启东中学高考数学解析几何题库.doc

启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 1 一 选择题一 选择题 1 1 辽宁理 辽宁理 4 4 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则 圆 C 的方程为 A 22 1 1 2xy B 22 1 1 2xy C 22 1 1 2xy D 22 1 1 2xy 解析 圆心在 x y 0 上 排除 C D 再结合图象 或者验证 A B 中圆心到两直线的距离 等于半径即可 2 答案 B 2 2 重庆理 重庆理 1 1 直线1yx 与圆 22 1xy 的位置关系为 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心D 相离 解析 圆心 0 0 为到直线1yx 即10 xy 的距离 12 22 d 而 2 01 2 选 B 答案 B 3 重庆文 重庆文 1 1 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 A 22 2 1xy B 22 2 1xy C 22 1 3 1xy D 22 3 1xy 解法解法 1 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知 2 1 2 1ob 解得 2b 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 2 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 故 圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 B D 又由于圆心在y轴上 排除 C 答案 A 4 上海文 上海文 17 点 P 4 2 与圆 22 4xy 上任一点连续的中点轨迹方程是 A 22 2 1 1xy B 22 2 1 4xy C 22 4 2 4xy D 22 2 1 1xy 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 2 解析 设圆上任一点为 Q s t PQ 的中点为 A x y 则 2 2 2 4 t y s x 解得 22 42 yt xs 代入圆方程 得 2x 4 2 2y 2 2 4 整理 得 22 2 1 1xy 答案 A 5 上海文 上海文 15 已知直线 12 3 4 10 2 3 230 lkxk ylkxy 与平 行 则 k 得值是 A 1 或 3 B 1 或 5 C 3 或 5 D 1 或 2 解析 当 k 3 时 两直线平行 当 k 3 时 由两直线平行 斜率相等 得 k k 4 3 k 3 解得 k 5 故选 C 答案 C 6 上海文 上海文 18 过圆 22 1 1 1C xy 的圆心 作直线分 别交 x y 正半轴于点 A B AOB 被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足 SSSS 则直线 AB 有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 解析 由已知 得 IVIIIIII SSSS 第 II IV 部分的面 积是定值 所以 IVII SS 为定值 即 IIII SS 为定值 当直线 AB 绕着圆心 C 移动时 只可能有一个位置符合题意 即直线 AB 只有一条 故选 B 答案 B 7 陕西理 陕西理 4 过原点且倾斜角为60 的直线被圆学 22 40 xyy 所截得的弦长为科网 A 3 B 2 C 6 D 23 2222 4024 32 3 xyyxy 解析 A 0 2 O A 2 A到直线O N 的距离是1 O N 弦长 答案 D 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 3 二 填空题二 填空题 8 广东文 广东文 13 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程为 22 25 2 1 2 xy 答案 22 25 2 1 2 xy 9 天津理 天津理 13 设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt t 为参数 直线 2 l的方程为 y 3x 4 则 1 l与 2 l的距离为 解析 由题直线 1 l的普通方程为023 yx 故它与与 2 l的距离为 5 103 10 24 答案 5 103 10 天津文 天津文 14 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为 32 则 a 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 答案 1 11 全国 全国 文文 16 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段 的长为22 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 解 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 4 1 l的倾斜角为 o 45 所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 答案 12 全国全国 理理 16 已知ACBD 为圆O 22 4xy 的两条相互垂直的弦 垂足为 1 2M 则四边形ABCD的面积的最大值为 解析 设圆心O到ACBD 的距离分别为 12 dd 则 222 12 3ddOM 四边形ABCD的面积 2222 1212 1 2 4 8 5 2 SABCDdddd 4 答案 5 13 全国全国 文文 15 已知圆 O 5 22 yx和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 解析 由题意可直接求出切线方程为 y 2 2 1 x 1 即 x 2y 5 0 从而求出在两坐标轴上 的截距分别是 5 和 2 5 所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 答案 25 4 14 湖北文 湖北文 14 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为P Q 则线段PQ的长为 解析 可得圆方程是 22 3 4 5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 理得4PQ 答案 4 15 江西理 江西理 16 设直线系 cos 2 sin1 02 M xy 对于下列四个命题 A