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1,第五节 分部积分法,分部积分公式,例 题,小结 思考题 作业,integration by parts,第四章 不定积分,2,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,?,?,?,特点,被积函数是两个不同函数的乘积,具有连续导数.,两边积分,一、分部积分公式,3,恰当选取u和dv是一个关键,v要易求;,分部积分公式,选取u和dv的一般原则是:,(1),(2),易求.,4,注意:,如果被积函数是以下五种函数中,任意两种的乘积:,对(数函数),反(三角函数),幂(函数),三(角函数),指(数函数),则按,对,反,幂,三,指,的次序,选定前面的那种为u,剩下的与dx构成dv.,5,例1 求,例2 求,例3 求,例4 求,6,例5 求,注意:,若多次利用分部积分后出现循环,则解方程即可.,7,例6 求,解,循环型,8,例7 求,利用分部积分法可以得到一些递推公式:,9,dv,u,例8 试证递推公式,证,由分部积分法得,10,由此推出,11,利用这个递推公式及公式,递推型,如,递推型,递推公式,虽然积分没有具体求出来,但每用一次公式n就降低一次至两次,连续应用.,12,计算不定积分时,有时要同时使用几种方法.,例9 求,13,练习,求下列不定积分.,三角变换,再分部积分,出现循环,14,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,15,例10 计算,例11 证明：若,上连续，则,16,例12,解,无法直接求出,所以,因为,没有初等原函数,分析,被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.,选择积分上限的函数为,17,今后也可将原积分化为二重积分计算.,18,例13 证明定积分公式,证,设,n为正偶数,n为大于1的正奇数,J.Wallis公式,19,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,因为,20,所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,21,例14,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,22,例15 计算,练习,计算下列定积分。,23,分部积分公式,1. 原则:,2. 经验:,3. 题目类型 :,化简型;,循环型;,递推型.,三、小结,v要易求;,易求.,“对反幂三指”的顺序,前为,后为,定积分的分部积分公式,24,两边同时对x求导，,得,分部积分,解,思考题,25,作业,习题4.5(210页),(A)3.(1)(8) 5. (B)1.(7)(10) 3.(2)(3
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