大学物理-质点运动学

第一章 质点运动学,教学基本要求,一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量 。 理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性 。,二 理解运动方程的物理意义及作用 。 掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法 。,三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度 。,1-1 质点和参考系1-2 描述质点运动的物理量1-3 描述质点运动的坐标系1-4 牛顿运动定律1-5 力学中常见的力1-6 伽利略相对性原理,机械运动（mechanical motion ）,1-1 质点和参考系,为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系（reference system，frame of reference）。 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性。,在力学范围内所说的运动， 是指物体位置的变更。宇宙中的一切物体都处于永恒的运动之中， 绝对静止的物体是不存在的。显然， 一个物体的位置及其变更， 总是相对于其他物体而言的， 否则就没有意义， 这便是机械运动的相对性。因此， 为了描述一个物体的运动情形， 必须选择另一个运动物体或几个相互间保持静止的物体群作为参考物。只有先确定了参考物， 才能明确地表示被研究物体的运动情形。研究物体运动时被选作参考物的物体或物体群， 称为参考系。例如， 研究地球相对于太阳的运动， 常选择太阳作参考系； 研究人造地球卫星（earth satellite）的运动， 常选择地球作参考系； 研究河水的流动， 常选择地面作参考系等。,2 质点质点（particle）是具有质量没有大小的物体。物体或物体系可以看成是质点的集合。某些情况下，物体的大小和形态对所研究的问题可以忽略，此时它可近似看成是质点。,质点是力学中一个十分重要的概念。我们知道， 任何实际物体， 大至宇宙中的天体， 小至原子、原子核、电子以及其他微观粒子， 都具有一定的体积和形状。如果在所研究的问题中， 物体的体积和形状是无关紧要的， 我们就可以把它看作为质点。物体看作为是由许多质点组成的， 对其中的每一个质点都可以运用质点运动的结论， 叠加起来就可以得到整个物体的运动规律。可见， 质点力学是整个力学的基础。,“Nature and Natures law lay hid in night，God said let Newton be and all was light”,坐标系（coordinate system）,直角坐标系（rectangular coordinate system）,自然坐标系（natural coordinates）,平面坐标系（planar coordinate systems）又称作笛卡尔坐标系，Cartesian coordinate systems）,米（metres）是1299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度古希腊语metre（米），意为测量。,“米”定义的演变国际单位制的长度单位“米”起源于法国。1790年5月由法国科学家组成的特别委员会，建议以通过巴黎（Paris）的地球子午线全长的四千万分之一作为长度单位米，1791年获法国国会批准。为了制造出表征米的量值的基准器，在法国天文学家捷梁布尔和密伸的领导下，于17921799年，对法国敦克尔克至西班牙的巴塞罗那进行了测量。1799年根据测量结果制成一根3.5毫米25毫米短形截面的铂杆，以此杆两端之间的距离定为1米，并交法国档案局保管，所以也称为“档案米”（meter des archives）。这就是最早的米定义。,由于档案米的变形情况严重，于是1872年放弃了“档案米”的米定义，而以铂依合金（90的铂和10的铱）制造的米原器作为长度的单位。米原器是根据“档案米”的长度制造的，当时共制出了31只，截面近似呈X形，把档案米的长度以两条宽度为68微米的刻线刻在尺子的凹槽（中性面）上。1889年在第一次国际计量大会上，把经国际计量局鉴定的第6号米原器（31只米原器中在0时最接近档案米的长度的一只）选作国际米原器（international prototype metre），并作为世界上最有权威的长度基准器保存在巴黎国际计量局（Bureau international des poids et mesures， BIPM）的地下室中，其余的尺子作为副尺分发给与会各国。