M中所有直线均经过一个定点 B 存在定点P不在M中的任一条直线上 C 对于任意整数 3 n n 存在正n边形 其所有边均在M中的直线上 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 因为cos 2 sin1xy 所以点 0 2 P到M中每条直线的距离 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 5 22 1 1 cossin d 即M为圆C 22 2 1xy 的全体切线组成的集合 从而M中存在两条平行直线 所以 A 错误 又因为 0 2 点不存在任何直线上 所以 B 正确 对任意3n 存在正n边形使其内切圆为圆C 故C正确 M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF 故 D 错误 故命题中正确的序号是 B C 答案 B C 三 解答题三 解答题 16 2009 江苏卷江苏卷 18 本小题满分 16 分 在平面直角坐标系xoy中 已知圆 22 1 3 1 4Cxy 和圆 22 2 4 5 4Cxy 1 若直线l过点 4 0 A 且被圆 1 C截得的弦长为2 3 求 直线l的方程 2 设 P 为平面上的点 满足 存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 1 l和 2 l 它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交 且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 试求所有满 足条件的点 P 的坐标 解解 1 设直线l的方程为 4 yk x 即40kxyk 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4 1 2 d 结合点到直线距离公式 得 2 31 4 1 1 kk k 化简得 2 7 2470 0 24 kkkor k 求直线l的方程为 0y 或 7 4 24 yx 即0y 或724280 xy 2 设点 P 坐标为 m n 直线 1 l 2 l的方程分别为 1 ynk xmynxm k 即 11 0 0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等 两圆半径相等 由垂径定理 得 圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 6 故有 2 2 41 5 31 1 1 1 nm knkm kk k k 化简得 2 3 8 5mn kmnmnkmn 或 关于k的方程有无穷多解 有 20 30 mn mn m n 8 0 或 m n 5 0 解之得 点 P 坐标为 3 13 2 2 或 51 22 20052005 20082008 年高考题年高考题 一 选择题 1 20082008 年全国年全国 理理 1111 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy 与 x 7y 4 0 原点在等腰三角形的底边上 则底边所在直线的斜率为 A 3 B 2 C 1 3 D 1 2 答案答案 A 解析解析 1 02 11 kyxl 7 1 047 22 kyxl 设底边为kxyl 3 由题意 3 l到 1 l所成的角等于 2 l到 3 l所成的角于是有 37 17 1 1 11 2 2 1 1 k k k kk kk kk kk 再将 A B C D 代入验证得正确答案 是 A 2 20082008 年全国年全国 文文 3 3 原点到直线052 yx的距离为 A 1 B 3 C 2 D 5 答案答案 D 解析解析 5 21 5 2 d 3 20082008 四川四川 将直线3yx 绕原点逆时针旋转 0 90 再向右平移 个单位长度 所得 到的直线为 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 7 A 11 33 yx B 1 1 3 yx C 33yx D 1 1 3 yx 答案答案 A 4 20082008 上海上海 1515 如图 在平面直角坐标系中 是一个与x轴的正半轴 y轴的正半轴 分别相切于点C D的定圆所围成的区域 含边界 A B C D是该圆的四等分 点 若点 P xy 点 P xy 满足x x 且y y 则称P优于 P 如果 中 的点Q满足 不存在 中的其它点优于Q 那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 B C D 答案答案 D 5 20072007 重庆文 重庆文 若直线 与圆1 22 yx相交于P Q两点 且 POQ 120 其中O为 原点 则k的值为 A 3或3 B 3 C 2或2 D 2 答案答案 A 6 20072007 天津文 天津文 2a 是 直线20axy 平行于直线1xy 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 C 7 20062006年江苏 年江苏 圆1 3 1 22 yx的切线方程中有一个是 A x y 0 B x y 0 C x 0 D y 0 答案答案 C 8 20052005 湖南文 湖南文 设直线的方程是0 ByAx 从 1 2 3 4 5 这五个数中每次取两 个不同的数作为A B的值 则所得不同直线的条数是 A 20 B 19C 18 D 16 答案答案 C C 9 2005 2005 全国全国 文文 设直线l过点 0 2 且与圆1 22 yx相切 则l的斜率是 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 8 AB l C 工 A 1 B 2 1 C 3 3 D 3 答案答案 C 10 20052005 辽宁 辽宁 若直线02 cyx按向量 1 1 a平移后与圆5 22 yx相切 则 c 的值为 A 8 或 2B 6 或 4C 4 或 6D 2 或 8 答案答案 A 11 20052005 北京文 北京文 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂 直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B 二 填空题二 填空题 12 20082008 天津文天津文 1515 已知圆C的圆心与点 2 1 P 关于直线 y x 1 对称 直线 3x 4y 11 0 与圆C相交于BA 两点 且6 AB 则圆C的方程为 答案答案 22 1 18xy 13 20082008 四川文四川文 1414 已知直线 40l xy 与圆 22 112Cxy 则C上各 点到l的距离的最小值为 答案答案 2 14 20082008 广东理广东理 1111 经过圆 22 20 