工科数学分析-3(5)微分中值定理

1,微分中值定理,因为导数是函数随自变量变化的瞬时变,所以可借助导数来研究函数.,但每一点,的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新,的“桥梁”.,中值定理(mean value theorem),化率,2,第五节 微分中值定理,极值概念与费马定理,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,推广,泰勒公式(第六节),落必达法则,小结 思考题 作业,3,一、极值概念与费马定理,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,极小值(minimal value),极大值(maximal value),若上不等号为严格不等号,则相应称为严格极值.,若将邻域改为区间,相应为区间上的最大值,最小值.,4,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,5,2. 费马定理,费马 Fermat,(法) 1601-1665,如果对,有,那么,证,对于,有,6,费马定理,如果对,有,那么,由极限的保号性,函数的,驻点(Stationary point),稳定点,临界点(Critical point).,7,问:,若在Fermat定理中,上的最大值,则是否有,?,如考虑,结论:,函数在开区间内可导的最值点处,其导数为零.,8,推论 设,取到最大(最小)值,又,内部只有一个临界点,则该临界点就是,函数的最大(最小)值点.,9,(1),其中最大(小)者,求连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最大(小)值的方法:,将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的,区间端点的,就是 f (x),最值必在端,(2),点处达到.,点(即为可能极值点)处的函数值和,函数值 f (a), f (b)比较,在闭区间a, b上的最大(小)值.,当 f (x)在闭区间a, b上单调时,10,(3),(4),若连续函数 f (x)在区间I内只有一个极值点,为极大 (小)值,区间 I上的最大 (小)值.,对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个可能极值点,那末这点处的函数值就是最,大(小)值.,11,例1,提示:,12,本节的几个定理都来源于下面的明显的,至少有,与连接此曲线两端点的弦,平行.,几何事实:,一点处的切线,连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 .,有水平的切线,13,1. 罗尔定理,(1),(2),(3),罗尔 Rolle,(法)1652-1719,使得,如,二、微分中值定理,14,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,使,有,由费马定理,15,(1) 定理条件不全具备,结论不一定成立.,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,16,(2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广为:,在( a , b )内可导,且,则在( a , b )内至少存在一点,使,提示,证 F(x)在a,b上满足罗尔定理 .,设,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,17,几何意义,如果连续曲线 除端点外处处有不垂直于x轴的切线 .,且两端点的纵坐标相等,则这曲线上至少,存在点C,使得曲线在C点处的切线水平.,由图形可知,在曲线的最高点或最低点处切线水平.,有水平的切线,18,例2 证明:,内只有一个根.,例3 不用求函数,的导数,说明方程,有几个实根.,19,注意:,证明方程,的根的存在性方法:,(1) 利用闭区间上零点的存在性定理;,(2) 归结为考虑函数,利用Rolle定理来证明.,关键是找辅助函数,20,例4 设,证明:,提示:,21,证明几种特殊方程有根时,考虑的辅助函数:,22,例5,试证方程,提示:,23,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,24,拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813,2. 拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,25,几何解释:,分析,定理的结论就转化为函数,化为,罗尔定理.,在该点处的切线,平行于弦,利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件,的函数.,26,证,作辅助函数,由此得,拉格朗日中值公式,且,易知,微分中值定理,27,注意:,1. 特别,即Lagrange定理是Rolle定理的推广.,时,Lagrange中值公式为,2. 作辅助函数的方法不是唯一的.,思考:,Lagrange中值定理证明中还可以如何作辅助函数?,3. 定理中的条件只是充分条件,而非必要条件.,28,例6,验证Lagrange中值定理对于函数,上的正确性.,29,Lagrange公式可以写成下面的各种形式:,它表达了函数增量和某点的,但是增量、,这是十分方便的.,由(3)式看出,导数之间的直接关系.,导数是个等式关系.,拉格朗日中值定理又称,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式.,有限增量定理.,30,它表明了函数在两点处的函数值,的单调性及某些等式与不等式的证明.,在微分学中占有,极重要的地位.,与导数间的关系.,今后要多次用到它.,尤其可利用它研究函数,31,例7,证,如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.,记,利用微分中值定理,得,32,例8 证明下列不等式,33,推论1,证,有,由条件,即在区间I中任意两,点的函数值都相等,所以,(1),(2),34,推论2,(1),(2),注意:,将推论1,推论2中的区间换成其它各种区间,(但不能是区间的并),结论仍成立.,35,例9 证明:,36,例10 设,证明:,提示:,37,定理 设,但是,考虑分段函数在分段点的极限时,仍然从定义出发,分别考察左右导数的情况.,38,柯西 Cauchy (法)1789-1859,3. 柯西中值定理,(1),(2),使得,广义微分中值定理,39,这两个,错 !,柯西定理的下述证法对吗 ?,讨论,不一定相同,40,前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了,现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造,即可证明柯西定理.,辅助函数,辅助函数,分析,上式写成,用类比法,41,柯西定理的几何意义,注意,弦的斜率,切线斜率,42,例11,43,1,证明:,试证至少存在一点,使,2,练习,44,罗尔定理,拉格朗日中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,45,应用三个中值定理常解决下列问题,(1) 验证定理的正确性;,(2) 证明方程根的存在性;,(3) 引入辅助函数证明等式;,(4) 证明不等式;,(5) 综合运用中值定理(几次运用).,关键 逆向思维,找辅助函数,46,三、落必达法(LHospital),其极限都不能直接利用极限运算,在第一章中看到,无穷大之商,法则来求.,那末极限,定义,型未定式.,或,如,意味着关于它的极限不能确定出一般的,未定,情况下关于它的极限不能确定.,而并不是在确定的,结论,两个无穷小之商或两个,两个函数,f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大,47,我们介绍一个求未定式极限的有效方法,此方法的关键是将,的计算问题转化为,的计算.,其基本思想是由微积分著名,先驱,从而产生了简,洛必达法则.,后人对他的思想作了推广,提出的,17世纪的法国数学家洛必达 (LHospital),便而重要的,48,定理6 (落必达法则),49,证,则由条件(1),必有,可补充定义,50,柯西定理,51,再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,这种在一定条件下,通过分子分母分别求导,(多次用法则),落必达法则仍成立.,52,用洛必达法则应注意的事项,只要是,则可一直用下去;,(3) 每用完一次法则,要将式子整理化简;,(4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.,(2) 在用法则之前,式子是否能先化简;,53,例12 求极限,54,例13 证明:,说明:,x足够大时,有,55,2、其它类型的未定式,56,例14 求下列极限,57,例15,解,极限不存在,洛必达法则失效.,洛必达法则的使用条件.,用法则求极限有两方面的局限性,当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.,?,58,可能永远得不到结果!,分子，分母有单项无理式时,不能简化.,如,其实:,杜波塔托夫的一个著名例子.,其二,用法则求极限有两方面的局限性,59,注意：,对于数列的极限，不能直接用洛必塔法则，而是,若,则,例16 求,60,四、小结,常利用逆向思维,构造辅助函数,注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.,三个微分中值定理成立的条件;,各微分中值定理的关系;,证明存在某点,使得函数在该点的导数满足一个方程.,运用罗尔定理.,拉格朗日中值定理的各种形式,其关系;,61,一、,二、,三、,注意,但求某些未定式极限不要单一使用洛必达,应将所学方法综合运用.,尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.,各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用,的工具,法则,三大类未定式,62,(1) 存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.,(2) 凡乘积或商