规定在周围空气温度为0时，米原器两端中间刻线之间的距离为1米。1927年第七届国际计量大会又对米定义作了严格的规定，除温度要求外，还提出了米原器须保存在1标准大气压下，并对其放置方法作出了具体规定。,1960年第十一届国际计量大会（conference generale des poids et mesures，CGPM）对米的定义作了如下更改：“米的长度等于氪86原子的2P10和5d1能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1650763.73倍”。这一自然基准，性能稳定，没有变形问题，容易复现，而且具有很高的复现精度。我国于1963年也建立了氪86同位素长度基准。米的定义更改后，国际米原器仍按原规定保存在国际计量局。,随着科学技术的进步，70年代以来，对时间和光速的测定，都达到了很高的精确度。因此，1983年10月在巴黎召开的第十七届国际计量大会上又通过了米的新定义：“米是1299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度”。这样，基于光谱线波长的米的定义就被新的米定义所替代了。,1-2 描述质点运动的物理量,时间和时刻“时间”这个词在我们生活中随时都能遇到。在物理学中， 它代表一个重要物理量， 是国际单位制（SI）中的七个基本物理量之一。但是， 在生活的习语中， 时刻和时间间隔（简称时间）这两个概念常被混淆了。例如， 有人问:“飞机什么时间起飞? ”又问:“飞机从上海到北京飞行多少时间 ? ”在这两句话中，“时间”的涵义是完全不同的。前一句话中的“时间”， 指的是物理学中“时刻”的概念， 表示飞机起飞那一瞬间时钟的读数。而后一句话中的“时间”， 指的是物理学中“时间间隔”的概念， 表示飞机从上海起飞那一瞬间时钟的读数与飞机连续飞行到达北京机场着陆那一瞬间时钟读数之间的间隔。,在一定坐标系中考察质点运动时， 质点的位置是与时刻相对应的， 质点运动所经过的路程是与时间相对应的。时间是标量， 单位是s （秒）。,在公元前1400年，出现的漏壶（沙漏或者滴漏）是第一个摆脱天文现象的计时仪器。它根据流沙从一个容器滴漏到另一个容器的数量来计量时间。古代人设计的“五轮沙漏”通过流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，以此来驱动初轮，从而带动各级机械齿轮的依次旋转。最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此来显示时刻，这种古老的显示方法几乎与现代时钟的结构完全相同。,公元前1500年，出现的日晷是人类最古老的计时工具，埃及人首先开始使用这项技术，然后在整个地中海地区普及开来。日晷是以太阳投向刻度盘的阴影为基础的。通常由铜制的指针（晷针）和石制的圆盘（晷面）组成。,秒的定义时间的基本国际单位是秒。它现在以铯133原子基态的两个超精细能级间跃迁对应的辐射的9192631770个周期的持续时间。,秒定义的演变时间单位秒，最早是利用地球自转运动来规定的。天文工作者把太阳连续两次通过观察者所在子午线上空的时间定为24小时，叫做“太阳日” （solar day） 。但是实际上地球自转的周期是不稳定的，太阳日有长有短，因此，国际上就采用一年内各太阳日的平均值作为24小时，称为“平太阳日（mean solar day）”。19世纪末，将一个平太阳日的186400作为1秒，并把这种以地球自转为基础的时间计量系统称为世界时（universal time）。,1960年第十一届国际计量大会决定采用历书时（ephemeris time）代替世界时。历书时是以地球的公转运动为基础的。历书时规定从1900年1月0日12时整起算的回归年的131556925.9747作为1秒。按此定义将秒的准确度提高到1109。1967年第十三届国际计量大会决定用原子时（international atomic time）取代历书时，原子时的秒定义为：“秒是铯133原子基态的两个越精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期所持续的时间”。按此定义将秒的准确度已超过11013。,2 位置矢量（position vector）参考系中一个固定点O指向质点P的矢量，它可表示质点P的位置， 简称位矢。,P,O,图1-1中的点P代表我们所讨论的质点， 点O代表参考系上的一个固定点， 以后建立坐标系时坐标原点就取在这里。点P在任意时刻的位置， 可用从点O到点P所引的有向线段OP来表示， 可用一个矢量r来代表， 这个矢量r就称为质点P的位置矢量， 简称位矢。位置矢量既然是矢量， 就一定包含了质点位置的两方面的信息， 一是质点P相对参考系固定点O的方位， 二是质点P相对参考系固定点O的距离大小。