xxy 的圆心C 且与直线0 xy 垂直的直线 程是 答案答案 10 xy 15 20072007 上海文 上海文 如图 AB 是直线l上的两点 且2 AB 两个半径相等的动圆分 别与l相切于AB 点 C是这两个圆的公共点 则圆弧AC CB与线段AB围成图 形面积S的取值范围是 答案答案 2 2 0 16 2007 湖南理 湖南理 圆心为 11 且与直线4xy 相切的圆的方程是 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 9 答案答案 x 1 2 y 1 2 2 17 20062006重庆理重庆理 已知变量x y满足约束条件1 x y 4 2 x y 2 若目标函数 z ax y 其中a 0 仅在点 3 1 处取得最大值 则a的取值范围为 答案答案 a 1 18 20052005 江西 江西 设实数 x y 满足的最大值是则 x y y yx yx 032 042 02 答案答案 2 3 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 20092009 年联考题年联考题 一 选择题一 选择题 1 西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考 a 3 是 直线210axy 与直线 640 xyc 平行 的 条件 A 充要B 充分而不必要 C 必要而不充分 D 既不充分也不必要 答案答案 C C 2 重庆市大足中学重庆市大足中学 20092009 年高考数学模拟试题年高考数学模拟试题 直线 x y 1 0 与圆 21 2 2 yx的位 置关系是 A 相交 B 相离 C 相切 D 不能确定 答案答案 C 3 西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考 两圆 32cos3cos 42sin3sin xx yy 与的位置关系 是 A 内切B 外切C 相离D 内含 答案答案 B 4 西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考 已知点 P x y 是直线 kx y 4 0 k 0 上一动点 PA PB 是圆 C 22 20 xyy 的两条切线 A B 是切点 若四边形 PACB 的最小面积是 2 则 k 的值为 A 3B 21 2 C 2 2D 2 答案答案 D 5 福建省南安一中 安溪一中 养正中学福建省南安一中 安溪一中 养正中学 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 10 2009 届高三期中联考届高三期中联考 已知实系数方程 x2 ax 2b 0 的一个根大于 0 且小于 1 另一根大于 1 且小于 2 则 2 1 b a 的取值范围是 A 1 B 1 4 1 2 1 2 1 4 1 3 答案答案 A 6 广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试 点 4 t到直线 431xy 的距离不大于 3 则t的取值范围是 A 131 33 t B 100t C 100t D 0t 或10t 答案答案 C 7 四川省成都市四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试届高三入学摸底测试 已知圆的方程为 22 680 xyxy 设圆 中过点 2 5 的最长弦与最短弦分别为AB CD 则直线AB与CD的斜率之和为 A 1 B 0 C 1 D 2 答案答案 B 8 湖南省长郡中学湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考届高三第二次月考 直线 1 1 xkyl和圆02 22 yyx 的关系是 A 相离B 相切或相交C 相交D 相切 答案答案 C 9 福建省宁德市福建省宁德市 2009 届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考 过点 2 1 M的直线l将圆 x 2 2 y2 9 分 成 两段弧 当其中的劣弧最短时 直线l的方程是 A 1 x B 1 y C 01 yx D 032 yx 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 11 答案答案 D 二 填空题二 填空题 10 广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试 从圆 x 1 2 y 1 2 1 外一 点 2 3 P向这个圆引切线 则切线长为 答案答案 2 11 江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考届高三上期段考 直线032 yx与直线 04 byax 关于点 0 1 A对称 则 b 答案答案 2 12 湖南省长郡中学湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考届高三第二次月考 过点 C 作圆25 22 yx的切线 切 点为 A B 那么点 C 到直线 AB 的距离为 答案答案 2 5 13 四川省成都市四川省成都市 2008 2009 学年度上学期高三年级期末综合测试学年度上学期高三年级期末综合测试 光线由点 P 2 3 射到 直线1 yx上 反射后过点 Q 1 1 则反射光线方程为 答案答案 4x 5y 1 0 14 安徽省巢湖市安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 过 1 2 1 M的直线 l 与圆 C x 1 2 y2 4 交于 A B 两点 当 ACB 最小时 直线的方程为 答案答案 0342 yx 20072007 20082008 年联考题年联考题 一 选择题一 选择题 1 四川省巴蜀联盟四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考届高三年级第二次联考 已知点 A 3 2 B 2 7 若直线 y ax 3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4 1 则 a 的值为 A 3B 3C 9D 9 答案答案 D D 2 北京市丰台区北京市丰台区 2008 年年 4 月高三统一练习一月高三统一练习一 由直线1yx 上的点向圆 x 3 2 y 2 2 1 引切线 则切线长的最小值为 A 17 B 3 2 C 19 D 2 5 答案答案 A A 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 12 3 北京市西城区北京市西城区 2008 年年 5 月高三抽样测试月高三抽样测试 圆 2 2 1 1 y x 被直线0 xy 分成两段圆弧 