工资问题数学建模

1 对工资待遇问题的探讨对工资待遇问题的探讨 工资支付 就是工资的具体发放办法 包括如何计发在制度工作时间内职工完成一定 的工作量后应获得的报酬 或者在特殊情况下的工资如何支付等问题 主要包括 工资支 付项目 工资支付水平 工资支付形式 工资支付对象 工资支付时间以及特殊情况下的 工资支付等 工资支付的项目 一般包括计时工资 计件工资 奖金 津贴和补贴 延长 工作时间的工资报酬以及特殊情况下支付的工资 本文我们讨论的是对大学教师工资的分配问题 原工资支付系统导致抱怨的原因大致 分为两个方面 1 称与工龄相同的教师的工资相差太大 则工资低的人会抱怨 2 能力高 贡献大的人希望得到更高的收入 否则则会产生抱怨 我们对两篇获奖论文进行了分析摘要总结 论文 1 摘要摘要 该模型通过选取两个指标作为评价某工资分配方案优劣的标准 并以该指标确定三种 不同的评价函数 建立规划模型 通过对规划问题求解 可以找到较为合理的工资过渡方 案 在年工资总额增长 3 人年工资增长率介于 1 3 间的条件下 通过对工资调整的几 个原则的逐步考虑 由较为简化的单一模型发展到较为复杂的分级非线性模型 使模型在 符合所有的原则的前提下 做到了过渡过程尽可能平稳有序 达到了较为满意的结果 知识知识 最小二乘法 用于直线拟合 偏差平方和 实际值与理论值差的平方和 无序度函数 定义为某数列的逆序值 Entropy 线性规划 假设假设 工资增长总额为定值 问题转化为问题转化为 如何将增长额合理地分配到各教员 使其尽可能接近目标方案的优化问题 原则 原则 1 每年所有教员工资须有所提升 2 教员应从晋级中获得实质性利益 如果一个人在最短的时间内得到晋级 其工资的增长 应大致相当于七年正常 未晋级 工资的增长 3 按时 每 7 至 8 年 得到晋级且工作 25 年以上的教员在退休时工资应大致相当于刚工作 博士工资的两倍 4 对于相同级别的教员 工作年限长 经验多的应得到更多的报酬 但是这种由工作年限 长短导致的工资差异应逐渐变小 建模分析建模分析 为了解决该问题 我们建立了三种模型 单一线性模型 分级模型和分级非线性模型 单 一线性模型的建立是假设每个教员每年工资的期望增长率均相同 与级别或工资年限无关 由原则二可以为每个教员建立单一的工资水平参考分数 7 rankyearscore 在理想的情况下可以认为工资仅和该参考分数有关 该工资方案下 对数据点 运用最小二乘法得到拟合线性方程 为了得到较为精确 salaryscore scoref salaryscore 2 的线性方程 我们用偏差平方和无序度指数来衡量线性方程 目 标 函 数 一 该 组 数 据 点 偏 差 平 方 和 T1 2 salary xfsalarysalary salaryscore 目标函数二 根据 Score 对教员进行排序 计算该序列的无序度 T2 salaryscore Entropy 1 评价该分配方案优劣采取指标一 可建立下列规划模型 令目标函数 Min 2 salary argscorefsalarysalarysalaryett salaryscore st LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 2 评价该分配方案优劣采取指标二 可建立下列规划模型 令目标函数 Min salaryscoresalaryett Entropyarg st LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 3 从两组结果来看 各指标均能对工资方案进行约束 其中指标一的整体约束效果 较好 但在每年调整过程中个体间的有序度并未显著改善 指标二的针对局部有 序的调整十分有效 但整体效果欠佳 理想的优化目标应是两者兼顾 可建立下 列规划模型 令目标函数 Min 21argTTsalaryett st LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 所以 今后目标函数均采取形式 21argTTsalaryett 3 分级模型 如果考虑实际情况 不同职级的人应该有不同的年限工资 例如一个 讲师一年增加的工资应该没有一个副教授一年增加的工资多 这是我们就不能单纯的用以 上直线模型来规划 而应分别对不同的职级分开加以讨论 得到一个分级的模型 由于不 同的职级的人有不同的年限工资 由原则二可知 在工作年限相同的情况下 相邻两职级 的教员的工资差异应大致等于同在较低一级中工作年限相差七年的两教员的工资差 