专题九压缩映射原理及应用

压缩映射及其不动点的概念 专题九压缩映射原理及其应用 压缩映射原理应用举例 求映射的不动点 压缩映射原理 注 1 把 方程的求解 问题化归为 求映射的不动点 问题 并用逐次逼近 即迭代 法求不动点 既近似解 的方法是计算数学 分析和代数中常用的一种重要方法 例如 牛顿求代数方程根时采用的切线法 2 映射的不动点 使x Tx的x称为T X X的不动点 基本思想 代数方程 微分方程 积分方程 x Tx x0 xn 1 Txn 定义4 1 压缩映射 设X是距离空间 T X X是X上的自映射 如果存在0 1 对 x y X 都有 Tx Ty x y 则称T是X上的一个压缩映射 一 压缩映射及压缩映射原理 1 压缩映射及其不动点的定义 定义4 1 映射的不动点 设X距离空间 T X X是X上的自映射 如果存在x X 使得x Tx 则称x是映射T的一个不动点 定理1压缩映射是连续映射事实上 xn X xn x X T X X是压缩映射 Txn Tx xn x 0 n T市连续映射 2 压缩映射原理 Banach不动点原理 波兰 1922 定理4 1 压缩映射原理 设X是完备的距离空间 映射T X X是压缩映射 则T在X中存在唯一的不动点x 即x Tx 证存在性设X完备 T X X是压缩映射 任取初始点x0 X 构造迭代序列 xn X xn 1 Txn n 0 1 2 证明 xn 是基本列 因而是收敛列 T是压缩映射 0 1 使得 xn 1 xn Txn Txn 1 xn xn 1 2 xn 1 xn 2 n x1 x0 n Tx0 x0 n 1 2 xn k xn xn k xn k 1 xn k 1 xn k 2 xn 1 xn n k 1 n k 2 n Tx0 x0 k N 证明极限点x就是T的不动点 T是压缩映射 T是连续映射xn 1 Txn xn x T连续 x Tx n x是T的不动点 唯一性设x y都是T的不动点 x Tx y Ty x y Tx Ty x y x y 0 0 1 xn k xn 0 n 0 1 xn 是基本列 xn 收敛 X完备 x X 使xn x n 注1 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件 2 压缩映射原理提供了映射不动点的求法 迭代法 x0 X 令xn Txn 1 则xn Tnx0 n 1 2 x limxn n 3 压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式 事实上 由定理证明过程知 令k 有极限保号性记即得证 推论4 2设X是完备距离空间 T X X 如果存在常数 0 1 及正整数n0 使对任何x y X 都有 则T存在唯一不动点x 即x Tx 其中定义 T2x T Tx T3x T T2x Tnx T Tn 1x 证 是X上的压缩映射 x与Tx都是的不动点x Tx 不动点的唯一性 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤 1 说明X是完备距离空间 2 有实际问题定义映射T X X 使x Tx 3 证明所定义映射T是X上的压缩映射 3 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性 3 压缩映射原理应用 例4 1设f x 在R可导 且 f x 1 则f x 在R上有唯一的不动点x 且x可由迭代xn 1 Txn n 1 2 x0 R 迭代求得 证R是完备距离空间 函数f x 是R到R的一个映射 x1 x2 R 由拉格朗日中值定理 有 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 x2 f R R是压缩映射 f x 在R上有唯一的不动点x 对于迭代xn 1 Txn 有 例4 2设f x 在闭区间 x0 h x0 h 上可导 且 f x 1 又 f x0 x0 1 h 则f x 在 x0 h x0 h 上有唯一的不动点x 且x可由迭代xn 1 Txn n 1 2 x0 x0 h x0 h 迭代求得 证 结合推论4 1及例4 1即得证 R是完备距离空间 函数f x 是R到R的一个映射 x1 x2 x0 h x0 h 由拉格朗日中值定理 有 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 x2 f R R是压缩映射又 f x0 x0 f x0 x0 1 hf x 在 x0 h x0 h 上有唯一的不动点x 推论4 2 且对于迭代xn 1 Txn 有 例4 3设f x y 在R2上连续 且关于y满足Lipschitz条件 f x y1 f x y2 k y1 y2 k 0 则微分方程初值问题 有唯一解 证R2完备 且y x 在R上连续 0 使 k 1 令C x0 x0 y y x x x0 x0 y x 连续 则C x0 x0 按如下距离 y1 y2 是完备的距离空间 T是压缩映射 唯一y x C x0 x0 使 例4 3设有线性方程组 如果对每个i 则该方程组有唯一解 证Rn按距离 是完备的距