则较短弧长与较长弧长之比为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 答案答案 B 4 广东省汕头市澄海区广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试年第一学期期末考试 直线yxb 平分圆 x2 y2 8x 2y 2 0 的周长 则b A 3 B 5C 3 D 5 答案答案 D 5 安徽省合肥市安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检年高三年级第一次质检 把直线20 xy 按向量 2 0 a 平移 后恰与 22 4220 xyyx 相切 则实数 的值为 A 2 2 或2 B 2 或2 C 2 2 或 2 2 D 2 2 或2 答案答案 C 6 2007 岳阳市一中高三数学能力题训练 岳阳市一中高三数学能力题训练 若圆 222 5 3 ryx 上有且仅有两个 点到直线 4x 3y 2 0 的距离为 1 则半径 r 的取值范围是 A 6 答案答案 A 7 2007 2007 海淀模拟海淀模拟 已知直线 ax by 1 0 a b 不全为 0 与圆 x2 y2 50 有公共点 且公共点横 纵坐标均为整数 那么这样的直线有 条 A 66 B 72 C 74 D 78 答案答案 C 二 填空题二 填空题 7 甘肃省兰州一中甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试届高三上期期末考试 光线从点 P 3 5 射到直线 l 3x 4y 4 0 上 经过反射 其反射光线过点 Q 3 5 则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 答案答案 8 8 河北省正定中学河北省正定中学 2008 年高三第四次月考年高三第四次月考 圆 sin1 cos1 y x 为参数 的标准方程 是 过这个圆外一点 P 2 3的该圆的切线方程是 答案答案 x 1 2 y 1 2 1 x 2 或 3x 4y 6 0 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 13 9 湖北省鄂州市湖北省鄂州市 2008 年高考模拟年高考模拟 与圆 22 2 1xy 相切 且在两坐标轴上截距相等 的直线共有 条 答案答案 4 10 湖南省长沙市一中湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考届高三第六次月考 设直线03 yax与圆 x 1 2 y 2 2 4 相交于 A B 两点 且弦长为32 则 a 答案答案 0 11 江苏省泰兴市江苏省泰兴市 2007 2008 学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研 设直线 1 l的方程为022 yx 将直线 1 l绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 2 l 则 2 l的方程是 答案答案 2x y 2 0 12 2007 2007 石家庄一模石家庄一模 若5 x kx 2 对一切 x 5 都成立 则 k 的取值范围是 答案答案 k 1 10 或 k0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 OAOB 设该圆的切线方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 38 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所 以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切 线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足 OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒 有两个交点 A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 39 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 当0k 时 4 6 3 AB 当 AB 的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系 47 2009 山东卷文 本小题满分 14 分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为 E 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 点 A B 且OAOB O 为坐标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l与轨迹 E 只有一个公共 点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取得最大值 并求最大值 解解 1 因为ab 1 amx y 1 bx y 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 40 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为1 y 当1m 时 方程表示的是圆 当0 m且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 m时 方程表示的是双曲线 2 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt 解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 41 A B 且OAOB 3 当 4 1 m时 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆 C 222 xyR 1 R0 与 x 轴 的左 右两个交点 直线l过点 B 且与x轴垂直 S 为l上 异于点 B 的一点 连结 AS 交曲线 C 于点 T 1 若曲线 C 为半圆 点 T 为圆弧AAB的三等分点 试求出点 S 的坐标 II 如图 点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点 试问 是否存在a 使得 O M S 三 点共线 若存在 求出 a 的值 若不存在 请说明理由 解解 方法一方法一 当曲线 C 为半圆时 1 a 如图 由点 T 为圆弧AAB的三等分点得 BOT 60 或 120 1 当 BOT 60 时 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有tan30 