数学物理方法-第零章-矢量分析

数 学 物 理 方 法,数学物理方程复变函数,教 学 目 的,介绍理论物理中出现的数学概念；介绍一些处理理论物理问题常用的数学方法，如付里叶变换，拉普拉斯变换，留数定理，保角变换等等。介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法，分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公式等等。,考察大学物理与理论物理间的区别,大学物理：均匀带电圆环，求轴上离圆心 x 处电场强度。,电动力学：求圆环周围的度。,利用,解拉普拉斯方程,数学物理方法p.297, 第9题。,求积分需要利用电荷分布的对称性，只能计算轴上各点的电势，拉普拉斯方程求解不受这个限制。所以理论物理可以给出复杂条件下更多更精确的结果。,Grad的概念，拉普拉斯方程的解法。,复 变 函 数,矢量分析复习复变函数付利叶变换和拉普拉斯变换,矢 量 分 析,标量场的梯度（grad）矢量场的散度(div) 矢量场的旋度(curl) 无散场和无旋场 正交曲线座标系,以复习为主,标 量 场 的 梯 度,1.方向导数标量：一个自由度的变量，它只具有一个值。如：密度，电量，质量，能量，温度等。矢量：两个以上的自由度的变量，一个自由度 可取 为它的值，其它的自由度确定它的方向。如：速度，电场强度，力等。,一般地，具有多自由度的量可以利用矢量来表示其特性，并进行推理,场： 二维或二维以上的空间中的一个范围，在其每一点，都定义一个标量，矢量或其它什么量。对应地称为标量场，矢量场，或者什么什么场。因此，场就是空间座标的函数。,自变量可以具有几个独立分量，函数也可以有几个独立分量。因此，有标量，场矢量场等。,导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。对于一维的情况，函数对于座标的导数，是沿自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯一的方向，而无需特别地强度导数的方向性。,场是二维以上空间的函数，其自变量具有两个以上的独立分量。故在求其导数时，几个自变量的增量确定了一个矢量，这个表示增量的矢量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量增量矢量的方向变化而变化，导致场的导数有方向性。,左边是一个平面温度场，u(x,y)为温度。在点P，不同的方向温度的陡度是不同的。因此温度沿不同方向的导数是不同的。,导数的大小与方向有关,如左图：若极限,存在，则称它为u在P点，沿PP的方向导数。,计算方法（以三维为例）：记 为,其中,为方向余弦。,2.梯 度,方向余弦又可以看作沿PP的如下单位矢量的分量,这个单位矢量指定了一个空间方向。因此，方向导数可以看作如下矢量在指定方向的单位矢量上的投影,叫标量场的梯度。又记为gradu。由于方向导数是投影，故,例,点电荷e的场强.,点电荷的势为:,电场强度为:,梯度是以对座标的导数为分量的矢量。,运算规则,复合函数,等量面 是 的一个方程，在空间决定一个解,等量面的法线方向的余弦正比于,即梯度的方向是等量面法线方向,例,3.矢量场的散度,矢量线：矢量场中的曲线，每一点的切线方向与该点上的矢量相同。 流体中流线，电场中电力线，磁场中磁力线。,矢量场：空间每一点上定义的矢量的全体，因此，每一点的函数有几个独立分量,通过单位面积的总量为,单位时间通过 的量 为,通量：与流量相类似，单位时间通过某面积的量。,散度：对于封闭曲面，量 A 的通量为,曲面内无源时,曲面内存在源， 与源的强度成正比。,取比例系数为一，则曲面内源的平均密度为,一点上的源的密度,记为,标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量！,由奥高定理,叫散度。,例,例,电场,运算规则：,4.矢量场的旋度,矢量场的散度与它的面积分有关。矢量场还有线积分，与之有关的为旋度。,如在电场中，电场对电荷作用力作功为,沿曲线从 A 的 B 电场力作功为,环路上,但这是绕有限范围的环流量。为了描述矢量场在一点上的性质，必须让 l 包围的面积 S 趋于零。这就得到,称为环流量，如下图，可以计算绕 z 轴沿了 l 的 环流量。它为,式中使用了格林公式。,旋度,在三维的情况下,例,它们是对称的,运算规则 （也是线性算子）,由,并计及 是求导：,由 可知,矢量场的 B 的散度为零（叫无散场），则可写为,(A 为其矢量势),又由 可知,矢量场 B 的旋度为零（叫无旋场，或有势场），则可写为,(u 为其势),正交曲线座标系,