经济学微积分定积分的应用,求面积、体积

6 4定积分的应用 一 平面图形的面积二 立体的体积三 经济应用 一 平面图形的面积 平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解 一条曲线情形 积分变量为x 1 f x 0 2 f x 0 3 一般情况 一条曲线 积分变量为y 1 2 3 一般情况 2条曲线 选择合适的积分变量 选x作为变量上边曲线减去下边曲线 注 求面积时保证被积函数的非负性 当两条曲线相交时 应求出其交点作为区间分段点 选y作为变量右边曲线减去左边曲线 画草图 解 另解 选x为积分变量 选y为积分变量 求面积的解题步骤 1 画草图 2 联立方程求交点 3 选取合适的积分变量 确定积分区间 4 确定被积函数 利用公式进行求解 积分变量的选择 选取积分变量x y 应满足 过点x y 作垂直于x y 轴的直线穿区域D 是一进一出 即最多两个交点 积分区间的确定 选取积分变量x应为区域的左右两个边界点所确定的区间 选取积分变量y应为区域的上下两个边界点所确定的区间 被积函数应遵循的原则 大减小 x上减下 y右减左 理论上可以选择任何一个变元为积分变量 例 计算由曲线y x3 6x和y x2所围成的图形的面积 解 两曲线的交点 选为积分变量 于是所求面积 例 计算由曲线y2 2x和y x 4直线所围成的图形的面积 解 两曲线的交点 选为积分变量 选x为积分变量 例 求由曲线 所围面积 解 画草图 例设曲线x轴与y轴在第一象限所围的图形被曲线分为面积相等的两部分 试确定a的值 解如图 解方程组 而 再由 得 得交点坐标 o x y a b x S x 二 平行截面面积已知的立体体积 具体求法如下 1 分割 2 近似求和 3 求极限 旋转体的体积 旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体 这条定直线称为旋转体的轴 圆柱 圆锥 圆台 由连续曲线y f x x a x b y 0所围图形绕x轴旋转一周生成旋转体的体积为 由连续曲线x y y c y d x 0所围图形绕y轴旋转一周生成旋转体的体积为 一般地 由连续曲线y x y g x 和直线x a x b所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为 o x y y x a b x x dx y g x 例 求由椭圆 旋转椭球体的体积 旋转椭球体可看作由上半椭圆 绕x轴旋转 所围成 的图形绕x轴旋转而成的 解 例 求由y x2 x y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积 解 画图 求交点 0 0 0 1 积分变量 例 求由y x2 y x y 2x所围成的图形绕x y轴旋转而成的体积 解 画图 解 画图 三 经济应用举例 一 已知总产量的变化率求总产量 已知某产品总产量Q的变化率是时间t的连续函数f t 且时刻t0的产量Q0 即Q t f t Q0 Q t0 则产品在t时刻的总产量函数可表示为 注 通常假设t0 0时 Q0 0即Q t0 0 例 某产品总产量变化率为f t 100 10t 0 45t2 吨 小时 求 总产量函数Q t 从t0 4到t1 8这段时间内的总产量 Q 解 572 8 吨 经济应用举例之二 已知边际函数求总量函数 小结 1 求在直角坐标系下平面图形的面积 注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算 2 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 3 经济应用 已知