SBABs t 2 当 BOT 120 时 同理可求得点 S 的坐标为 1 2 3 综上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假设存在 0 a a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上 故BTOS 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 56 设点 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 从而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BTOS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 经检验 当2a 时 O M S 三点共线 故存在2a 使得 O M S 三点共线 方法二方法二 同方法一 假设存在 a 使得 O M S 三点共线 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上 故SMBT 显然 直线 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可设直线 AS 的方程为 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 TT T xy 则有 422 22 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 57 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直线 SM 的方程为 2 2 yaka k xa O S M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在2a 使得 O M S 三点共线 60 2009 辽宁卷文 理 本小题满分 12 分 已知 椭圆C以过点A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直 线EF的斜率为定值 并求出这个定值 解解 由题意 c 1 可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 因为A在椭圆上 所以 22 19 1 14bb 解得 2 b 3 2 b 3 4 舍去 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 证明证明 设直线 方程 得 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 3 4 4 32 4 120 2 kxkk xk 设 E x E y F x F y 因为点 1 3 2 在椭圆上 所以 2 2 3 4 12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以k 代k 可得 2 2 3 4 12 2 34 F k x k 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 58 3 2 FF ykxk 所以直线EF的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 即直线EF的斜率为定值 其值为 1 2 61 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点 焦点在 s 轴上 它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 上的动点 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点 OP OM 求点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解解 设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy 设 M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 时 化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 44 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段 ii 3 4 时 方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 当 3 0 4 时 点M的轨迹为中心在原点 实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部 分 当 3 1 4 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆满足44x 的部分 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 59 当1 时 点M的轨迹为中心在原点 长轴在x轴上的椭圆 62 2009 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1 0 0 yx ab ab 离心率 5 2 e 顶点到渐近线的距离 为 2 5 5 1 求双曲线 C 的方程 2 如图 P 是双曲线 C 上一点 A B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上 且分别位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求AOB 面积的取值范围 方法一方法一 解解 由题意知 双曲线C的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 由 知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设 2 2 0 0A mm Bnn mn 由 APPBP uu u ruur m n 2 m n 得点的坐标为 1 1 将 P 点的坐标代入 22 2 1 1 44 y x 化简得m n 因为2 AOB 14 tan 2 tan sin2 225 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 60 又5 5OAm OBn 所以 111 sin22 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 1 2 23 