这正是矢量所具有的两个基本特征。以后我们都用黑体字母代表矢量。,质点在运动， 位置在变化， 则表示质点位置的位置矢量r必定随时间在改变。也就是说， 位置矢量r是时间t的函数， 即 r= r（ t ） （1-1）上式称为质点运动的轨道参量方程， 即质点的运动学方程，它不仅给出了质点运动的轨迹， 也给出了质点在任意时刻所处的位置。,3 位移和路程位移（displacement）质点从点A到点B的位移r，等于点B的位置矢量rB与点的位置矢量rA之差,Dr= rB rA,rA,Dr,O,rB,路程（path）质点从点A到点B的路程D s，等于点B与点A的曲线长度,D s,rA,rB,O,A,B,质点在Dt时间内所经过的路程， 是曲线AB的长度， 写作Ds， 是标量。显然， 路程 Ds与位移Dr是不同的。位移和路程的单位相同， 在国际单位制中为m（米）。,在一般情况下， 位移矢量的模|Dr|是不等于路程Ds的， 只有在质点作单方向直线运动时， 它们才相等。如果发生位移和路程的时间Dt无限地缩短， |Dr|和Ds将逐渐接近， 在极限情况下， 下式成立： 。 （1-3）,图1-3,尽管如此，质点的位移和路程毕竟是两个不同的物理量。位移 r 的运算遵从矢量运算的法则， 也就是平行四边形定则。如果质点沿着任意闭合曲线从点A出发， 经过点 B、C、D到达点E， 如图1-3所示， 那么质点运动的位移 r 可表示为 r = rE rA = r1 + r2 +r3 + r4 ，而质点运动的路程s则应表示为 s=AB+BC+CD+DE,如果质点沿上述曲线继续运动， 从点E又回到了点A， 如图1-4所示， 则在这整个过程中， 质点运动的位移显然为零， 即r = r1 + r2 + r3 + r4+ r5 = 0 。而与此相应的路程， 显然等于整个闭合曲线的周长， 即 s=AB+BC+CD+DE+EA 位移和路程的单位相同，在国际单位制中为m（米）。,图1-4,4 速度和速率平均速度质点在 t时间内的位移是 r，是质点在该段时间里的平均速度（mean velocity）定义为 v = r/ t,平均速率质点在 t时间内的路程是 s，是质点在该段时间内的平均速率（mean speed，average speed）定义为 v = s/ t,平均速率和平均速度是两个不同的概念。前者是标量， 后者是矢量。另外， 它们在数值上也不一定相等， 因为当质点沿曲线运动时 Ds|Dr|。如果在Dt时间内， 质点沿闭合曲线运行一周， 则在这段时间内质点的平均速度等于零， 而相应的平均速率却不等于零。所以， 平均速率与平均速度的关系， 和路程与位移的关系颇相似。,瞬时速度当 t 0时，质点平均速度的极限定义为质点在该时刻的瞬时速度（instantaneous velocity） v= lim r/ t=dr/dt t 0即质点的瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的一次微商。,既然速率等于速度的模， 即等于速度的大小， 所以速率总是正值。速度和速率具有相同的单位， 在国际单位制中为ms-1（米/秒）。,4 加速度当 t 0时，质点平均加速度的极限定义为质点在该时刻的瞬时加速度（instantaneous acceleration） a= limD v/ Dt=dv/dt D t 0即质点的瞬时加速度等于质点的位置矢量对时间的二次微商 a=d2r/dt2,1-3 描述质点运动的坐标系,x,y,z,P（x，y，z）,O,r,直角坐标系直角坐标系中的位置矢量的表示r=xi+yj+zk i、j和k是x、y和z方向的单位矢量,图1-9,通常采用的直角坐标系O-xyz是右旋系,O,O,z,z,y,x,y,x,右旋系,左旋系,直角坐标系中的速度矢量的表示 v=vxi+vyj+vzk其中 vx=dx/dt vx=dy/dt vz=dz/dt,直角坐标系中的加速度矢量的表示 a=axi+ayj+azk其中 ax=dvx/dt = d2x/dt2 ax=dvy/dt = d2y/dt2 az=dvz/dt = d2z/dt2,数学知识矢量表示 A=Axi+Ayj+Azk矢量的模 A= A =Ax2+Ay2+Az2方向余弦 cos=Ax/ A cos =Ay/ A cos =Az/ A,方向余弦（direction cosine）满足的关系 cos2+cos2 +cos2 =1,位置矢量的模 r= r =x2+y2+z2速度矢量的模 v= v =vx2+vy2+vz2加速度矢量的模 a= a =ax2+ay2+az2,例：加速度为常矢量的物体的运动加速度为常矢量的物体是如何运动的？不认真思考的人可能会脱口而出：匀加（减）速直线运动。