数学物理方法-第五章 傅里叶变换－2_第1页
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5.3 函数,1. 作为广义函数的引入,物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。 函数就是作为这样的密度被引入的。例如，电子的电量是有限的 。但电子的半径大小至今只测量到上限，即不大于 ，并且随着测量精度的提高，这个上限越来越小，也就是趋于零。而目前的理论研究也得出电子半径为零的结果。于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷密度就由 函数来表示。,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度,全空间总质量,的极限,全空间总质量不变,密度,因此，作为广义函数引入 函数：,则,又，对,2. 一些性质,(1) 偶函数,从图形可以看出,(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数,(3) 挑选性,对连续函数,(4) 表示连续量,持续于 0, 1 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可以看作瞬时力 的冲量,(5) 复合函数,若 的实根 全部是单根，则,例,3. 其它表示,4. 傅里叶变换,例,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法,定义函数系列：,，显然,5. 多维情况,小结,傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换， 提供在频域表示函数性质的方法。B. 周期函数变换为离散级数，非周期函数变换为积分。C
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