电工电子技术-3

第三章电路的暂态分析 第一节暂态分析的基本概念与换路定律第二节RC电路的暂态过程第三节一阶电路暂态分析的三要素法第四节RL电路的暂态过程 返回 第一节暂态分析的基本概念与换路定律 暂态过程产生暂态过程的原因换路定律 一 暂态过程 返回 稳态 电路中的电流 电压稳定不变或者是时间上的周期函数 称为电路处于稳态 当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时 电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程 称为电路中的过渡过程 由于过渡过程经历的时间很短 所以又称为暂态过程或暂态 若开关在t 0时接通 电路中的电流逐渐增加 最终达到I U R 这是一种稳态 t 0 S R L UL US UR S打开时 电路中的电流等于零 这是一种稳态 在图示的RL电路中 返回 二 产生暂态过程的原因 内因 电路中存在储能元件 C L 电容与电感上存储的能量不能跃变 所以 在含有C L的电路中 从一种稳态到另一种稳态 要有一个过渡过程 返回 外因 换路换路是指电路的结构或参数发生变化 如开关的通断 短路 信号突然接入 电源电路参数的改变等 换路时电路的状态会发生改变 三 换路定律通常我们把换路瞬间作为计时起点 即在t 0时换路 把换路前的终结时刻记为t 0 把换路后的初始时刻记为t 0 在电感元件中 储存的磁场能量为WL 1 2LiL2 电感中的能量不能跃变 表现为电感中的电流iL不能跃变 在电容元件中 储存的电场能量为WC 1 2CUC2 电容中的能量不能跃变 表现为电容两端的电压不能跃变 返回 iL 0 iL 0 uC 0 uC 0 电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律 表示为 换路定律适用于换路瞬间 用它来确定暂态过程的初始值 返回 若iL 0 iL 0 0 uC 0 uC 0 0 换路瞬间 电容相当于短路 电感相当于断路 若iL 0 iL 0 0 uC 0 uC 0 0 换路瞬间 电容相当于恒压源 电感相当于恒流源 电路中其它电压电流在换路瞬间 用换路定律 KVL KCL定律联合求解 元件 特征 C L iL t t 0 t 0 t uC t uC 0 0 uC 0 0 uC 0 U0 uC 0 U0 开路 短路 iL 0 I0 iL 0 I0 iL 0 0 iL 0 0 返回 例 在图示电路中 已知 R 1k US 10V L 1H 求开关闭合后的初始值 S i uL R US 返回 解 S闭合前 电路已处于稳态 iL 0 0 在S闭合的瞬间 根据换路定律有 iL 0 iL 0 0 uR 0 i 0 R 0uR 0 uL 0 US uL 0 10V 返回 R1 US S C iL iC uC R2 解 t 0 电路稳态C开路 L短路 iL 0 US R1 R2 uC 0 iL 0 R2 例t 0时S断开 求uC 0 uL 0 uR2 0 iC 0 iL 0 L uL 在S断开的瞬间 根据换路定律有 uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 所以有等效电路 返回 R2 uC 0 iL 0 uR2 0 iC 0 iC 0 iL 0 US R1 R2 uR2 0 iL 0 R2 uC 0 uL 0 uC 0 uR2 0 0 第二节RC电路的暂态过程 零输入响应零状态响应电路的全响应 返回 返回 一 零输入响应 如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存 那么即使电路中并无外施电源存在 换路后电路中仍将有电压电流 这是因为储能元件要释放能量 因此 将电路中无输入信号作用时 由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应 1 换路后电路的微分方程 返回 S在1位置uC 0 US 初始条件 S在2位置uR t uC t 0 uR t i t Ri t Cduc t dt 得到一阶常系数线性齐次微分方程 S i uC R US 1 2 uR 2 解微分方程 RCduC t dt uC t 0 特征方程 RCP 1 0 P 1 RC uC t Ae t RC uC 0 US 有A Us 令它的通解形式为 uC Aept 返回 代入方程得 RCP 1 Aept 0 显然uC i uR都是按同样的指数规律变化的 且都是按指数规律衰减 最后趋于零 返回 i t Cduc t dt Cd USe t RC dt US R e t RC uR t i t R USe t RC 令 RC 称为R C串联电路的时间常数 单位为s 变化曲线为 U i t 返回 2 时间常数 从上面的变化规律可知 过渡过程的快慢与RC有关 RC 返回 值越小 暂态过程进行得越快 值越大 暂态过程进行得越慢 当t 时uC USe USe 1 0 368US 也就是说 零输入响应的初始值经过一个 衰减为原来的36 8 一般在t 3 5 时uC t 的值已很小 可认为暂态结束 Us uC 0 368Us 1 t 1 2 3 2 3 返回 二 零状态响应 返回 与零输入相反 如果在换路前储能元件没有能量储存 这种状态称为零状态 因此 将电路中输入信号作用时 所产生的响应称为零状态响应 1 换路后的微分方程 S在1位置uR t uc t Us uR t i t R i t C duc t dt 得到一阶常系数线性非齐次微分方程 返回 S i uC R US 1 2 uR S在2位置uC 0 0 初始条件 2 解微分方程 RCduC t dt uC t Us uc Us uc 0 0 返回 i t Cduc t dt US R e t uR t i t R USe t 显然i uR是按指数规律衰减 最后趋于零 