,返回本章目录,下一页,上一页,3）分析相位差,返回本章目录,下一页,上一页,2）波动方程：,处振幅为零。,或直接由,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解,设 A 的相位较 B 超前，则 .,点P 合振幅,一）何谓驻波,两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波。,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,二）驻波分析,1）波形曲线分析,由此可见，驻波特点是：,2）相邻两节点间的质点具有相同的位相，同时达到最大值或最小值。节点两侧各点具有相反的位相。,返回本章目录,下一页,上一页,三、驻波,为讨论方便，设,返回本章目录,下一页,上一页,和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos(+)/2sin(-)/2 cos +cos =2cos(+)/2cos(-)/2 cos -cos =-2sin(+)/2sin(-)/2,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,X,Y,质点的 相位关 系,开始计时：,再看节点b的两侧质点：,节点两侧质点反相,而：,返回本章目录,下一页,上一页,总之：相邻两节点间的质点同相，节点两侧质 点反相。,纵驻波：,3）驻波的能量,驻波中的能流密度为零，实际上是系统的一种稳定的振动状态。,返回本章目录,下一页,上一页,当波节点间质点振幅最大时：,势能曲线,动能曲线,当质点到达平衡位置 时：,能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间交换与转移,返回本章目录,下一页,上一页,驻波的特点,1、两波节之间各点振幅不同，中点振幅最大（波腹）,2、两波节之间各点振动相位相同，同时达到最大值 或最小值。一波节两侧各点相位正好相反。,3、波节与相临波腹距离为,返回本章目录,下一页,上一页,例2、一弦上的驻波方程若将它看成是由传播方向相反、振幅和波速相等的两列波相干叠加而成。（1）求它们的振幅和波速。（2）求相邻波节之间的距离。（3）求t=0.003s 时位于x=0.02m处质点的振动速度。,解： （1）,振幅 A=0.015m, 波长 =1.25m, 周期 T=0.00364s,波速,（3）振动速度,（2）相邻波节之间的距离,例1、两波在同一绳