S 则 2 11 1 2 S 由 01S 得 又 S 1 2 189 2 334 SS 当1 时 AOB 面积取到最小值2 当当 1 3 时 AOB 面积取到最大值 8 3 所以AOB 面积范围是 8 2 3 方法二方法二 由题意知 双曲线 C 的顶点 0 a 到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x 设直线 AB 的方程为 ykxm 由题意知2 0km 由 2 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为 由 2 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 61 121 122122 mm APPBP kkkk 得点的坐标为 uu u ruur 将 P 点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4 1 4 m k 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点 则 Q 点的坐标为 0 m AOB S AOQBOQ SS 2 2 111 222 114 2222 4 11 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63 2009 四川卷文 理 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 2 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 FF 离 心率 2 2 e 右准线方程为2x I 求椭圆的标准方程 II 过点 1 F的直线l与该椭圆交于MN 两点 且 22 2 26 3 F MF N 求直线l的 方程 解解 I 由已知得 2 2 2 2 c a a c 解得2 1 ac 22 1 bac 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y II 由 I 得 1 1 0 F 2 1 0 F 若直线l的斜率不存在 则直线l的方程为1 x 由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 62 设 2 1 2 M 2 1 2 N 22 22 2 2 4 0 4 22 F MF N 这与已知相矛盾 若直线l的斜率存在 设直线直线l的斜率为k 则直线l的方程为 1 yk x 设 11 M x y 22 N xy 联立 2 2 1 1 2 yk x x y 消元得 2222 12 4220 kxk xk 22 1212 22 422 1212 kk xxx x kk 1212 2 2 2 12 k yyk xx k 又 211222 1 1 F MxyF Nxy 221212 2 F MF Nxxyy 2 2 2 22 221212 22 8222 26 2 12123 kk F MF Nxxyy kk 化简得 42 4023170 kk 解得 22 17 1 40 或 舍去 kk 1 k 所求直线l的方程为11或 yxyx 64 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 如图 已知抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于 A B C D 四个点 求 r 的取值范围 当四边形 ABCD 的面积最大时 求对角线 AC BD 的交点 P 的坐标 解 解 将抛物线 2 E yx 代入圆 222 4 0 Mxyrr 的方程 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 63 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四个点的充要 条件是 方程 1 有两个不相等的正根 016 07 0 16 449 2 21 21 2 rxx xx r 即 44 2 5 2 5 r rr或或 解这个方程组得4 2 5 r 15 4 2 r II 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt 则 22 72 72 Stt 下面求 2 S的最大值 方法 1 由三次均值有 22 1 72 72 72 72 144 2 Sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当72144tt 即 7 6 t 时取最大值 经检验此时 15 4 2 r 满足题意 方法 2 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则直线 AC BD 的方程分别为 1 12 12 11 12 12 1 xx xx xx xyxx xx xx xy 解得点 P 的坐标为 0 21x x 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 64 设 21x xt 由 2 16rt 及 得 4 1 0 t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形 因而其面积 22 2 1 2121 xxxxS 则 4 2 21 2 212211 2 xxxxxxxxS 将7 21 xx txx 21 代入上式 并令 2 Stf 等 2 7 0 34398288 27 27 232 tttttttf 76 72 2985624 2 tttttf 令0 tf得 6 7 t 或 2 7 t 舍去 当 6 7 0 t时 0 tf 当 6 7 t时0 tf 当 2 7 6 7 t时 0 tf 故当且仅当 6 7 t时 tf有最大值 即四边形 ABCD 的面积最大 故所求的点 P 的坐标为 0 6 7 65 2009 湖北卷文 本小题满分 13 分 如图 过抛物线y2 2PX P 0 的焦点 F 的直线与抛物线相交于M N两点 自M N向准线L作垂线 垂足分别为M1 N1 求证 FM1 FN1 记 FMM1 FM1N1 FN N1的面积分别为S1 S2 S3 试判断 S22 4S1S3是否成立 并证明你的结论 1 证明证明 方法一方法一 由抛物线的定义得 11 MFMMNFNN 1111 MFMMM FNFNNN F 如图 设准线 l 与 x 的交点为 1 F 启东中学内部资料启东中学内部资料 请注意保存 严禁外传 请注意保存 严禁外传 启东中学内部资料启东中学内部资料 65 111 MMNNFFQ 111111 FFMMM FFFNNN F 而 0 111111 180FFMMFMFFNN FN 即 0 1111 22180FFMFFN 0 1111 90FFMFFN 故 11 FMFN 方法二方