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文档简介

函数与极限,1,极限的运算法则,渐近线,小结 思考题 作业,第三节 极限的运算法则,第一章 函数与极限,2,定理1,一、极限运算法则,(2),的特例是,即常数因子可以提到极限符号外面.,3,定理2,那末,如果,4,应用四则运算法则时,要注意以下条件:,(1)参加运算的是有限个函数;(2)它们的极限都存在;(3)商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,注意,可以证明:,5,例1 讨论,6,求极限方法举例,例2 求,例3 求,商的极限公式,例4 求,约去公因式,7,例5 求,先求倒数的极限,例6 证明:,例7 设,分子分母同除以x的最高次幂.,8,例8 求,先通分,9,例9,解,先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.,使和式的项数固定,原式=,不能用运算法则.,方 法,10,例10,解,不满足每一项极限都存在的条件,不能直接,应用四则运算法则.,分子有理化,11,练习,解,原式=,解,原式=,12,例11,解,左右极限存在且相等,左右极限为,是函数的分段点,13,设函数,是由函数,若,定理3,(复合函数的极限运算法则),与函数,复合而成,有定义,且存在,有,则,14,注意:,有,条件:,很重要,否则结论不成立.,如,则,从而,15,注意:,若没有条件:,则条件:,应加强为:,结论仍然成立.,16,例12 求极限,例13 求极限,17,推论,例,例,则,18,例14 设,适合:,求,19,1. 铅直渐近线,铅直渐近线.,或,(垂直于x轴的渐近线),2. 水平渐近线,水平渐近线.,或,(b为常数),(平行于x轴的渐近线),二、渐近线,20,练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,从而,21,证,例15,从而,22,3. 斜渐近线,那么,斜渐近线.,其中,例16 曲线,渐近线的条数为,(A) 0,(B) 1,(C) 2,(D) 3,选(D),23,例 17 确定a,b的值,使得,24,堂上练习,计算下列极限.,25,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法:,对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法:,(1) 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系;,(2) 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质;,(4) 无穷小因子分出法;,(3) 消去零因子法;,三、小结,26,(6) 直接利用无穷大的概念判断;,(5) 根式转移法;,(7) 利用左右极限求分段函数极限.,为了对求极限的方法有全面的了解,指出,(8) 利用夹逼定理;,(9) 利用连续函数的性质;,(10) 利用等价无穷小代换;,(11) 利用未定式求极限法.,还有下述方法:,27,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？,解答,没有极限,假设,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,有极限，,为什么？,(1),28,试确定常数,解,令,则,使,即,(2
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