这样 我们可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求 目标函数 T1 变为各级偏差平方和的总和 T2 变为各级五序度的总和 仍令目标函数 Min 21argTTsalaryett st LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 分级非线性模型 结合考虑到原则四 在同一职级中 若每年增加的工资都相同 则 在同职级的情况下 由工作年限产生的工资差异将不会逐渐消除 为了达到原则四的 要求 则同一职级中 每年增加的工资额应逐渐减少 而前两个模型都没有考虑该原 则 为了满足该原则可以假设在同一职级中 每一年所增加的工资随着工作年限呈指 数关系递减 在足够后 两个同职级的有丰富经验的教员的工资会很接近 这样我们 可以对分级模型进行一些改动就可以满足要求 在该工资方案下 首先我们对各数据 点以为分类变量将数据点按级别分类 在每一个级别内对数据点rank 以指数函数作为基底运用最小二乘法得到拟合非线性方程 salaryyear 以此作为各教员期望工资函数 同上可计算各级别 year salaryyearrank bayearf 内各数据点偏差平方和 再对各级别的偏差平方和求和作为 T1 公式 在各级别内根据 year 对教员进行排序 计算该序列的无序度 再对各级别的无序度求和作为 T2 公式 salaryyear Entropyrank 目标函数 Min 21argTTsalaryett st LowRatesalarysalary HighRatesalarysalary Totalsalary 4 单一模型对于原则一 二有较好的体现 并可得到较好的结果 若要符合原则三 仅 使用单一模型是不够的 需要使用分级模型 此外若要顾及原则四 则需要使用分级非线 性模型 限制因素限制因素 工资增长总额上限 人员的动态调整 晋级 退休 聘用等 教员间工资增长 间差异应保持在一定范围 一定的稳定性 内 评价方案评价方案 1 偏差平方和 2 有序度指数 论文 2 摘要摘要 作者考虑把总工资 S 分为由不同因素决定的三部分 列出基本关系式 S W A L 级别工资 W 由级别 职称 与工龄决定 级别越高 工龄越长 则级别工资越高 能力奖金 A 由能力和贡献决定 能力越高 贡献越大 则能力奖金越高 生活津贴 L 由生活指数决定 随着生活指数的增长 生活津贴也增长 模型假设 模型假设 1 经验的丰富由给定的工龄长短决定 2 级别不同 相同的工龄的重要性不同 但以前的级别工龄仅由表中数据无法判断 则 以前的工龄同等看待 不再区分 而今后的工龄应分别对待 3 级别越高 应受的优待越多 4 正常晋升 即各级别的工龄应大于一最小值 即各级别的最小工龄 5 在过渡期 教师的晋升均为正常晋升 不存在破格提拔 模型的建立与求解 模型的建立与求解 对 4 个等级分别用最小二乘法拟合其工资曲线 发现拟合的曲线与题目要求的有很大的不 符 于是认为原工资体系在公平合理性方面过于脆弱 不能从此数据中得到足够的信息量 从另一方面着手 先根据题目的要求构造出合理的工资体系 在反过头来用数据检验该工 资体系 级别工资 w 1 原则四说明随着 t 的增长 同级别的 Wi的差异趋近于 0 即存在 Wi的上限 ki 使 常数 ki t i t f 由此立出下式 i Tt iiti amxf ii i 0 1 为级别 i 的教师的 Wi增长工资的上限 即在级别 i 工作若干年增长值 Wi i x t i x ai为级别 i 的起点工资 且 a1 27000 a2 32000 mi为常数 控制增长幅度 由于各级别工资若干年增长极限值 xi不同 设各级别工资若干年增长极限值 xi之比分别为 一常数 ci 即 ci 1 对 ci的确定如下 i i i c x x 1 对原工资数据按不同级别分别进行拟合 求出级别 i 的教师工资的标准差 i 得到标准差之比 275 1 3 4 125 1 3 4 546 1 3 4 5 原工资的标准差 i之比反映了各级别工资若干年增长极限值 xi之比 设为正比关系 则c 为比例系数 11 i i i i i c x x c 特殊情况 t1 T10 t2 T20 t3 T30 t4 T40 认为工龄不够的教师的级别工资 W 为 该级的起点工资 ai 其级别工龄补足为该级别的工龄最小值 即在 ti Ti0时 令 ti Ti0 iti af i 能力奖金 A 定义能力系数 j 教师 j 原工资与他应得标准级别工资之差与标准级别工资之比 