工科数学分析-1(3)函数的几种特性与初等函数

1,函数的几种特性,初等函数,小结 思考题 作业,第三节 函数的几种 特性与初等函数,第一章 函数,2,1. 有界性 (bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说 f(x) 在区间I上有上 界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),一. 函数的几种特性,3,若存在常数,使得对所有,则称 f(x) 在I上有界.,在 I上无界;,都有,若这样的M 不存在,则称 f(x),即为对于任何,总存在,使,则称 f(x),在 I上无界.,有界,无界,4,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间 上,在区间 上,一定要把区间明确出来!即，函数的有界性与定义域有关,不是有界函数, 就是无界函数.,显然,(bounded function),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,5,六个常见的有界函数,6,2. 单调性(monotonicity),是严格单调增加;,如果对,恒有,monotone increasing,7,应指明单调区间 ,否则会产生错误.,是严格单调减少.,如果对,恒有,monotone decreasing,即，函数的单调性与定义域有关,8,3. 奇偶性,偶函数的图形,称 f(x)为,偶函数 (even function);,9,奇函数的图形,称 f(x)为,奇函数 (odd function).,10,(1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的,(2) 奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈,奇偶函数的运算性质:,(1) 奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;,(2) 偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;,奇数个奇函数的积为奇函数.,(3) 一奇一偶的乘积为奇函数.,概念.,奇、偶.,11,练习,判别给定函数的奇偶性,解题提示,奇函数的,有效方法.,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,有时也用其运算性质.,主要是根据,奇偶性的定义,12,结论：定义于对称区间上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。,于是,13,4. 周期性(periodicity),的周期.,周期函数(period function).,如果存在一个,正数,且总有,称为f (x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为 的周期函数,设函数 f (x)的定义域为D,则称f (x)是,14,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,15,周期函数的运算性质:,函数,为周期的,的最小公倍数,为周期的函数.,解题提示,判别给定函数是否为周期函数,主要是根据周期的定义,有时也用其运算性质.,16,5. 函数的运算,设函数,的定义域分别为,则可定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,且,线性组合,为实数,17,1) 幂函数(power function),定义域与 的取值有关.,二. 初等函数(elementary function),(basic elementary function),(1) 基本初等函数,18,2) 指数函数(exponential function),定义域为,值域为,19,3) 对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,20,4) 三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,21,余弦函数,定义域为,值域为,22,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,23,5) 反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,24,定义域,值域,主值,反余弦函数,25,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,26,(2) 初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数, 称为,27,一般分段函数不叫初等函数,想一想,可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?,答:,故又可看作是初等函数.,是!,由于,不是用一个式子表达出来的.,因为它,28,奇函数.,偶函数.,1) 双曲函数,叠加法,(3) 双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,29,奇函数,有界函数,双曲正切,30,双曲函数常用公式,31,2) 反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加.,32,反双曲余弦,单调增加.,33,奇函数,反双曲正切,单调增加.,34,三、小结,初等函数.,函数的几种特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性.,35,思考题,及其定