第五课-线性系统的根轨迹法

精品文档 1欢迎下载 第五课第五课 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 教学目的 教学目的 1 熟练掌握使用 MATLAB 绘制根轨迹图形的方法 2 进一步加深对根轨迹图的了解 3 掌握利用所绘制根轨迹图形分析系统性能的方法 教学内容 教学内容 1 用实验的方法求解根轨迹 在 Matlab 控制系统工具箱中提供了 rlocus 函数 来绘制根轨迹 rlocus 的调用格式为 r rlocus g k r rlocus g k 式中的 g 为线性系统的数学模型 k 为用户自己选择的增益向量 返回的 变量 r 为根轨迹上对应向量 k 的各个增益点的闭环系统的根 如果用户不给出 k 向量 则该函数会自动选择增益向量 在这种情况下 该函数的调用格式为 r k rlocus g r k rlocus g 式中向量 k 为自动生成的增益向量 r 仍为对应各个 k 值的闭环系统的特 征根 例例 1 1 系统 1 的开环传递函数为 15 0 12 0 sss K sGK 要求 1 绘制并记录根轨迹 2 确定根轨迹的分离点与相应的根轨迹增益 3 确定临界稳定时的根轨迹增益 1 参考程序 K 1 z 精品文档 2欢迎下载 p 0 5 2 num den zp2tf z p K rlocus num den Matlab 运行时出现的根轨迹图形窗口中 可以用鼠标单击所关心的根轨迹上的 点 就出现有关这一点的信息 包括相应增益 极点位置 阻尼参数 超调量 自然频率 精品文档 3欢迎下载 例例 2 2 系统开环传递函数中引入一个附加的极点 s a 即系统 2 2 n n ss K sG 的开环传递函数变为 2 2 asss Ka sG n n 给出 a 分别为 1 3 5 时系统的根轨迹变化曲线 5 0 2 srad n 参考程序 clear clc wn 2 xita 0 5 a 1 3 5 for i 1 length a G tf a i wn 2 conv 1 2 xita wn 0 1 a i rlocus G axis 8 5 5 5 hold on disp press any key to continue pause 系统暂停 按任意键继续 end 精品文档 4欢迎下载 结论 结论 从以上三图可以看出 引入负实极点后 系统的根轨迹左移 随着引入 极点远离虚轴 根轨迹左移得越多 系统越容易稳定 例例 3 3 观察上例中引入一个附加零点 s b b 1 3 5 时 系统的根轨迹的变化 情况 即系统的开环传递函数为 2 2 n n ss bbsK sG 参考程序 clear clc wn 2 xita 0 5 精品文档 5欢迎下载 b 1 3 5 for i 1 3 G tf wn 2 1 b i b i 1 2 xita wn 0 rlocus G disp press any key to continue pause hold on end 精品文档 6欢迎下载 结论 结论 当引入的零点处于原系统两个极点之间 即 b 1 时 则系统的根轨迹全 在实轴上 当当引入的零点处于原系统两个极点左侧时 则系统的根轨迹中有 一部分形成原形 无论形成的是圆还是圆弧 都是以零点为圆心 以零点到分 离点的距离为半径 2 确定分离点与相应的根轨迹增益 控制系统工具箱中还提供了 rlocfind 函数 该函数允许用户求取根轨迹上指 定点处的开环增益 并将该增益值下所有的闭环极点显示出来 K r rlocfind num den K r rlocfind num den 例例 4 4 假设系统的开环传递函数为 10 2 sss K sG 当 K 从 0 变化到无穷时 系统的根轨迹可以通过以下的语句来给出 参考程序 clf GH tf 1 conv 1 2 0 1 10 rlocus GH K P rlocfind GH 选中根轨迹与虚轴的交点 则交点处的增益及对应的闭环特征根就显示出来 精品文档 7欢迎下载 Select a point in the graphics window selected point 0 0000 4 1615i K 208 1156 P 11 7998 0 1001 4 1985i 0 1001 4 1985i 结论 结论 由以上结论可以看出当 K 208 1156 时 闭环的三个极点分别为 11 7998 0 1001 4 1985i 0 1001 4 1985i 11 7998 与其它两个极 点相比 距虚轴距离较远 为非主导极点 其它两个极点为主导极点 则该系 统可降阶为二阶系统 因此系统的阶跃响应应为振荡收敛的形式 结论可用以 下指令验证 GH tf K conv 1 2 0 1 10 sys1 feedback GH 1 step sys1 精品文档 8欢迎下载 请同学们用以上方法再验证根轨迹上以下的几个特殊点的阶跃响应曲线 a 根轨迹与虚轴的交点 b 根轨迹上的分离点 c 右半平面上的点 3 根轨迹的实际应用范例 例例 5 5 设控制系统 2 如图所示 其中 Gc s 为改善系统性能而加入的校正装置 若 Gc s 可从 三种传递函数中任选一种 分别作出相应的sKt 2 sKa 20 2 s sKa 根轨迹曲线 分析说明应选择哪一种校正装置 参考程序 s tf s Kt 1 R s Y s 20 100 s 10 10 ss sGc 精品文档 9欢迎下载 Ka 1 建立校正装置 Gc1 Gc2 Gc3 的数学模型 Gc1 tf Kt s Gc2 tf Ka s 2 Gc3 tf Ka s 2 s 20 建立 Go s 的数学模型 Go tf 10 s 20 s 3 30 s 2 200 s 1000 建立校正后的系统模型 Gopen1 tf Gc1 Go Gopen2 tf Gc2 Go Gopen3 tf 10 Gc2 s 3 30 s 2 200 s 1000 Gopen Gopen1 Gopen2 Gopen3 for i 1 3 figure i rlocus Gopen i end 精品文档 10欢迎下载 结论 结论 可见 加入校正装置后改变了系统闭环极点的分布 由根轨迹图可知 加第一种装置后 适当选择 K 可使系统闭环阻尼为 0 707 达到最佳工程阻尼 比 4 根轨迹设计器的使用 Matlab 控制系统工具箱里有一个根轨迹分析与设计的工具 Rltool 在这 个工具中 既可以分析系统根轨迹 也能对系统进行设计 特别是在被控对象 前向通道内以设计零 极点方法来设计控制器时 该工具可以不断观察系统根 轨迹响应曲线的变化 看是否满足性能要求 例例 6 6 已知系统开环的传递函数为 10 1 2 ss sG 试用根轨迹设计器对系统进行补偿设计 使系统单位阶跃给定响应一次超调即 精品文档 11欢迎下载 衰减 并在根轨迹设计器观察根轨迹图与 Bode 图 以及系统阶跃给定响应曲线 参考程序 n1 1 d1 conv conv 1 0 1 0 1 10 sys tf n1 d1 rltool sys 运行程序后 系统自动打开根轨迹设计器 从图中可见 根轨迹位于 S 平面右半平面 系统不稳定 需要进行补偿校正 点击 Current Compensator 输入框 打开以下对话窗口 精品文档 12欢迎下载 在窗口中输入 C 的增益为 60 引入一个附加负实数零点 1 59 系统根轨迹 如下图所示 打开主菜单中的 View Root Locus Open Loop Bode 则窗口中 同时出现有根轨迹图和 Bode 图 从 Bode 图可以看出 补偿校正后的系统是一个稳定的系统 其频域性能指标优 良 选中主菜单项 Analysis Response to Step Command 画出系统单位阶 跃响应曲线 精品文档 13欢迎下载 从响应曲线上看 系统的单位阶跃响应的超调量约为 30 并且一次超调后就 衰减到稳态值 实验