从下面的分析中可以得知，这种回答是轻率的，因为它忽略了初始速度对物体运动的影响。匀加（减）速直线运动只是初始速度为零时的一种特例。,我们知道，一个速度为常矢量v0的物体，如果它不受力，那么，它的加速度为零。用数学式子表征，可写为 r = v0tr0 （1）其中 r 0=rt=0 （2）而一个以加速度为常矢量a0运动的物体，如果没有初速度的影响，它将以 r =（1/2）a0t2r0 （3）的形式运动。其中，r0的意义同式（2）。,根据运动迭加原理，在初速度v00的前提下，如果物体以常矢加速度a0运动，那么，运动规律应该是 r =（1/2）a0t2v0tr0 （4）这里，采用了（2）式和 a = a0 v0= vt=0 （5）,在直角坐标系中，一个矢量可以用三个分量表示 a0 = a0xia0yja0zk v0 =v 0xiv0yjvozk r0 = x0iy0jz0k （6）其中，下标0具有所对应的物理量与时间无关的含义。,由加速度的定义 a = dv/dt （7）可知，物体运动的各速度分量 v = vxivyjvzk （8）满足 dvx/dt = a0x dvy/dt = a0y dvz/dt = a0z （9）,解之，有 vx = a0xtC1 vy = a0ytC2 vz = a0ztC3 （10）代入初始条件（5）或（6），可以定出常数 C1 = v0x C2 = v0y C3 = v0z （11）,于是 vx = a0xtv0x vy = a0ytv0y vz = a0ztv0z （12）上式可以改写为矢量式 v = a0tv0 （13）,又根据速度的定义 v = dr/dt （14）r 是径矢。在直角坐标系中 r = xiyjzk （15）因此 dx/dt = a0xtv0x dy/dt = a0ytv0y dz/dt = a0ztv0z （16）,解之，有 x = （1/2）a0xt2v0xtC4， y = （1/2）a0yt2v0ytC5， z = （1/2）a0zt2v0ztC6 （17）代入初始条件（5）或（6），可以定出常数 C4 = x0 C5 = y0 C6 = z0 （18）,于是 x = （1/2）a0xt2v0xtx0 y = （1/2）a0yt2v0yty0 z = （1/2）a0zt2v0ztz0 （19）（19）式和（4）式是一致的。,将t理解成参数，那么，运动方程（19）可以看成是轨道方程的参数方程。这条轨道呈何种形状？具有解析几何知识的人知道，一般情况下，这是一条抛物线。 为了明晰这一点，我们可以合适设置坐标系。不妨使直角坐标系的y轴与物体运动的加速度a0一致。此时，a0x = 0，a0y0，a0z=0。记a0 = a0y，那么，a = a0j。再使v0在XOY平面内，此时，v0z = 0，v0 = v0xiv0yj。原点O选取在t = 0时刻物体所在的位置，抑或说r0 =0 , 即x0 =0，y0 = 0，z0 = 0。以上这些要求是可以实现的，同时，如此设置坐标系，并不会影响物理结论正确性。,此时，（19）式演化为 x = v0xt y = （1/2）a0yt2v0yt z = 0 （20）当v0x0时，在上式中消去t得 y = （1/2）a0y（1 /v0）2 x2（v0y/v0x）x z = 0 （21）显见，这是XOY平面上的一条抛物线。,如果，v0和a0夹角为0，这条抛物线可以改写为 y = （a0/2v02cos20）x2tg0x z = 0 （22）a =g时，（22）式描写地面上的抛体（平抛、斜抛）运动。 当v0x = 0时，v0方向与a0方向一致或相反，（20）式成为 x = 0 y = （1/2）a0t2v0t z = 0 （23）这表示物体是沿y轴作匀加速或匀减速直线运动。,a =g时，（23）式描写地面附近的自由落体（包括上抛和下抛）直线运动。,1-4 牛顿运动定律,1 牛顿第一定律任何物体都要保持其静止状态或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变为止。牛顿第一定律（Newton first law）也称为惯性定律（the law of inertia）。,自然哲学的数学原理,墓志铭（模仿创世纪） Nature and Natures law lay hid in night，God said let Newton be and all was light,我之所以能比别人看得远些，是因为我站在巨人们的肩上。我只不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为比别人找到更光滑更美丽的卵石和贝壳而高兴，而在我面前的真理的海洋，却完全是个迷。牛顿,惯性（inertial）物体保持静止和匀速直线运动状态的性质。物体所受的力（force）是外界对它的作用，效果是使它改变运动状态，产生加速度。