第四节 圆周角和圆心角的关系（1）.doc

第四节 圆周角和圆心角的关系（1） 山西省晋中市乐平一中 乔宏霞学生起点分析学生的知识技能基础：学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.学生活动经验基础：在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.教学任务分析本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1理解圆周角定义，掌握圆周角定理.2会熟练运用定理解决问题.过程与方法1培养学生观察、分析及理解问题的能力.2在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点：圆周角定理及其应用.教学难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透.教学设计分析本节课设计了六个教学环节：创设情景提出问题探究新知归纳结论解决问题课堂演练（作业布置）.一 创设情景平日里，大家都喜欢上体育，相信大家也比较喜欢踢足球，屏幕上就展示了足球场上的一幕。那么当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角ABC，ADC，AEC的大小有什么关系呢？二 提出问题首先，请看大屏幕。AOB是什么角？那ACB呢，还是圆心角吗？那么ACB有怎样的特征呢？首先我们发现角的顶点在圆上，其次角的两边都与圆相交，像这样的角我们称之为圆周角。这样我们就得到了圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角。（板书）学习了圆周角，请同学们比一比圆心角和圆周角有什么不同？圆心角圆周角顶点圆心圆上两边（在圆内的部分）半径弦我们再来辩一辩图中的CDE是圆周角吗？（第一个不是，理由是？对，顶点D不在圆上；第二个是，因为符合圆周角的定义；第三个不是，原因是角的两边并不是都和圆相交；第四个也不是，因为不符合圆周角的定义。）三 探究问题接下来我们就来一起探究同弧所对圆周角与圆心角的关系做一做：在同一个圆中，画同弧AB所对的圆周角（ACB）与圆心角（AOB），并与同伴交流。互相比较一下，看看大家所画的图形一样吗？（注意：观察圆周角与圆心的位置关系。）量一量：请同学们度量出你所画圆周角与圆心角的大小。你有什么发现吗？然后与同伴交流一下。我们先来看第一个问题。通过小组交流、对比观察不难发现，圆心与圆周角有如图所示的三种位置关系：第一种圆心O在圆周角的一边上，第二种圆心O在圆周角的内部，第三种圆心O在圆周角的外部。通过自己动手测量，再加上同伴间的交流比较，我们就可以大胆猜想：圆周角的度数就等于它所对弧上圆心角度数的一半。证一证：数学仅靠猜想是不够的，接下来看我们应该怎样证明。1.我们从哪一种情况入手呢？首先我们就来考虑特殊情况：圆心O在圆周角ACB的一边上时，圆周角ACB与圆心角AOB的大小关系.我们发现AOB是三角形AOC的一个外角，因此AOB等于A加C，而OA和OC都是圆的半径，所以A与C相等，这样我们就可以得到ACB与AOB的关系。一起整理一下证明过程：证明：AOB是ACO的外角AOB=C+AOA=OCA=CAOB=2C问题得以证明。议一议：下面我们看一下第二种和第三种图形如何证明？请同学们思考，然后进行讨论。如果把第一个图形看成一面小旗，那么我们可以想办法将第二种情况转化成两面小旗进行解答，只要过点C作圆O的直径即可看成是第一个图形的组合。一起看一下图2的证明过程。（2）圆心O在圆周角的内部证明：过点C作圆O的直径CD 由（1）知：ACO=AOD，BCO=BOD ACO+BCO=AOD+BOD ACB=（AOD+BOD） 即ACB=AOB那第三种情况如何证明呢？我们可以类比第二种情况的证明方法，还可以过点C作圆O的直径，第三种情况即可看成是两面小旗的叠加。有了第二种情况的证明，那接下来请大家把第三种情况的证明过程自己整理一下吧！证明：过点C作直径CD.由1可得:四 归纳结论：一起梳理一下刚才的探究过程。首先通过大家自己动手画图，同伴交流，对比发现，根据圆心与圆周角的位置关系，大致可以分为这样三种情况：第一种圆心O在圆周角的一边上，第二种圆心O在圆周角的内部，第三种圆心O在圆周角的外部。随后通过测量结果得出猜想，在验证时，我们首先选取圆心O在圆周角的一边上这一特殊情况进行证明，然后将另外两种情况转化成第一个图形的组合与叠加，从而借助第一个图形加以证明。在进行第三个图形的证明时，又与第二个图形的证明思路进行类比，从而找到了合适的证明方法。通过以上三种情况的证明，我们的猜想得以验证，因此归纳得出了圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。（分类讨论、转化、类比、归纳等）五 解决问题现在再回到足球场上来看，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角的大小有什么关系？你能用所学的定理证明吗？证明：连接AO、CO,推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。（板书）六 课堂演练基础练习 （独立完成基础练习，相信大家都是最棒的！）1.如图，在O中，BOC=50，求BAC的大小解：在O中，BOC=502.如图，指出图中的圆心角和圆周角解：圆心角有AOB、AOC、BOC圆周角有BAC 、ABC、ACB3.如图，哪个角与BAC相等，你还能找到那些相等的角？解：BAC=BDC ADB=ACB CAD=CBD ABD=ACD能力提升 （能力提升部分，大家可以先独立完成，再与同伴交流）1.如图，OA、OB、OC都是O的直径，AOB=2 BOC，ACB与BAC的大小有什么关系，为什么？解：BAC= 2 ACB，理由:又AOB=2 BOC即BAC= 2ACB2.如图，A、B、C、D是O上的四点，且BCD=100，求BOD与BAD的大小解：BCD=100优弧所对的圆心角BOD=2BCD=200劣弧所对的圆心角BOD=36O-200=160七 课堂小结这节课大家有什么收获？(一) 本节课主要学习的知识点：1.圆周角的定义.2.圆周角定理及其推论.(二) 通过对圆周角定理的探索与证明，体会分类讨论，“特殊到一般”的转化思想、类比和归纳总结的数学方法。(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，希望同学们能够学以致用.作业布置拓展应用 （拓展应用留给大家课下完成）1.为什么有些电影院的座位排列呈弧形，说一说这种设计的合理性.答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.2.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即