以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用.doc

论文编号： 以形助数，以数解形浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度.笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合 初中数学 数学应用 数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性.因此，笔者结合数学教学实际, 探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在初中数学新课程标准中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.” 1所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法.利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂.数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离” 2. 初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系.正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的.那么作为最基本的数学思想之一的数形结合思想，又是怎样体现在数学的具体应用中呢？下面我结合以下几个方面浅谈一下.一.以形助数，化难为易一些问题中的代数式, 比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来, 问题的结果便可一目了然.(一） 在不等式中的应用例1. 如图1，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mxkx+b的解集是_分析：这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的，因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k、b, 以及m的.所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x在什么范围时，y1y2 或者y2y1解：不等式mxkx+b 即y2y1 ，通过观察图像，结合p点横坐标，在交点p的右侧，即当x1时，y2y1mxkx+b的解集是x1（二） 在方程或方程组中的应用例2.(1)求方程的实数根的个数.(2)求方程的实数根的个数.分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程的根的情况，可以看成是 (抛物线)与y=0 (x轴)的交点的情况，我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、直观的判断.所以，（1）问中，我们可以把方程左边看成抛物线,右边看成直线y= -1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线与直线没有交点，故原方程就没有实数根.(2)问中，如果直接去解方程，势必会得到一个三次方程，解起来很困难.若利用数形结合的方法，就简单直观了.求方程根的问题，转化成求函数与y=的图像的交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根.（三）函数与函数图像中的应用例3. 抛物线（a0）的对称轴是直线x=2，且经过点p(3,0),试判断a-b+c的符号.分析：此题如果直接求a,b,c的话，根据已有的条件，a,b,c三个值是无法一一求出的，只能用一个字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c求出. 如果能从函数图像着手，以形助数的话，就很简单了.当x= -1时，y=a-b+c.如图4所示，很容易判断a-b+c是大于0的. (四) 应用题中的应用例4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1.5小时时，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇，求甲乙两地的距离.分析：此题如果用代数的解法，需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想.但是如果能将两车的距离(y)与时间(t)的图像画出,如图5，再借助解析几何或平面几何的知识，会变得简单.解：法1：利用待定系数法将直线AB的解析式求出， y=-140x+280,甲乙两地的距离实际就是A点的纵坐标，故令x=0求出y=280. 法2：设点（1.5,70）为C点，过C作CDx轴于D，因为AOBCDB ,所以 OA=280.二.以数解形，化繁为简几何图形中的问题转化为代数的知识来解, 这种数形结合的解题方法贯穿在教材中, 也是几何计算与证明中常常采用的方法.(一) 解几何计算题例5.如图6，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且ABAC=4，则k=_解：设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1、x2是方程的两根，x1x2=. 又ABAC= =此题将反比例函数图像与代数相结合，利用直线解析式，先算出AB=，AC=，然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k的值.用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想.例6. 如图7、BAC=60，半径长为1的圆O与BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为多少？分析与解答：连CP交圆P于H点，连DE，DH.，则H=A=60，DE=EHsin60=所以，求DE的最大值，就是求EH的最大值.由于EH是动圆P的直径，AP是半径，所以再转化为求AP的最大值.因为A点固定，P是动点，由图可知当P运动到AO的延长线上时，AP最大，求出此时的AP即可.OAF=30 AO=2OF=2 AP最大为3 ， EH最大值为6 ，DE的最大值就为.（二）解几何证明题例7.证明: 圆内接矩形以正方形的面积最大分析:如果用几何问题去解, 解题方法不容易找到, 所以把它转化为代数中求最值的方法来解答.利用配方法，可以把最值很快求出.解：如图8，设圆的半径为R，矩形的一边长为x,则其邻边长为.所以矩形的面积为S= . 所以. 当= 时，有最大值，S有最大值，此时，矩形为正方形.例8.如图9，以线段AB为直径作一个半圆，O点为圆心，C为半圆上一动点，已知AB=1，设AC=a，BC=b，证明：a+b的最大为.分析：由于AC与BC长度都是变化的，而且在此图形中无法进行线段的转化.但是由于AB是定值，故可以用代数的方法进行探讨.解：. 所以要求的最大值，即求的最大值. 过C点往AB上作高，设其长度为, 则由面积法可得，=. 即当最大时，最大.此时看图比较容易发现，当C点运动到使COAB时，最大，且为. 所以，当=时，的最大值为.总之，数形结合思想是初中数学解题中的一种重要思想方法，它对于沟