,实验表明，在以太阳中心为坐标原点、以指向任一恒星的射线为坐标轴建立的坐标系中，牛顿运动定律精确成立，所以这是一个比较精确的惯性系。但是由于太阳在随银河系旋转，所以上述参考系不是严格的惯性系。目前最好的实用惯性系，是以选定的数以千计颗恒星的平均静止位形为基准的参考系，称为FK5系。地球虽然不是严格的惯性系， 但在处理较短时间内发生的力学问题时， 可以近似地把它当为惯性系， 直接应用牛顿运动定律。,牛顿第一定律成立的参考系称为惯性参考系（inertial frame）。牛顿第一定律不成立的参考系称为非惯性参考系（non-inertial frame）。,牛顿第二定律（Newton second law）质点所获得的加速度a的大小与它所受合力F的大小成正比，与质点自身的质量m成反比，加速度的方向与合力的方向相同 F=ma,牛顿第二定律中的质量是指惯性质量（inertial mass），它是作为物体的惯性量度引入的质量是标量（scalar），是国际单位制（international system of units (SI). ）中的七个基本物理量之一。质量的单位是千克 kg。原子质量单位是用碳同位素C126原子量的十二分之一 1u=1.660540210-27kg,量度物体惯性的大小， 我们引入质量这个物理量。物体质量的大小是这样规定的: 各物体的质量， 与它们在大小相等的外力作用下所获得的加速度的大小成反比。若用m表示物体的质量， 用a表示它所获得的加速度的大小， 则有 m1/a （1-55）用m1和m2分别表示上述实验中木块的质量和铅块的质量，用a1和a2分别表示木块和铅块在大小相等的外力作用下所获得的加速度值。按照式（1-55）所表示的质量的定义， 应有 m1/m2a2/a1 （1-56）,此式表示， 任何两个物体， 在大小相等的外力作用下所获得的加速度值之比为常量， 该常量与作用力的大小无关， 只决定于物体自身的特性， 即质量。如果选择其中一个物体为标准物体， 它的质量为 1 千克， 则另一个物体的质量m2可由测得的加速度之比来确定 m2 = m1a1/a2 = a1/a2 （千克） ， （1-57）,在国际单位制中，力的单位是牛顿，英文字母表示为N 1 N=1 kg m s-2,3 牛顿第三定律（Newton third law）当物体A以力FAB作用到物体B时，物体B也必定同时以力FBA作用于A， FAB和FBA大小相同，方向相反，并处于同一条直线上 FAB=FBA,作用力和反作用力成对出现，同时产生，同时消失。作用力和反作用力虽处于同一直线上，但由于作用于不同的物体，它们之间不能互相抵消。作用力和反作用力都是性质相同的力。,1-5 力学中常见的力,1 万有引力（gravitation）,万有引力定律（law of universal gravitation）任何两个质点之间都存在相互作用的引力，力的方向沿两质点的连线，力的大小与两质点质量m1和m2的乘积成正比，与两质点之间的距离r的平方成反比 F=G m1m2 r/r3在国际单位制中 G =6.6725910-11Nm2kg-2,万有引力是自然界基本力之一。物体之间的引力相互作用通过引力场（gravitational field）传递。引力相互作用通过引力子（graviton）传递。引力子尚未在实验上被探测到。,在万有引力定律中引入的物体质量， 称为引力质量（gravitational mass）。引力质量与在牛顿运动定律中引入的惯性质量（inertial mass）一样， 也是物体自身的一种属性的量度， 它表征了物体之间引力作用的强度。虽然引力质量和惯性质量代表了物体的两种不同的属性， 然而精确的实验研究和理论分析表明， 对于任一物体来说， 这两个质量都是相等的。这一重要结论正是爱因斯坦创立广义相对论（general relativity）的实验基础。,引力符合力的叠加原理不连续分布时 F=F1+F2+F3+ =Fi连续分布时 F=dF力的叠加是矢量叠加，矢量叠加符合平行四边形法则（parallelogram rule）。,地球对物体的吸引力称为重力（gravity） F=mgg是重力加速度（gravity acceleration）。,重力加速度的数值与物体的质量无关。重力加速度的数值与地球的质量有关。由于自转，重力加速度的数值与地球的纬度有关。重力加速度的数值离开地面的高度的增加而减少。,例：假设地球为球形，已知地球半径为R0。不考虑自转，地面处的重力加速度g0大小和离地面高度处h的重力加速度g大小之间的关系。,h,R,解： 因为 mg0=GMm/R02 mg=GMm/（R0 +h） 2 因此 g=g0/（1+h/R0） 2,弹性力弹性力（elastic force）是由于物体形变而产生的相互作用力。