圆锥曲线的切线方程总结(附证明)

精品文档 1欢迎下载 运用联想探究圆锥曲线的切线方程运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上 第 75 页例题 2 给出了经过圆 上一点的切线方程为 当在圆外 222 ryx 00 yxM 2 00 ryyxx 00 yxM 时 过点引切线有且只有两条 过两切点的弦所在直线方程为 那么 M 2 00 ryyxx 在圆锥曲线中 又将如何 我们不妨进行几个联想 联想一 联想一 1 过椭圆上一点切线方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 00 yxM 2 当在椭圆的外部时 过引切线有两1 2 0 2 0 b yy a xx 00 yxM1 2 2 2 2 b y a x M 条 过两切点的弦所在直线方程为 1 2 0 2 0 b yy a xx 证明 1 的两边对求导 得 得 22 22 1 xy ab x 22 22 0 xyy ab 0 2 0 2 0 x x b x y a y 由点斜式得切线方程为 即 2 0 00 2 0 b x yyxx a y 22 0000 2222 1 x xy yxy abab 2 设过椭圆外一点引两条切线 切点分 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 00 yxM 别为 由 1 可知过 两点的切线方程分别为 11 yxA 22 yxBAB 又因是两条切线的交点 所以有1 2 1 2 1 b yy a xx 1 2 2 2 2 b yy a xx 00 yxM 观察以上两个等式 发现 1 2 01 2 01 b yy a xx 1 2 02 2 02 b yy a xx 11 yxA 满足直线 所以过两切点 两点的直线方程为 22 yxB1 2 0 2 0 b yy a xx AB 1 2 0 2 0 b yy a xx 评注 因在椭圆上的位置 在椭圆上或椭圆 00 yxM 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 外 的不同 同一方程表示直线的几何意义亦不同 1 2 0 2 0 b yy a xx 联想二 联想二 1 过双曲线上一点切线方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 00 yxM 为 2 当在双曲线的外部时 过引切线1 2 0 2 0 b yy a xx 00 yxM1 2 2 2 2 b y a x M 有两条 过两切点的弦所在直线方程为 证明同上 1 2 0 2 0 b yy a xx 联想三 联想三 1 过圆锥曲线 A C 不全为零 上的点 22 0AxCyDxEyF 精品文档 2欢迎下载 的切线方程为 2 当 00 yxM 00 00 0 22 xxyy Ax xCy yDEF 在圆锥曲线 A C 不全为零 的外部时 过 00 yxM 22 0AxCyDxEyF 引切线有两条 过两切点的弦所在直线方程为 M 00 00 0 22 xxyy Ax xCy yDEF 证明 1 两边对求导 得x220AxCyyDEy 得 由点斜式得切线方程为 0 0 0 2 2 x x AxD y CyE 0 00 0 2 2 AxD yyxx CyE 化简得 22 000000 22220Cy yCyEyEyAx xDxAxDx 因为 22 0000 0AxCyDxEyF 由 2 可求得切线方程为 00 00 0 22 xxyy Ax xCy yDEF 2 同联想一 2 可证 结论亦成立 根据前面的特点和圆上点的切线方程 得到规律 过曲线上的点的切线 00 yxM 方程为 把原方程中的用代换 用代换 若原方程中含有或的一次项 2 x 0 x x 2 y 0 y yxy 把用代换 用代换 得到的方程即为过该点的切线方程 当点x 0 2 xx y 0 2 yy 在曲线外部时 过引切线有两条 过两切点的弦所在直线方程为 00 yxMM 00 00 0 22 xxyy Ax xCy yDEF 通过以上联想可得出以下几个推论 推论推论 1 1 1 过抛物线上一点切线方程为 0 2 2 ppxy 00 yxM 2 过抛物线的外部一点引两条 00 xxpyy 0 2 2 ppxy 00 yxM 切线 过两切点的弦所在直线方程为 00 xxpyy 推论推论 2 2 1 过抛物线上一点切线方程为 0 2 2 ppxy 00 yxM 2 过抛物线的外部一点引两 00 xxpyy 0 2 2 ppxy 00 yxM 条切线 过两切点的弦所在直线方程为 00 xxpyy 推论推论 3 3 1 过抛物线上一点切线方程为 0 2 2 ppyx 00 yxM 2 过抛物线的外部一点引两 00 yypxx 0 2 2 ppyx 00 yxM 条切线 过两切点的弦所在直线方程为 00 yypxx 推论推论 4 4 1 过抛物线上一点切线方程为 0 2 2 ppyx 00 yxM 2 过抛物线的外部一点引两 00 yypxx 0 2 2 ppyx 00 yxM 条切线 过两切点的弦所在直线方程为 00 yypxx 精品文档 3欢迎下载 在以上的研究中 我们成功的运用了联想 由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想 到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程 触类