河海大学弹性力学徐芝纶版 第三章PPT课件

第三节位移分量的求出 第四节简支梁受均布荷载 第五节楔形体受重力和液体压力 例题 第一节逆解法与半逆解法多项式解答 第二节矩形梁的纯弯曲 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法和半逆解法多项式解法 当体力为常量 按应力函数求解平面应力问题时 应满足 按求解 多连体中的位移单值条件 c S 上应力边界条件 A内相容方程 对于单连体 c 通常是自然满足的 只须满足 a b 由求应力的公式是 d 2 逆解法 Inversemethod 先满足 a 再满足 b 步骤 e 逆解法 先找出满足的解 在给定边界形状S下 由式 b 反推出各边界上的面力 代入 d 求出 从而得出 在面力 e 作用下的解答 就是上述和应力 逆解法 逆解法没有针对性 但可以积累基本解答 例1 逆解法 设图中所示的矩形长梁 l h 试考察应力函数能解决什么样的受力问题 y x o l h 2 h 2 l h 解 按逆解法 1 将代入相容方程 可见是满足的 有可能成为该问题的解 2 由求出应力分量 因此 在的边界面上 无任何面力作用 即 3 由边界形状和应力分量反推边界上的面力 在主要边界 大边界 上 在x 0 l的次要边界 小边界 上 在x 0 l小边界上的面力如下图中 a 所示 而其主矢量和主矩如 b 所示 a b F F M Fl 由此 可得出结论 上述应力函数可以解决悬臂梁在x 0处受集中力F作用的问题 F 例3二次式 分别表示常量的应力和边界面力 如图示 例2一次式对应于无体力 无面力 无应力状态 故应力函数加减一次式 不影响应力 逆解法 2a 2a o y x o y x o y x b b b b 2c 2c 对于图示1 4圆薄板 试考察应力函数能满足相容方程 并求出应力分量 不计体力 画出边界面上的面力分量 弧面上用法向和切向表示 作业 代入 解出 3 半逆解法 Semi inversemethod 步骤 半逆解法 由应力 d 式 推测的函数形式 假设应力的函数形式 根据受力情况 边界条件等 d 由式 d 求出应力 半逆解法 校核全部应力边界条件 对于多连体 还须满足位移单值条件 如能满足 则为正确解答 否则修改假设 重新求解 思考题 半逆解法 1 在单连体中 应力函数必须满足哪些条件 逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的 2 试比较逆解法和半逆解法的区别 半逆解法解题的基本步骤 逆解法解题的基本步骤 单连体 3 2矩形梁的纯弯曲 梁l h 1 无体力 只受M作用 力矩 单宽 与力的量纲相同 本题属于纯弯曲 Purebending 问题 问题提出 h 2 h 2 l y x l h o M M 由逆解法得出 可取 且满足 求应力 a 求解步骤 本题是平面应力问题 且为单连体 若按求解 应满足相容方程及上的应力边界条件 检验应力边界条件 原则是 边界条件 b 后校核次要边界 小边界 若不能精确满足应力边界条件 则应用圣维南原理 用积分的应力边界条件代替 a 先校核主要边界 大边界 必须精确满足应力边界条件 主要边界 从式 a 可见 边界条件 b 均满足 满足 次要边界x 0 l c 次要边界 用两个积分的条件代替 的边界条件无法精确满足 次要边界x 0 l 当时 即使在边界上面力不同于的分布 其误差仅影响梁的两端部分上的应力 式 d 的第一式自然满足 由第二式得出 最终得应力解 e 如果区域内的平衡微分方程已经满足 且除了最后一个小边界外 其余的应力边界条件也都分别满足 则我们可以推论出 最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件 即主矢量 主矩的条件 必然是满足的 因此可以不必进行校核 试对此结论加以说明 思考题 3 3位移分量的求出 在按应力求解中 若已得出应力 如何求出位移 以纯弯曲问题为例 已知 试求解其位移 问题提出 1 由物理方程求形变 求形变 2 代入几何方程求位移 求位移 对式 a 两边乘积分 对式 b 两边乘积分 求位移 再代入 c 并分开变量 