工科数学分析-4(7)反常积分

1,无穷区间上的反常积分,无界函数的反常积分,小结 思考题 作业,第七节 反常积分,(广义积分),improper integral,第五章 定积分,函数与 函数,2,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,反常积分,推广,3,一、无穷区间上的反常积分,(广义积分),例1 求位于曲线,之下,在y轴右边, x轴之上的图形的面积.,4,定义1,如果极限,存在,则称这个极限值,(1),反常积分,即,当极限存在时,称反常积分,收敛;,当极限不存在时,称反常积分,发散.,5,即,当极限存在时,称反常积分,当极限不存在时,称反常积分,存在,如果极限,则称这个极限值,反常积分,(2),收敛;,发散.,6,如果反常积分,和,都收敛,则称上述两反常积分之和为函数,称反常积分,上的反常积分,即,收敛;,记作,发散.,否则称反常积分,(3),7,为了方便起见, 规定:,对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,8,证,例2 证明反常积分,*,因此,收敛于,它发散.,9,例3 计算,注意:,运用分部积分时,是整个原函数的增量,求极限,只有当两个极限都存在时,才可分成两部分计算.,10,例4 计算反常积分,解,反常积分的积分值,的几何意义,=,11,例5,解,考虑,由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知,因而,?,只有上述两个极限都存在时, 才能使反常,但是上述两个极限都不存在.,故知,积分收敛.,12,为对称区间.,其错误的原因在于认定,不成立的.,对于反常积分来说,对称区间上的性质,各不相关.,13,练习,1.计算,解,2.位于曲线,下方,x轴上方的,无界图形的面积是,解,14,二、无界函数的反常积分,(瑕积分),例6 求位于曲线,之下,x轴之上,之间的图形的面积.,15,定义2,则称此极限为,若极限,存在,函数,瑕点,(1),反常积分,仍然记为,即,也称反常积分,收敛;,当极限不存在时,称反常积分,发散.,16,否则,则定义,若极限,存在,(2),瑕点,称反常积分,发散.,17,若等号右边两个反常积分,如果,则定义,否则,就称反常积分,发散.,都收敛,(3),瑕点,反常积分,如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.,通常用瑕点将区间分开,18,为了方便起见,由NL公式,则反常积分,规定:,19,证,反常积分收敛,其值为,反常积分发散.,例7 证明反常积分,*,20,例 8 求,解,发散.,也发散.,错误的做法:,21,例9 计算,此反常积分经变量代换化成了定积分.,22,例,下面是,无穷区间上无界函数的,反常积分,发散,发散.,考虑,注意:,求,时,一定要先判断,被积函数在积分区间上是否有界.,23,三、 函数 与函数,(1) 函数,可以证明此积在 时收敛.,此函数在理论和应用上都有很重要的意义.,下面介绍它的几个性质.,24,性质1,利用分部积分公式可证明.,一般地.有,性质2,性质3,应用中常见的积分:,以后利用二重积分可证:,从而,25,(2) 函数,此函数在,时收敛.,此函数在工程中应用很广.,利用换元法可以证明:,另外两类函数的关系:,26,例 计算,27,无界函数的反常积分(瑕积分),无穷限的反常积分,注意,四、小结,1. 不要与常义积分混淆;,2. 不能忽略内部的瑕点.,了解 函数与 函数,28,思考题1(选择题),解答,恒等于常数.,29,思考题2,积分 的瑕点是哪几点？,