工科数学分析-2(6)无穷小与无穷大

函数与极限,1,无穷小(infinitely small),第六节 无穷小与无穷大,第一章 函数与极限,无穷小的比较,无穷大,小结 思考题 作业,2,拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.,牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.,的理论称为“无穷小量分析”.,常常把整个变量,欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论.,即所谓无穷小量.,都可以转化为一种简单而重,要的变量,数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比,3,定义1.,极限为零的变量称为,无穷小量,简称,如,无穷小是指,函数变化的趋势.,无穷小.,一、无穷小,在某个过程中,4,定义2,记作,1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;,2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.,“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.,“无限制变小的量”,5,证,定理1,恒有,也即,2、无穷小与函数极限的关系,6,于是,恒有,即,类似可证明 的情形.,定理1,7,例,8,二、无穷小的比较,如,不可比.,观察各极限,是无穷小.,不存在.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,9,定义,都是无穷小.,记作,特别,当,10,记作,记作,11,则记作,特别任意一个有界变量,总可写成,记作,也称,的主部.,12,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,因为,二阶无穷小.,13,例,研究下列极限,有界量与无穷小之积为无穷小.,例 证明:,14,关于 的运算,有下面常用的两个规则.,定理2,注意:上述式子反映的是性质不是数量关系.,15,特别, 时有下列无穷小的性质.,性质1,是无穷小,是无穷小。,性质2,（比较性质）,若,是无穷小，且,则,也是无穷小。,在同一过程中, 有限个无穷小的代数和,性质3,仍是无穷小.,16,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,不是无穷小.,17,证,性质4,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,则当,恒有,所以,18,在同一过程中,有极限的变量与无穷小,常数与无穷小的乘积是无穷小;,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小.,推论1,的乘积是无穷小;,推论2,推论3,推论4,19,例,解,例,解,20,定理3,证,因此,设,则,因此,设,则,下面给出一个等价无穷小的两个重要性质.,21,两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小;,此定理说明:,或者说,一个无穷小,22,定理4,(等价无穷小替换定理),注意:,在计算过程中,无穷小因式可用其等价无穷小代替.,23,常用的几个等价无穷小:,则,24,等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之,比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限,代替.,给 型未定式的极限运算带来方便.,例 求,=1/2,=-1,=1/2,25,例,解,加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.,26,例,解,解,错,27,三、无穷大,绝对值无限增大的变量称为,无穷大.,如,是无穷大;,是无穷大.,28,定义3,记作,特殊情形:,正无穷大,负无穷大,定义,29,(1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷大一定是无界函数,(3) 无穷大与无界函数的区别:,它们是两个不同的概念.,未必是某个过程的无穷大.,但是无界函数,30,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,证,定理5,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,2. 无穷小与无穷大的关系,此时对,使得当,31,关于无穷大的讨论,意义,无穷小的讨论.,都可归结为关于,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,定理4,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,此时对,使得当,32,3. 无穷大的比较,对于无穷大同样有下面的比较.,定义,都是无穷大,则当,33,例 试确定 的值,使,34,无穷小的概念;,无穷小的比较,性质;,无穷小与函数极限的关系;,无穷大的概念;,无穷小与无穷大的关系.,四、小结,35,思考题,A.