上式对任意的x y都必须成立 故两边都必须为同一常量 求位移 由此解出 求位移 得出位移为 3 待定的刚体位移分量 须由边界约束条件来确定 由边界约束条件来确定刚体位移分量 Simplysupportedbeam Cantileverbeam 2 代入几何方程 积分求 归纳 从应力求位移步骤 3 由边界约束条件确定确定刚体位移分量 由物理方程求出形变 2 铅直线的转角故在任一截面x处 平面截面假设成立 纯弯曲问题的讨论 1 弯应力与材料力学的解相同 3 纵向纤维的曲率同材料力学的结果 故在纯弯曲情况下 弹性力学解与材料力学解相同 思考题 2 试证明刚体位移实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量 并应用本节的解答加以验证 提示 微分体的转动分量为 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答 与材料力学的解答在应力 形变等方面完全一致 由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立 3 4简支梁受均布荷载 简支梁 受均布荷载及两端支撑反力 问题 y x o l l h 2 h 2 现采用此假设 按半逆解法求解 假设应力分量 由材料力学 因为 因为 所以 可假设 所以 可假设 因为 所以 可假设 y x o l l 由应力分量推出应力函数的形式 由 对x积分 对x再积分 a 半逆解法 将代入相容方程 求解 相容方程对于任何均应满足 故 的系数均应等于0 由此得三个常微分方程 半逆解法 式 b 中已略去对于的一次式 将式 b 代入式 a 即得 b 半逆解法 解出 对称性条件 由于结构和荷载对称于轴 故应为的偶函数 为x的奇函数 故 由求应力 半逆解法 在无体力下 应力公式如书中式 f g h 所示 y x o l l 考察边界条件 由此解出系数A B C D 主要边界 主要边界 y x o l l 次要边界 次要边界 由此解出H K 另一次要边界 x l 的条件 自然满足 应用圣维南原理 列出三个积分条件 y x o l l 不满足 最后应力解答 应力 应力的量级当时 x l同阶 y h同阶 第一项同阶 与材料力学解同 第二项同阶 弹性力学的修正项 应力的量级 应力的量级当时 x l同阶 y h同阶 同阶 与材料力学解同 应力的量级 同阶 材料力学中不计 当时 量级的值很小 可以不计 应力与材料力学解比较 最主要量级 和次要量级 在材料力学中均已反映 且与弹性力学相同 最小量级 在材料力学中没有 当时 仅占主项的1 15 6 应力比较 中的弹性力学修正项 弹性力学与材料力学的解法比较 应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 几何方程和物理方程 以及S上的所有边界条件 在小边界上尽管应用了圣维南原理 但只影响小边界附近的局部区域 材料力学在许多方面都作了近似处理 所以得出的是近似解答 几何条件中引用平截面假定 沿为直线分布 例如 边界条件也没有严格考虑 平衡条件中没有考虑微分体的平衡 只考虑的内力平衡 材料力学解往往不满足相容条件 对于杆件 材料力学解法及解答具有足够的精度 对于非杆件 不能用材料力学解法求解 应采用弹性力学解法求解 当问题中的y轴为对称轴时 试说明和应为x的偶函数 而应为x的奇函数 思考题 对于梁的弯曲问题 试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的 3 试说明从弹性力学得出的解答 3 6 不符合平面截面假设 4 材料力学的解答往往不满足相容条件 为什么 3 5楔形体受重力及液体压力 设有楔形体 左面垂直 顶角为 下端无限长 受重力及齐顶液体压力 o y x n 用半逆解法求解 因为应力 而应力的量纲只比 高一次 L 所以应力 x y一次式 即可假设应力为x y的一次式 1 用量纲分析法假设应力 2 由应力 关系式 应为x y的三次式 3 满足相容方程 4 由求应力 5 考察边界条件 本题只有两个大边界 均应严格满足应力边界条件 x 0铅直面 解出 