,弹性形变弹性物体受力要发生形变。当力撤除后，若物体完全恢复到原来的形态，这种形变称为弹性形变（elastic deformation）。弹性限度超过一 定限度，当力撤除后，物体不能完全恢复到原来的形态。这个限度，称为弹性限度（elastic limit）。,实验规律在弹性范围内，弹簧（spring）产生的弹性力的大小和弹簧的形变量成正比 F=kx （1-65）k是弹簧的劲度系数（coefficient of stiffness），表示弹簧产生单位长度形变所需施加的力的大小，它与弹簧的材料和形状有关。符号“”表示作用于物体的弹性力的方向与形变方向相反。,图1-20,3 摩擦力,当一个物体在另一个物体表面上滑动或有滑动趋势时， 在这两个物体的接触面上就会产生阻碍物体间作相对滑动的力， 这种力就是摩擦力（frictional force）。当物体有滑动趋势但尚未滑动时， 作用在物体上的摩擦力称为静摩擦力（static frictional force）。静摩擦力的大小与外力的大小相等， 而方向相反。当我们用力推一个放在水平桌面上的物体时， 物体并没有沿桌面滑动， 仅有滑动的趋势。物体不滑动， 是由于在水平方向上， 物体除了受到推力以外， 还受到一个与推力大小相等、方向相反的静摩擦力f的作用， 如图1-24所示， 这两个力的合力为零， 所以物体保持静止。当推力增大时， 静摩擦力也随着增大， 直到静摩擦力增大到最大值， 若再继续增大推力， 物体就开始在桌面上滑动了。,实验证明， 最大静摩擦力（maximum static friction force）fmax的大小与支撑力N的大小存在下面的关系 fmax = m0N ， （1-66）,图 1-24式中m0称为静摩擦系数（coefficient of static friction）， 是由两个物体表面状况和材料性质等因素所决定的， 通常由实验测得。所以， 静摩擦力的大小由外力的大小决定， 可以取从零至fmax之间的任何值。,当一个物体在另一个物体的表面上滑动时， 在接触面上所产生的摩擦力，称为滑动摩擦力（sliding friction）。实验表明， 滑动摩擦力的大小也与支撑力 N的大小成正比， 即 f=mN （1-67）式中m称为滑动摩擦系数（coefficient of sliding friction），其数值主要由接触面的状况和材料性质所决定。对于给定的两个物体，其滑动摩擦系数m要比其静摩擦系数m0略小，当相对滑动速率不太大时，滑动摩擦力小于最大静摩擦力。实验还表明，当两个物体的接触面不是很大或很小时，摩擦系数几乎与接触面积无关。作为一种粗糙模型，在计算时可以认为滑动摩擦系数等于静摩擦系数。,上面所说的摩擦现象都是在两个物体之间发生的，故称外摩擦（external friction）现象。在物体内部各部分之间，若有相对移动，也会发生摩擦现象，这种摩擦现象称为内摩擦（internal friction）。在流体（液体或气体）中这种现象很明显。摩擦力产生的原因非常复杂， 除了两个接触面凹凸不平而互相嵌合外， 还与分子之间的引力作用和静电作用有关。,Whenever one surface moves over another， a force is set up which resists the movement。每当一个平面沿着另一个平面移动时，就会产生一个力阻碍这种运动。This force， which we call friction， always opposes motion。 这种总是阻碍运动的力我们称之为摩擦力。,It exists in every machine。 它存在于一切机械运动中。It can be reduced by lubrication but never completely removed。 可以用润滑油来减小摩擦力，但不可能完全去处。In general， the force opposing motion is slightly greater before one surface starts moving over another surface than after movement has started。一般来说，在一个平面开始移动之前这种相反的力会比较大，而相对运动后就不那么大了。,This slightly greater force in called static friction。 相对运动之前的这种较大的力称之为静摩擦。The force which must be overcome to keep one surface moving over another in known as sliding friction。 而保证一个平面沿着另一个平面相对移动的力称为滑动摩擦力。