工科数学分析-2(8)连续函数的性质

1,第八节 连续函数的性质,第一章 函数与极限,连续函数的运算,初等函数的连续性,有界闭区间上连续函数的性质,函数的一致连续性,小结 思考题 作业,2,一、连续函数的运算,定理1,如,则,由于,1、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,进一步可以推得,若,则,若,4,定理2,设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,2、反函数与复合函数的连续性,即,5,是由连续函数,因此,复合而成,例,6,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理3,故,同理,单调增加,且连续,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,设函数 在区间I上严格递增(或严格递减),且连续,值域为区间J,则其反函数 在J上,严格递增(或严格递减)且连续.,7,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),是连续的;,二、初等函数的连续性,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,讨论,不同值.,在它们的定义域内,8,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注,在其定义域内不一定连续;,9,例,例,解,解,2. 初等函数求极限的方法,注,代入法.,10,三、有界闭区间上连续函数的性质,11,1、有界性定理,定理4,闭区间 上的连续函数 必定有界.,利用致密性定理通过反证可得.,证明:,由函数的连续性,知道,12,结论:,注意定理的条件:闭区间和连续性-重要,如,13,定理5(最大值和最小值定理),上连续的函数 一定有最大值和最小值.,2、最大值和最小值定理,在闭区间,14,证明:,利用有界性,确界原理,致密性定理,连续性可证.,(1) 利用有界性定理及确界原理知道,(2) 利用致密性定理证明函数可以取到上确界和下确界.,于是,15,结论:,(1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”,是不可少的.,16,在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内,又如:,在闭区间0,2上有,函数f (x)在0,2上,既没有最大值,如:,函数,没有最大值或最小值.,也没有最小值.,间断点,函数,17,(2) “闭区间”和“连续性”,在开区间,取得最小值,函数,处取得最大值 1.,而不是必要条件.,如,函数,内连续,但它在,处取得最大值1;,又如,在闭区间,上有间断点,取得最小值,但它在,仅是定理的充分条件,18,的零点.,定理6(零点存在定理),使得,零点定理,几何意义:,如图所示.,3、零点存在定理,19,证明:,利用确界原理及连续函数的保号性可证.,20,21,例 证明:方程,内至少有一个根.,注意:,定理6只能说明至少有一个根,不能说明具体有几个根.,但是若再有函数单调,则只有一个根.,如上例.,22,定理7(介值定理),使得,证,零点定理,辅助函数,23,几何意义:,至少有一个交点.,24,几何意义:,之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论1,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最小值,25,推论2,也是一个闭区间(可以退化为一点).,(1) 若f是常数函数,则J为一点.,证明:,(2) 设f不是常数函数,则J不为单点集,且函数的最大值最小值属于J.,利用介值定理知道,26,闭区间上连续函数的性质常用于:,证明某些等式或不等式;,判断某些方程根的存在性或实根的范围.,27,例,证,由零点定理,使,辅助函数,28,证,例,证明:,令,介值定理,使,即得,29,四、函数的一致连续性,(1) 考虑函数,(2) 考虑函数,30,函数的连续性反映的是函数局部的情形,现在考虑在整个区间上能否找到公共的,31,定义 (一致连续性),设函数 定义在区间I(或开或闭或无穷)上,如果,有,则称 在区间I上是一致连续的.,32,一致连续与连续的区别:,(1) 一致连续指的是:只要I中任意两点,有,都在变,而连续定义中只有x在变.,(2) 一致连续性中的,而连续性中找到的,注意:,一致连续,连续,33,可以证明:,在区间I上一致连续,34,例 证明:,分析,35,结论:,36,例 证明:,分析:,取,说明: 开区间内连续的函数未必一致连续.,37,如何判断函数的一致连续性呢?,定理 (一致连续性定理)(Cantor定理),闭区间 上的连续函数 必定在 上一致连续.,反证并利用致密性定理可证.,设 在 上不一致连续,则,利用致密性定理,38,定理 (开区间上一致连续的充要条件),提示:,39,结论:,总结一致连续性,有如下结论.,3. 有界闭区间上连续的函数一定在该区间上一致连续.,40,问:,判断对或错,内的每个闭区间上连续,则,41,三、小结,1. 连续函数的和差积商的连续性;,3. 复合函数的连续性:,4. 初等函数的连续性:,求极限的又一种方法.,2. 反函数的连续性;,定义区间与定义域的区别;,42,注意条件1. 闭区间; 2. 连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.,5. 四个定理,6. 一致连续的概念及一致连续性定理,43,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,思考题2 (是非题),处有定义,则,44,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,(1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f (x) + g(x)在点x0必不连续.,用反证法证之:,不妨设在点x0,并假设,f (x) + g(x)在点x0连续,则由连续函数的运算性,质有:,在点x0连续,与已知矛盾.,故 f (x) + g(x)在点x0不连续.,f (x)连续,g(x)不连续;,45,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则,在f (x) + g(x)在点x0可能连续,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,也可能不连续.,如:,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处,在 x = 0处连续.,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处亦不连续.,46,思考题2 (是非题),处有定义,则