解出 斜边界上 须按一般的应力边界条件来表示 有 其中 由式 b 解出a b 最后的应力解答 应力 水平截面上的应力分布如图所示 楔形体解答的应用 作为重力坝的参考解答 分缝重力坝接近平面应力问题 在坝体中部的应力 接近楔形体的解答 重力坝规范规定的解法 材料力学解法 重力法 重力坝的精确分析 可按有限单元法进行 思考题 重力法是按应力求解的 试回忆应力分量必须满足哪些条件 在重力法中考虑了哪些条件 第三章例题 例题1 例题2 例题3 例题4 例题8 例题7 例题6 例题5 图3 5 y dy y x l h 2 h 2 o 例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用 体力可以不计 图3 5 试用应力函数求解应力分量 解 本题是较典型的例题 已经给出了应力函数 可按下列步骤求解 1 将代入相容方程 显然是满足的 2 将代入式 2 24 求出应力分量 考察边界条件 主要边界上应精确满足式 2 15 在次要边界x 0上 只给出了面力的主矢量和主矩 应用圣维南原理 用三个积分的边界条件代替 注意x 0是负x面 图3 5中表示了负x面上的的正方向 由此得 由 a b 解出 最后一个次要边界条件 x l上 在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下 是必然满足的 故不必再校核 代入应力公式 得 例题2 挡水墙的密度为 厚度为b 图示 水的密度为 试求应力分量 解 用半逆解法求解 假设应力分量的函数形式 因为在y b 2边界上 y b 2边界上 所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化 即 2 按应力函数的形式 由推测的形式 所以 3 由相容方程求应力函数 代入得 要使上式在任意的x处都成立 必须 代入 即得应力函数的解答 其中已略去了与应力无关的一次式 4 由应力函数求解应力分量 将代入式 2 24 注意 体力求得应力分量为 考察边界条件 主要边界上 有 得 得 得 由上式得到 求解各系数 由 得 得 得 得 由此得 又有 代入A 得 在次要边界 小边界 x 0上 列出三个积分的边界条件 由式 g h 解出 代入应力分量的表达式得最后的应力解答 例题3 已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数 解 作为应力函数 必须首先满足相容方程 将代入 a 其中A 0 才可能成为应力函数 b 必须满足3 A E C 0 才可能成为应力函数 图中所示的矩形截面柱体 在顶部受有集中力F和力矩的作用 试用应力函数 例题4 求解图示问题的应力及位移 设在A点的位移和转角均为零 解 应用应力函数求解 1 校核相容方程 满足 2 求应力分量 在无体力时 得 3 考察主要边界条件 均已满足 考察次要边界条件 在y 0上 满足 得 得 上述应力已满足了和全部边界条件 因而是上述问题的解 代入 得应力的解答 4 求应变分量 5 求位移分量 将u v代入几何方程的第三式 两边分离变量 并全都等于常数 即 从上式分别积分 求出 代入u v 得 再由刚体约束条件 得 得 得 代入u v 得到位移分量的解答 在顶点x y 0 例题5 图中矩形截面的简支梁上 作用有三角形分布荷载 试用下列应力函数 求解应力分量 解 应用上述应力函数求解 1 将代入相容方程 由此 2 代入应力公式 在无体力下 得 3 考察主要边界条件 对于任意的x值 上式均满足 由此得 a b c d 由 3 4 得 由 3 4 得 由 5 1 得 e 4 考察小边界上的边界条件 x 0 由 得 由式 2 和 6 解出 f 另两个积分的边界条件 显然是满足的 于是将各系数代入应力表达式 得最后的应力解答 读者试校核在x l的小边界上 下列条件是满足的 例题6 矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用 不计体力 试用应力函数 求解其应力分量 M q q h y x o b 2 b 2 解 应用上述应力函数求解 1 代入相容方程 2 求应力