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文档简介

2无穷积分的性质及收敛判别 一 无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法 二 非负函数无穷积分的收敛判别法 三 一般函数无穷积分的收敛判别法 收敛的充要条件是 一 无穷积分的性质 证 极限的柯西准则 此等价于 性质1 为任意常数 则 即 根据反常积分定义 容易导出以下性质1和性质2 性质2 h x 在任意 a u 上可积 且 证因为 收敛 由柯西准则的必要性 再由柯西准则的充分性 二 非负函数无穷积分的收敛判别法 上的非负函数f在任何 收敛的充要条件是 非负函数f g在任何有限区间 a u 上可积 且 定理11 3 比较判别法 设定义在上的两个 增函数的收敛判别准则 存在满足 证 由非负函数无穷积分的判别法 第二个结论是第一个结论的逆否命题 因此也成立 推论1设非负函数f和g在任何 a u 上可积 且 证 即 推论2设f是定义在上的非负函数 在任何 限区间 a u 上可积 推论3设f是定义在上的非负函数 在任何有 说明 推论3是推论2的极限形式 读者应不难写 出它的证明 解 i 若无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性 三 一般函数无穷积分的判别法 何有限区间 a u 上可积 因此 再由柯西准则的充分性 又对任意 瑕积分的性质与收敛判别 与无穷积 3瑕积分的性质与收敛判别 内容大都是罗列出一些基本结论 并举 分的性质与收敛判别相类似 因此本节 例加以应用 而不再进行重复论证 定理11 7 瑕积分收敛的柯西准则 证 柯西准则 此等价于 性质1 性质2 性质3 定理11 8 非负函数瑕积分的判别法 定理11 9 比较法则 推论1 推论2 推论3 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性 例1 由于 例2 解 例3 解 一般函数的无穷积分的狄利克雷判 定理11 5 狄利克雷判别法 证 故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性 使得 因此 由柯西准则 证 证法1 定理11 6 阿贝尔判别法 由g的单调性 用积分第二中值定理 对于任意的 使得 由柯西准则 证法2 由狄利克雷判别法 收敛 收敛 所以 解 由狄利克雷判别法推知 另一方面 狄利克雷判别 法条件 是收敛的 类似可证 积分第二中值定理 1 定理9 11 2 推论
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