uC随t不断增加 最后趋于US U i Us t 反映RC电路充电的速度 一般 经过 3 5 的时间 可认为暂态结束 返回 u Us 0 632Us uC t t uC t Us 1 e 1 0 632Us 当t 时 返回 返回 uC R US 例 已知R 103k US 100V C 10 F 求开关闭合后5 10 30s时的uC值 并画出uC曲线 解 uC 0 0 初始条件 开关闭合 100 1 e 0 1t t 5uC 39 4Vt 10uC 63 2Vt 30uC 95V u V uC t t 100 换路前 储能元件有储能 即非零状态 这种状态下的电路与电源接通 储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应称为全响应 三 电路的全响应 返回 对于线性电路 全响应为零输入响应和零状态响应的叠加 全响应 零输入响应 零状态响应 1 换路后的微分方程 t 0 S闭合uR t uC t Us 初始条件为uC 0 uC 0 U0 RC duC t dt uC t Us 返回 Us S i t 0 uR uC R C 得到一阶常系数线性非齐次微分方程 2 解微分方程 通解形式为 uC t Us Ae t uC 0 Uo Uo Us A A Uo Us 所以RC电路的全响应为 uC t Us Uo Us e t 返回 RC duC t dt uC t Us 2 对全响应的讨论 1 此时电容将放电 最后达到稳态值Us 全响应 稳态解 暂态解 Uo Us Uo Us 此时电容将充电 最后达到稳态值Us 返回 uC t Us Uo Us e t Uo Uo Us Uo Us Uo Us 放电 充电 变化曲线 t uC 返回 全响应 零输入响应 零状态响应 返回 2 uC t Us Uo Us e t Us Use t Uoe t Us 1 e t Uoe t 可分别求零输入响应 令电源为零 零状态响应 令初始值为零 然后求叠加 返回 Us S1 i uR uC R1 C 例 已知R1 R2 10 US 80V C 10 F t 0开关S1闭合 0 1ms后 再将S2断开 求uC的变化规律 C上初始能量为零 S2 解 1 0 t 0 1ms R2 uC 0 uC 0 0 零状态响应 80 1 e 10000t t1 0 1msuC t1 50 56V 2 t 0 1ms uC t1 uC t1 50 56V 全响应 uC t Us Uo Us e t 80 50 56 80 e t R1 R2 C 2 10 4uC t 80 29 44e 5000 t t1 第三节一阶电路暂态分析的三要素法 一阶电路求解一阶电路的三要素法三要素公式说明例题 返回 只含有一个 或者可以化为一个 储能元件的线性电路 无论是简单的 还是复杂的 它的微分方程都是一阶常系数微分方程 这种电路称为一阶电路 一 一阶电路 返回 对于一阶电路 它的时域响应是从初始值开始 按着指数规律变化 最终进入新的稳态值 过渡过程的长短取决于时间常数 因此将初始值 稳态值 时间常数 称为一阶电路的三要素 二 求解一阶电路的三要素法用f t 表示电路中的某一元件的电压或电流 f 表示稳态值 f 0 表示初始值 为时间常数 全响应 稳态分量 暂态分量 f t f Ae t f t f f 0 f e t 只要求出f 0 f 和 值 即可直接写出暂态过程中电压 或电流的表达式 返回 f 0 uC 0 和iL 0 可用换路定律在换路前的电路求 其它电压和电流要在换路后的电路中求得 f 进入稳态后电容相当于开路 电感相当于短路 可应用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值 三 三要素公式说明 时间常数 在换路后的电路中求得 R0c R0是换路后的电路中 从C两端看进去的将恒压源短路 恒流源开路后的等效电阻 返回 例 图示电路中 IS 6mA C 0 1 F R1 6k R2 1k R3 2k 在t 0时将S闭合 试求uC t 画出曲线 返回 S R2 R3 R1 IS 解 uC 0 uC 0 C R1 R2 R3 C 0 155 10 3S uc t uc uc 0 uc e t 8 36 8 e 6430tV 8 28e 6430tV 36 例 图示电路中 IS 8mA C 4 F R1 2K R2 3K R3 1K R 5K E 10V 在t 0时将S由1打向2 试求uC t 画出曲线 返回 S R R2 R3 R1 IS E 解 uC 0 uC 0 C R1 R2 R3 C 8 8 10 3S uc t uc uc 0 uc e t 6 12 6 e 114tV 6 6e 114tV 1 2 12 返回 r US C iK iC uC R ir 例 图中电路原已稳定 求开关闭合后的uC和iK 解 iC uC t R US R e t RC ir US r uC 0 uC 0 US uC 0 RC 求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同 所不同的是RL电路的时间常数为 L R L单位为 H R单位为 时 单位是s 用列微分方程 解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法 通过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法 第四节RL电路的暂态过程 返回 例 在图示电路中 已知L 1mH R 10 电压表内电阻Rv 1 5k 电源电压U 10V 在t 0时开关S断开 S断开前电路已处于稳态 求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律 V Rv S a b L R iL t 0 U 解 iL 0 U R 1AiL 0 i