工科数学分析-3-(xtk)

1,第三章 一元函数微分学,习 题 课,教学要求,典型例题,2,一、教学要求,1. 理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导与连续性之间的关系.,2. 会用导数描述一些物理量.,3. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式.,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.,4. 了解高阶导数高阶微分的概念.,5. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法.,6. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数.,3,7. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)定理.,8. 理解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.,9. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数,的单调性和求极值的方法.,4,11. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.,10. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.,会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).,5,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,6,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(3) 证明恒等式或不等式,(4) 证明有关中值问题的结论,(2) 证明方程根的存在性,7,利用,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用,若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法,(1),可用原函数法找辅助函数.,(2),柯西中值定理.,中值定理.,(3),(4),有时也可考虑,多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.,多用罗尔定理,必须多次应用,对导数用中值定理.,8,(1) 研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,(2) 解决最值问题,目标函数的建立,最值的判别问题,(3)其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,4.导数应用,9,例1 设,选(B),二、典型例题,1. 导数及微分的概念,10,例2 已知函数,选(D),小结:,掌握微分的计算公式及一阶微分形式的不变性,11,在,处连续,且,求,例3,解,例3* 求极限,提示:,12,试确定常数a , b使f (x)处处可导,并求,例4,解,13,利用,在,处可导,即,是否为连续函数?,应有,思考,14,例5 设,证明:,例6 设,可导,证明:在,的两个零点之间,一定有,的零点.,2. 证,的存在性.,15,例7 设函数,上存在二阶导数,并且,试证:,证明方程的根的存在性用Rolle定理,16,例8 设,证明:,证明方程的根也可结合使用单调性与零点定理,17,例9 设,且满足条件,证明:,18,例10 设不恒为常数的函数,证明:至少存在,涉及到函数值与一阶导数值想Lagrange 中值定理,例11 设函数,证明:,19,例12 设,证明:,例13 设函数,上有三阶连续导数,且,证明:至少存在,20,例14 设,证明:,试证存在,使,例15 设,提示:,21,例16,证,介值定理,上分别用,使得,拉氏定理,(1),(2),22,由(1),有,得,(1),(2),由(2),有,23,3不等式的证明,利用中值定理,利用单调性,利用最值,利用凹凸性,例17,证明:,其中,Lagrange中值定理,24,例18,证明:,例19,证明:,Cauchy中值定理或单调性,最值,25,例20 设,证明:,例21,证明:,凹凸性,Taylor中值定理,26,例22,证明:,例23 设,证明:,Lagrange中值定理,Lagrange中值定理,27,例24,且满足条件,证明:,例24* 设,且满足条件,证明:,28,例25,证明:,例26,证明:,一阶导与二阶导的关系想Lagrange,函数值与高阶导的关系想Taylor,29,4导数应用,例27 已知函数,选(B),30,例27 设函数,（1）若,（2）若,（3）若,31,例28 设函数,内连续,其导函数图形如下图所示,(A)一个极小值点和两 个极大值点,(B)两个极小值点和一个极大值点,(C)两个极小值点和两个极大值点,(D)三个极小值点和一个极大值点,选( C ),32,例29 设函数,在定义域内可导,的图形如下图所示,则导函数,的图形为,(A),(B),y,(C),(D),选(D),33,例30 讨论曲线,交点的个数.,曲线无交点.,曲线有唯一交点.,曲线有两个交点.,34,5. 其它类型,例31,证明:,例32 设,证明:,Lagrange,单调性,35,例33 设函数,选(B),反证,与有界矛盾,36,例34 设曲线,试确定 的值.,例35,证明:,37,例36,解,奇函