9习题课(2)10.1二重积分概念

1 空间曲线的切线与法平面 1 参数式情况 空间光滑曲线 切向量 9 6几何应用 空间光滑曲线 2 一般式情况 切向量 9复习与习题课 空间光滑曲面 曲面 在点 1 隐式情况 的法向量 2 曲面的切平面与法线 空间光滑曲面 2 显式情况 法向量 或 向上的方向 向下的方向 曲面 在点的法向量 法线方程 切平面方程 曲线 在 处的 切线方程 法线方程 法向量 9 7方向导数与梯度 1 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 2 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 3 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 沿坐标轴的方向导数存在 9 8多元函数的极值及其求法 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 第二步判别 最值应用题评经验判断 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 3 函数的最值问题 在条件 求驻点 可推广见下页 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 求函数 下的极值 在条件 x0 y0 z0 剔除拉格朗日乘数因子部分 得拉格朗日函数的驻点 例 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离 解 设 为抛物面 上任一点 则P 的距离为 问题归结为 约束条件 目标函数 作拉氏函数 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际问题知最小值存在 故 P130题18 在第一卦限内作椭球面 的切平面 使与三坐标面围成的四面体体积最小 并求此体积 解 设切点为 则切平面为 所指四面体围体积 V最小等价于f x y z xyz最大 故取拉格朗日函数 0 0 0 0 解得 由实际问题知 在点 处的切平面与三坐标面 围成的四面体体积最小 最小体积为 作业 P1305 6 10 15 17 P130总习题9第2题 设f x y 在点 0 0 的附近有定义 C 曲线在 0 0 f 0 0 处的切向量为 1 0 3 D 曲线 在 0 0 f 0 0 处的切向量为 3 0 1 则 01数一 A dz 0 0 3dx dy B 曲面z f x y 在 0 0 f 0 0 处的法向量为 3 1 1 C 且 则切向量 T 1 0 3 若可微或f的一阶偏导数连续 则对 设三元方程 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z 和z z x y C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z 和z z x y D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z 和y y x z 存在点 0 1 1 的一个邻域 在此邻域内该方程 根据隐函数存在定理 偏连 非空显然满足 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 D 05数一 在平面 上 而 与 相切于 1 2 5 求a b 解 在 1 2 5 的法线切平面 据题意 过L平面束 即 97数一 解得 第十章重积分 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 第十一章 推广 按积分区域分类 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型 对弧长 二型 对坐标 一型 对面积 二型 对坐标 Stokes公式 高斯公式 格林公式 多元函数积分学概况 推广 推广 推广 推广 三 二重积分的性质 一 引例 二 二重积分的定义与可积性 10 1二重积分的概念与性质 第十章 解法 类似定积分解决问题的思想 一 引例 1 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底 xoy面上的闭区域D 顶 连续曲面 侧面 以D的边界为准线 母线平行于z轴的柱面 求其体积 分割 近似 求 近似 和 取 极限 D S S z f x y 元素法 1任意分割区域D 化整为零 2以平代曲 i D S z f x y 3积零为整 2以平代曲 元素法 1任意分割区域D 化整为零 i D S z f x y 3积零为整 4取极限 令分法无限变细 i 2以平代曲 元素法 1任意分割区域D 化整为零 V D S z f x y 3积零为整 4取极限 令分法无限变细 2以平代曲 元素法 1任意分割区域D 化整为零 V S z f x y 3积零为整 4取极限 令分法无限变细 V 2以平代曲 元素法 1任意分割区域D 化整为零 V 1 分割 用任意曲线网分D为n个区域 以它们为底把曲顶柱体分为n个 2 近似 在每个 3 求 近似 和 则 中任取一点 小曲顶柱体 4 取 极限 令 2 平面薄片的质量 有一个平面薄片 在xoy平面上占有区域D 计算该薄片的质量M 度为 设D的面积为 则 若 非常数 仍可用 其面密 分割 近似 求 近似 和 取 极限 解决 1 分割 用任意曲线网分D为n个小区域 相应把薄片也分为小区域 连续 2 近似 中任取一点 3 求 近似 和 4 取 极限 则第k小块的质量 两个问题的共性 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 分割 近似 求 近似 和 取 极限 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 二 二重积分的定义及可积性 定义 将区域D任意分成n个小区域 任取一点 若极限 可积 在D上的二重积分 积分和 是定义在有界区域D上的有界函数 或 存在 记为I 黎曼和 引例1中曲顶柱体体积 引例2中平面薄板的质量 如果在D上可积 也常 二重积分记作 这时 分区域D 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 或 二重积分存在定理 若函数 定理2 证明略 定理1 在D上可积 限个点或有限条光滑曲线外都连续 积 在有界闭区域D上连续 则 若有界函数 在有界闭区域D上除去有 三 二重积分的性质 k为常数 为D的面积 则 有和定积分完全对应的性质 7条 假定下列性质中出现的二重积分存在 特别 由于 则 5 若在D上 6 设 D的面积为 则有 即 7 二重积分的中值定理 证 由性质6可知 由连续函数介值定理 至少有一点 在闭区域D上 为D的面积 则至少存在一点 使 使 连续 因此 例1 比较下列积分的大小 其中 解 积分域D的边界为圆周 它与x轴交于点 1 0 而域D位 从而 于直线的上方 故在D上 1 1 2 x y 1 x y 1 由二重积分的性质 更确切的 I1 I2 例2 估计下列积分之值 解 D的面积为 由于 积分性质6 即 1 96 I 2 性质8 设函数 D位于x轴上方的部分为D1 当区域关于y轴对称 函数关于变量x有奇偶性时 仍 在D上 在闭区域上连续 域D关于x轴对称 则 则 有类似结果 在第一象限部分 则有 关于y为偶函数 例3 P182 1 2 解 D3关于x轴对称 且被积函数关于y xy 奇 cosxsiny 奇 91年考研题 所以 D2关于y轴对称 且被积函数关于x xy 奇 cosxsiny 偶 四 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 同样 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 例4 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积 解 设两个直圆柱方程为 利用对称性 考虑第一卦限部