并且由于原工资系统存在不合理性 规定一个修正系数修正系数 j 表明原工资 0 0 i iji j W WS 系统体现的能力水平的可信程度 即原能力奖金偏高还是偏低及偏差的大小 j 1 表明教师 j 原工资准确的反映了其能力 j1 表明教师 j 原能力奖金偏低 即应增高其能力奖金 j的确定应用了概率的相关知识 因为无法从已知中获得 采取仿真模拟 随机产生一组数据 并根据以下原则 1 认为原工资系统在总体上反映出的能力水平应是比较合理的 只是反映个人水平时有 偏高偏低 偏差由大有小 且认为偏差很大的情况发生的几率很小 即认为绝大多数 偏差集中在一定范围内 2 设 j服从正态分布 其均值 为 1 j在 1 附近波动 标准差 由偏差集中程度 决定 即满足 j出现在一个置信区间内的概率不小于 p 变动 p 及置信区间的位置 可得到不同的标准差 从而产生不同组的 j 修正后的能力系数与其应得的标准级别工资之积即为标准能力奖金 由此得到教师 j 的标准能力奖金 Aj0 Wi0 j j Wi0 j 0 0 i iji W WS 不考虑生活指数时的工资系统 S 不考虑生活指数影响时 在级别 i 教师 j 的标准工资 Sij0 t Wi0 t Aj0 t 在函数图上表示为教师 j 的级别工资函数向上或向下平移一段距离 Aj0 Aj0 0 时 向上平移 表明教师 j 的能力高 因而能力奖金高于一般水平 用 0 表示 Aj0 0 时 向下平移 表明教师 j 的能力低 因而能力奖金低于一般水平 Aj0 0 时 不平移 表明教师 j 的能力一般 因而能力奖金为 0 不考虑生活指数时的过渡计划 1 未晋升的情况 1 按 Sij0 t Wi0 t Aj0 t 得到其应得的工资 即对他不存在过渡期 2 工资 Sij高于标准工资 S0ij 令他所得工资按原工资不变 直到某年其应得标准工资等于原工资 然后按 Sij0 t Wi0 t Aj0 t 增加 3 工资 Sij低于标准工资 S0ij 为保证平稳过渡 不一次补足 而是逐年补足 规定一个补偿值 dj t 表示第 t 年给教 6 师 j 的超出标准工资 S0ij t 的那部分工资 则第 t 年增长的工资包括两部分 补偿部分与按规定增长部分 即 dj t tSij 规定 在仿真中规定 q t0 等于今年若要一次补足所 0 tS ij tq l l td tj tj j 应补偿的总金额的 k 倍 k 为今年补偿的比例 同时设 q t 1 q t 1 a a 为一比例因子 由人为给定 为教师 j 第 t 年所得工资与标准工资的差值 则今年 Sij tj l 0 tlj S0ij t0 2 晋升的情况 只考虑正常晋升 原则上保证与不晋升时的处理方法相同 只是增加一晋升工资 若教师 j 在第 t1 年按工龄正常晋升 则按正常增长 Sij t1 Si 1 j t1 1 Si 1 i Si 1 i为从级别 i 1 升到级别 i 应增加的工资 在得到各种情况下的 Sij t 后 定义各教师 的工资百分比 perj 则在确定每年的工资总额 S 后 即由 perj S 得到 100 204 1 j tij tij S S 实际每年应发工资 3 过渡年限的确定 定义一个判别指标 标准偏差 g t 表示第 t 年工资系统与标准工资系统的差距 定义过渡成功240 204 1 2 j tj ltg 率 判别过渡是否成功 M 204 100 M 为满足 500 的人数 tlj 令极限参数 500 今年补偿的比例 k 0 2 补偿金增长的比例因子 a 0 1 确定能 力修正系数的置信区间取 0 5 1 5 置信概率 p 0 98 随机产生 100 组能力修正系 数 j进行仿真模拟 仿真过程中 j的产生见前面 能力奖金中的叙述 得到在 N 取 5 时 标准偏差 g t 达最小值 391 美元 过渡成功率 90 8 故认为在此时的参数条件下 过渡年限为 5 年 考虑生活指数 时的工资系统 S 考虑生活指数 时 将今后每年的生活指数 与今年的作比较 只需考虑生活指数增长 带来的影响 设第 n 年的生活指数 n为今年的 1 b 倍 则第 n 年的生活津贴应增长其 级别工资的起点工资 ai的 b 倍 即 Ln b ai 考虑生活指数 时的工资 Sij0 Wi0 Aj0 Ln 考虑生活指数 时的工资支付方法不变 模型的进一步讨论 对 a 0 1 0 2 0 3 0 4 以及 k 0 1 0 2 0 3 0 4 的情形进行了模拟 发现成功率受它们的影响 如下 一 成功率随补偿资金的增加而减小 二 成功率随过渡期的减短而增