2009年全国高中数学联合竞赛一试试题

欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题 考试时间 10 月 11 日上午 8 00 9 20 一 填空题 本大题共 8 小题 每小题 7 分 共 56 分 把答案填在横线上 1 若函数 且 则 2 1 x f x x n n fxf f ff x 99 1f 2 已知直线 和圆 点在直线上 L90 xy M 22 228810 xyxy ALB 为圆上两点 在 中 过圆心 则点横坐标范围为 CMABC45BAC ABMA 3 在坐标平面上有两个区域和 为 是随 变化的区域 它由不等式MNM 0 2 y yx yx Nt 所确定 的取值范围是 设和的公共面积是函数 则 1txt t01t MN f t f t 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值 1111 2007 12213 a nnn na 为 5 椭圆 上任意两点 若 则乘积的最 22 22 1 xy ab 0ab PQOPOQ OPOQ 小值为 6 若方程仅有一个实根 那么的取值范围是 lg2lg1kxx k 7 一个由若干行数字组成的数表 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和 最 后一行仅有一个数 第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行 则最后一行的数是 可以用指数表示 8 某车站每天 8 00 9 00 9 00 10 00 都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机的 且两者到站的时间是相互独立的 其规律为 到站时刻 8 10 9 10 8 30 9 30 8 50 9 50 概率 1 6 1 2 1 3 一旅客 8 20 到车站 则它候车时间的数学期望为 精确到分 二 解答题 本大题共 3 小题 共 44 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 骤 1 本小题满分 14 分 设直线 其中 为整数 与椭圆交于不lykxm km 22 1 1612 xy 同两点 与双曲线交于不同两点 问是否存在直线 使得向量AB 22 1 412 xy CDl 若存在 指出这样的直线有多少条 若不存在 请说明理由 0ACBD 2 本小题满分 15 分 已知 是实数 方程有两个实根 pq0q 2 0 xpxq 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 数列满足 3 4 n a 1 ap 2 2 apq 12nnn apaqa n I 求数列的通项公式 用 表示 n a II 若 求的前项和 1p 1 4 q n an 3 本小题满分 15 分 求函数的最大值和最小值 2713yxxx 2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题 A 卷 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 考试时间 10 月 11 日上午 9 40 12 10 一 如图 分别为锐角三角形 的外接圆上弧 的中MNABCAB A BC A AC 点 过点作 交圆于点 为 的内心 连接并延长交圆于 CPCMN PIABCPI T I 求证 当 MP MTNP NT II 在弧 不含点 上任取一点 记 的内心 A ABCQQA TBAQCQCB 分别为 求证 四点共圆 1 I 2 IQ 1 I 2 IT 二 求证不等式 1 2 2 1 1 1ln 12 n k k n k n T I P N M A B C Q 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 三 设 是给定的两个正整数 求证 有无穷多个正整数 使得与 互素 klmk k m Cl 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 四 在非负数构成数表3 9 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 z zx xs sx x127127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 111213141516171819 212223242526272829 313233343536373839 xxxxxxxxx Pxxxxxxxxx xxxxxxxxx 中每行的数互不相同 前 6 列中每列的三数之和为 1 172839 0 xxx 27 x 37 x 18 x 均大于 1 如果的前三列构成的数表 38 x 19 x 29 xP 111213 212223 313233 xxx Sxxx xxx 满足下面的性质 O 对于数表中的任意一列 1 2 9 均存在某个P 1 2 3 k k k x x x k 1 2 3 使得 i min iki xu 1 i x 2i x 3i x 求证 I 最小值 1 2 3 一定取自数表的不同列 min i u 1 i x 2i x 3i xi S II 存在数表中的唯一的一列 1 2 3 使得数表P 1 2 3 k k k x x x k 3 3