数学物理方法-8.1分离变量法介绍_第1页
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8.1 分离变量法介绍,（一）分离变量法,（泛定方程）波动方程：,边界条件：,初始条件：,波腹,波节,每一点绕平衡位置振动,振幅随位置变化,驻波解：,对于确定的频率，解是驻波：,带入波动方程、边界条件：,即,和,这是解的分离变量,A.,Clearly,x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比只能为一常数！,由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：,和,B.,(1),的解：,(2),(3),非零解,：本征值,：本征函数,：本征值方程,C2是积分常数。,C.,A、B 是积分常数。,D.,由初始条件：,小结,分离变量：,边值确定本征值函数：,初值确定叠加系数：,注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本征函数的根本。,（二）例,例1,磁致伸缩换能器两端自由得均匀细杆。,自由：振动传递给外界,A.,分离变量：,和,B.,C.,D.,由初始条件：,固定,自由,自由,自由,自由,固定,固定,固定,一、二类边界条件决定的驻波,例2:,单簧管，均匀细管。研究管内空气柱的声振动，纵振动。一端固定，另一端自由。,求本征振动。,不需要初始条件。,A.,分离变量：,和,和,B.,和,和,C.,K=0：基频。,K0：谐频,例3,细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另一端有恒定热流 流入。,解：,第一类边界条件,第二类边界条件,非齐次（不为零）边界条件。无法直接根据边界条件确定本征函数。,解齐次边界条件的通解非齐次边界条件的特解,A. 非齐次边界条件的特解：,齐次边界条件的通解:,设解：,则,初始条件：,B.,分离变量,和,C.,与上题同,D.*,E.,“和”是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。,例4,如图，散热片横截面为矩形。温度满足 。求稳定 温度分布。,解：,稳定分布温度满足拉氏方程：,边界条件：,从数学上讲，边界条件与初始条件并无区别，都是确定积分常数的代数公式。尽管本题只涉及边界条件，但可将其一视为初始条件。,令：,显然，,A.,分离变量：,和,B.,C.,例7:,求电场强度,解：,建立如右图坐标系，Z-轴沿导线。,导线,无限长导线的情况，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 平面问题。,导线的存在，如何改变电场？,真空静电势满足拉普拉斯方程：,或,边界条件,方程,云、地、导线。,导线的表面是等势面，取其为电势零点：,a为导线半径,云、地在无穷远处，由定义 ，可得，,地：,无穷远处电场强度。,云：,根据导线的边界条件，本题应取平面极座标 ，座标原点在导线中心。,分离变量,自然周期边界条件,或,定解,电场强度,讨论：,电场中，第一项是无导线时的均匀电场。第二项为平面
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