圆的基本性质-知识点整理

3.1 圆（1）在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周， 所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做 ，线段OP叫做 。如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：dr 点P在圆 ；d r 点P在圆上；dr 点P在圆 ；如图，在中，BACRt，AO是BC边上的中线，BC为O的直径.（1）点A是否在圆上？请说明理由.（2）写出圆中所有的劣弧和优弧.如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？=3.1圆（2）（1）经过一个已知点能作 个圆；（2）经过两个已知点A,B 能作 个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？ （3）不在同一条直线上的三个点 一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 ；三角形的外心是 的交点。锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 。作图：已知ABC，用直尺和圆规作出ABC的外接圆3.2图形的旋转图形旋转的性质图形经过旋转所得的图形和原图形 ；对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。1、 如图，射线OP经过怎样的旋转，得到射线OQ？2、 如图,以点O为旋转中心,将ABC按顺时针方向旋转60,作出经旋转所得的图形。3、 如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60,作出经旋转所得的线段，并求直线与直线AB所成的锐角的度数。3.3垂径定理（1）圆是 图形，它的对称轴是 。如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：CD是直径，CDAB （文字描述）垂径定理： 。如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做 。记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式为 。运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目1、O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则O的半径为( )(A)4cm. (B)5cm.(C)8cm. (D)10cm.2、已知O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB为16，求截面圆圆心O到水面的距离OC3.3垂径定理（2）（文字描述）垂径定理的逆定理1： 。（符号描述）CD是直径，AP=BP （文字描述）垂径定理的逆定理2： 。（符号描述）CD是直径， 如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做 。弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是 。垂径定理综合运用1、 如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.2、 已知:如图,O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N, AMBM,ABCD.求证:DNCN.3、 如图,O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE3cm, DE7cm.求AB的长.4、 已知O的半径为5cm,弦ABCD,AB6cm,CD8cm.求AB与CD之间的距离.3.4圆心角（1）顶点在圆心的角叫做 。圆心角定理：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。在 中，相等的圆心角所对两条弦的 相等符号语言在O中：AOB=COD (弦相等) (弧相等) (弦心距相等)我们把n的圆心角所对的弧叫做 的弧练一练：1、下列命题中，不正确的是（ ）A、圆是轴对称图形B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形D、圆是中心对称图形2、如图，AB，CD是的直径，若AOC=70，则的度数是 ，的度数是 ，的度数是 。3、已知：如图，12. 求证：.4、如图，的直径AB垂直于弦CD于点E，COD100. 求，的度数. 3.4圆心角（2）圆心角定理的逆定理：在 中，如果两个 、 、 、 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 。1、如图，等边三角形ABC内接于，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交于点D，连结BD，CD， 判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。四边形BDCO是 ，证明如下：AB=BC=CAAOB= = =120BOD= 又 BOD是 三角形同理，COD是 记四边形BDCO是 若的半径为r，求等边三角形ABC的边长2、已知，如图，ABC为等边三角形，以AB为直径的分别交AC，BC于点D，E，求证：=.3、 下列说法正确的是 圆心角相等，所对的弦相等； 等弧所对的弦相等 弦相等，所对的圆心角相等 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等3.5圆周角（1）顶点在 ，角的两边都和圆 的角叫做圆周角圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的 度数的一半。已知一条弧所对的圆周角等于70，则这条弧所对的圆心角是 。一条50的弧所对的圆心角是 ，圆周角是 。一条弧所对的圆心角的度数为95，则这条弧是 ，它所对的圆周角是 。一条弧的度数是180，则它所对的圆心角是 ，圆周角是 。推论：半圆（或 ）所对的圆周角是 。如图所示，C=90，则AOB= ，AB是O的 。推论：90的圆周角所对的弦是 。 练习：如图，等腰三角形ABC的顶角BAC为40，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数。变式1：已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC，BC交圆O于点D，AC交圆O于点E，求证：BD=CD 变式2：如图，已知圆心角AOB的度数为100,则圆周角ACB的度数是( ) A.80 B.100 C.120 D.130 3.5圆周角（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等， 的圆周角所对的弧也相等。基本图形：如图所示：BC=BC = 练一练：1.如图,内接于圆,的度数为. 求,的度数.2.已知：如图,是的直径,弦与半径平行.求证：综合练习：已知半径为5的中，弦，弦，则的度数是（ ）OBDCAABC或D或如图，已知AB是O的直径，BC为弦，A BC=30过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，则DCB= 已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。 3.6圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在 ，那么这个四边形叫做 ，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。 圆内接四边形的外角等于它的 。练一练：已知圆内接四边形有一个内角是50,则它的对角的度数为 .如图,AB是半圆O的直径,BAC40,则D= .已知圆内接四边形ABCD中,A :B:C2:3:7.求D的大小.综合练习：已知，如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC分析：要证明DB=DC，只需证明 = 证明：3.7正多边形我们把 、 的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个 。计算：已知一个正多边形的内角为120，这个正多边形是 。 已知一个正多边形的外角为45，这个正多边形是 。 正五边形的内角等于 。选择：下列图形中，是中心对称图形的是 ，是轴对称图形的是 作图：用直尺和圆规做圆的内接正六边形3.8弧长及扇形的面积（1）在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为：公式变形： 半径R= 圆心角的度数n= 公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100，则这条弧长为 ； （2）半径为5的圆弧长为5，则这条弧所对的圆心角的度数为 ； （3）已知圆弧的度数为60，弧长为6，则圆的半径为 。3.8弧长及扇形的面积（2）如果扇形的半径为R，圆心角为n，扇形的弧长为，那么扇形面积S= =公式运用1、已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积（1） 圆心角为135的扇形 （2）弧长为4的扇形2、已知一个扇形的面积为12cm2，圆心角为216，求它的