Static friction is greater than sliding fricton。静摩擦力大于滑动摩擦力。,The value of sliding friction depends on nature of the two surfaces which touch each other。 滑动摩擦力的大小取决于两接触面的自然属性。Thus friction between two rough planks can be lessened if they are made smooth。 两块粗糙厚木板经过打磨后，它们之间的摩擦力会减小。Sliding friction is independent of the area of surface in contact。 滑动摩擦力于表面接触的面积无关。,In theory a small brake pad will exert as much braking force as a large one of greater surface area。理论上，一个小的刹车器会产生同拥有更大表面积的大刹车器同样的减速效果。In practice a small pad will wear down more quickly and therefore in not used。 实际中，一个小的刹车器的抗磨损能力较差，所以不被采用。One other law of friction should be noted。 摩擦力的另一个定律也应被注意。,We can make the normal reaction between two surfaces in contact twice as large by doubling the mass carried by one surface。 我们可以通过使一个接触面的质量加倍而达到两接触表面的作用力力增大一倍的效果。If we do so we find that sliding friction between the surfaces in also doubled。 如果我们这样做了，会发现两接触面间的滑动摩擦力也加倍了。,This shows that sliding friction is proportional to the reaction between the surface in contact。这说明滑动摩擦力与接触表面的作用力成正比。,1-6 伽利略相对性原理伽利略相对性原理对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的，也称力学的相对性原理。或者：不可能借助在惯性参考系中所做的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动的速度。,爱因斯坦发展了伽利略相对性原理，提出， 对于描述一切物理过程的规律，所有惯性系都是等价的。这便是爱因斯坦相对性原理，是爱因斯坦狭义相对论的两个基本原理之一。,图1-27,伽利略变换设有两个惯性系S（O-xyz）和S（O x y z ），其中x轴与x 轴相重合， y轴与y 、 z轴与z 轴分别相平行， 并且S 系相对于S系以速度v沿x轴作匀速直线运动， 如图1-27所示。在长度测量的绝对性和同时性测量的绝对性的假定下， 即认为时间和空间是相互独立的， 绝对不变的， 并与物体的运动无关， S系与S 系之间的变换可以表示为 x =x vt y =y z =z t =t （1-68）,其逆变换为 x=x + vt y =y z =z t=t （1-69）式（1-68）和式（1-69）称为伽利略变换。,当一质点运动速度远小于光速时，可认为其质量与其运动状况无关，所以在上述两个惯性系中观察这个质点，必定质量相同，即m = m 。在这样两个参考系中观察同一个力，也一定会得到相同的量值，即F = F 。最后看一下这个质点的加速度。若在S系中观察到质点的运动速度为 u ， 其分量为 ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt,在S 系中观察到质点的运动速度为u ， 其分量为 ux =dx /dt uy =dy /dt uz =dz /dt ,式（1-68）中的前三式对时间求微商， 考虑到第四式， 则可得到 ux = ux -v uy = uy uz = uz若写成矢量式， 则有 u = u-v （1-70）,将式（1-70）对时间求微商， 考虑到v为恒量， 可得 a = a 。 （1-71）这表示，在S系和S系中观察到同一质点的加速度是相同的。所以， 牛顿第二定律在这两个参考系中的形式， 分别是F = ma 和F = m a 。可见，数学表达形式是相同的。可以证明，力学中的其他基本规律经伽利略变换后其形式也不