正弦定理应用举例

仰角 目标视线在水平线上方的叫仰角 俯角 目标视线在水平线下方的叫俯角 方位角 北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角 N 方位角60度 水平线 目标方向线 视线 视线 仰角 俯角 O A B 解斜三角形中的有关名词 术语 练习 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则的关系为 A C B 51o 55m 75o 测量距离 例1 设A B两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在A的同测 在所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离是55cm BAC 51o ACB 75o 求A B两点间的距离 精确到0 1m 分析 已知两角一边 可以用正弦定理解三角形 解 根据正弦定理 得 答 A B两点间的距离为65 7米 A B C D A B a 解 如图 测量者可以在河岸边选定两点C D 设CD a BCA ACD CDB ADB 分析 用例1的方法 可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离 再测出 BCA的大小 借助于余弦定理可以计算出A B两点间的距离 解 测量者可以在河岸边选定两点C D 测得CD a 并且在C D两点分别测得 BCA ACD CDB BDA 在ADC和BDC中 应用正弦定理得 计算出AC和BC后 再在ABC中 应用余弦定理计算出AB两点间的距离 注 阅读教材P12 了解基线的概念 练习1 一艘船以32 2nmile hr的速度向正北航行 在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向 30min后航行到B处 在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向 已知距离此灯塔6 5nmile以外的海区为航行安全区域 这艘船可以继续沿正北方向航行吗 变式练习 两灯塔A B与海洋观察站C的距离都等于akm 灯塔A在观察站C的北偏东30o 灯塔B在观察站C南偏东60o 则A B之间的距离为多少 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长 精确到0 01m 1 什么是最大仰角 2 例题中涉及一个怎样的三角形 在 ABC中已知什么 要求什么 练习2 自动卸货汽车的车厢采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度 已知车厢的最大仰角是60 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长 精确到0 01m 已知 ABC中AB 1 95m AC 1 40m 夹角 CAB 66 20 求BC 解 由余弦定理 得 答 顶杆BC约长1 89m 测量高度 测量垂直高度 1 底部可以到达的 测量出角C和BC的长度 解直角三角形即可求出AB的长 图中给出了怎样的一个几何图形 已知什么 求什么 想一想 2 底部不能到达的 例3AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析 由于建筑物的底部B是不可到达的 所以不能直接测量出建筑物的高 由解直角三角形的知识 只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA 并测出由点C观察A的仰角 就可以计算出建筑物的高 所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长 解 选择一条水平基线HG 使H G B三点在同一条直线上 由在H G两点用测角仪器测得A的仰角分别是 CD a 测角仪器的高是h 那么 在ACD中 根据正弦定理可得 例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物 A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析 根据已知条件 应该设法计算出AB或AC的长 CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为150米 解 在 ABC中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根据正弦定理 练习 1 如图 B C D三点在地面一直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分别是 则A点离地面的高AB等于 练习 2 有一幢20m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为600 塔基的俯角为450 则塔高为 例6一艘海轮从A出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东32 的方向航行54 0nmile后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 解 在 ABC中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 练习 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等 灯塔A在观察站C的北偏东400 灯塔B在观察站C的南偏东600 则灯塔A在灯塔B的 A 北偏东100 B 北偏西100 C 南偏东100 D 南偏西100 例8在某市进行城市环境建设中 要把一个三角形的区域改造成市内公园 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m 88m 127m 这个区域的面积是多少 精确到0 1cm 例题讲解 A B C 例题讲解 总结 实际问题 练习 1 在中 面积求AC的长 解