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1 第八章重积分 8 2二重积分的计算法 8 2 1利用直角坐标计算二重积分 当积分区域是X型区域时 当积分区域是Y型区域时 2 设f x y 在D上连续 X 型 3 Y 型 D 4 解积分区域如图所示 应先积x 后积y 5 应先积y 后积x 评注本例中两题不能交换积分次序 因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来 从而二重积分计算不出来 解积分区域如图所示 6 例5求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积 解设这两个圆柱面的方程分别为 利用立体关于坐标平面的对称性 所围成的立体体积为它在第一卦限部分的体积V1的8倍 x2 y2 R2及x2 z2 R2 7 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体 它的底为 它的顶是柱面 例5求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积 x2 y2 R2及x2 z2 R2 8 例5求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积 9 8 2 2利用极坐标计算二重积分 有些二重积分 积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量r 表达比较简单 这时 我们就可以利用极坐标计算二重积分 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 10 1 极坐标系下的二重积分的形式 假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点 我们用 2 从极点出发的一族射线 常数 把D分成n个小区域 如上图 1 以极点为中心的一族同心圆 r 常数 11 除了包含边界点的一些小闭区域外 小闭区域的面积 i 12 13 14 2 如何化为两次单积分 积分顺序 一般是先积r后积 定限的方法 依D的特点 15 16 17 18 闭区域D的面积 可以表示为 利用极坐标计算二重积分 19 20 21 1 22 23 24 小结 利用极坐标计算二重积分 1 积分顺序通常是先r后 2 D的极坐标表示 如D的边界是由直角坐标方程 y f x 给出 通常可从几何意义去确定D的极坐标表示 图形是重要的 或利用x rcos y rsin 进行变换 25 解积分区域D的图形 D 0 r a 0 2 26 R D2 27 D2 S D1 28 R D2 D1 29 30 例4求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱x2 y2 2ax a 0 所截得的 含在圆柱面内的部分 立体的体积 D 31 32 33 定理8 2 1设函数f x y 在有界闭区域D上连续 公式 5 称为二重积分的换元公式 8 2 3二重积分的换元法 34 上式右端是在D1上确定积分限 35 此变换称为广义极坐标变换 在此变换下与区域D对应的区域D1为 36 37 利用广义极坐标变换可得椭圆 38
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