初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-

第 1 页 共 64 页 初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题 含解析含解析 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 小题 1 直角三角形两直角边长度为 5 12 则斜边上的高 A 6B 8C D 2 下列说法中正确的是 A 已知 a b c 是三角形的三边 则 a2 b2 c2 B 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C 在 Rt ABC 中 C 90 所以 a2 b2 c2 D 在 Rt ABC 中 B 90 所以 a2 b2 c2 3 如图 是台阶的示意图 已知每个台阶的宽度都是 30cm 每个台阶的高度 都是 15cm 连接 AB 则 AB 等于 A 195cmB 200cmC 205cmD 210cm 4 如图 在水池的正中央有一根芦苇 池底长 10 尺 它高出水而 1 尺 如果 把这根芦苇拉向水池一边 它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 A 10 尺B 11 尺C 12 尺D 13 尺 5 如图所示 在数轴上点 A 所表示的数为 a 则 a 的值为 第 2 页 共 64 页 A 1 B 1 C D 1 6 一架 2 5 米长的梯子底部距离墙脚 0 7 米 若梯子的顶端下滑 0 4 米 那么 梯子的底部在水平方向滑动了 A 1 5 米B 0 9 米C 0 8 米D 0 5 米 7 在 ABC 中 ACB 90 AC 12 BC 5 AM AC BN BC 则 MN 的长为 A 2B 2 6 C 3D 4 8 如图 是 2002 年北京第 24 届国际数学家大会会徽 由 4 个全等的直角三角 形拼合而成 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的 短直角边为 a 较长直角边为 b 那么 a b 2的值为 A 13B 19C 25D 169 第 3 页 共 64 页 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 9 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如 图所示 设筷子露在杯子外面的长度为 hcm 则 h 的取值范围是 10 如图 一场暴雨过后 垂直于地面的一棵树在距地面 1 米的点 C 处折断 树尖 B 恰好碰到地面 经测量 AB 2 米 则树高为 米 11 已知 Rt ABC 中 C 90 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积等于 12 观察下列勾股数 第一组 3 2 1 1 4 2 1 1 1 5 2 1 1 1 1 第二组 5 2 2 1 12 2 2 2 1 13 2 2 2 1 1 第三组 7 2 3 1 24 2 3 3 1 25 2 3 3 1 1 第四组 9 2 4 1 40 2 4 4 1 41 2 4 4 1 1 观察以上各组勾股数组成特点 第 7 组勾股数是 只填数 不填等式 13 观察下列一组数 列举 3 4 5 猜想 32 4 5 列举 5 12 13 猜想 52 12 13 列举 7 24 25 猜想 72 24 25 列举 13 b c 猜想 132 b c 请你分析上述数据的规律 结合相关知识求得 b c 三 解答题 共三 解答题 共 27 小题 小题 第 4 页 共 64 页 14 a b c 为三角形 ABC 的三边 且满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判别 这个三角形的形状 15 如图 四边形 ABCD 中 AB CB CD DA 1 且 AB CB 于 B 试求 1 BAD 的度数 2 四边形 ABCD 的面积 16 如图 小华准备在边长为 1 的正方形网格中 作一个三边长分别为 4 5 的三角形 请你帮助小华作出来 17 如图所示 在一次夏令营活动中 小明坐车从营地 A 点出发 沿北偏东 60 方向走了 100km 到达 B 点 然后再沿北偏西 30 方向走了 100km 到达目 的地 C 点 求出 A C 两点之间的距离 18 如图 在气象站台 A 的正西方向 320km 的 B 处有一台风中心 该台风中心 以每小时 20km 的速度沿北偏东 60 的 BD 方向移动 在距离台风中心 200km 内 的地方都要受到其影响 1 台风中心在移动过程中 与气象台 A 的最短距离是多少 第 5 页 共 64 页 2 台风中心在移动过程中 气象台将受台风的影响 求台风影响气象台的时 间会持续多长 19 如图 已知 ABC 中 B 90 AB 8cm BC 6cm P Q 分别为 AB BC 边上的动点 点 P 从点 A 开始沿 A B 方向运动 且速度为每秒 1cm 点 Q 从 点 B 开始 B C 方向运动 且速度为每秒 2cm 它们同时出发 设出发的时间为 t 秒 1 出发 2 秒后 求 PQ 的长 2 从出发几秒钟后 PQB 能形成等腰三角形 3 在运动过程中 直线 PQ 能否把原三角形周长分成相等的两部分 若能够 请求出运动时间 若不能够 请说明理由 20 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形 的面积 小华同学在解答这道题时 先画一个正方形网格 每个小正方形的边 长为 1 再在网格中画出格点 ABC 即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点 处 如图 1 所示 这样不需求 ABC 的高 而借用网格就能计算出它的面 积 这种方法叫做构图法 1 ABC 的面积为 2 若 DEF 三边的长分别为 请在图 2 的正方形网格中画出相 应的 DEF 并利用构图法求出它的面积为 3 如图 3 ABC 中 AG BC 于点 G 以 A 为直角顶点 分别以 AB AC 为 第 6 页 共 64 页 直角边 向 ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 Rt ACF 过点 E F 作射线 GA 的 垂线 垂足分别为 P Q 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系 并证明你的结论 4 如图 4 一个六边形的花坛被分割成 7 个部分 其中正方形 PRBA RQDC QPFE 的面积分别为 13m2 25m2 36m2 则六边形花坛 ABCDEF 的面积是 m2 21 1 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三 角形的面积 如图 1 某同学在解答这道题时 先建立一个每个小正方形的边长都是 1 的网 格 再在网格中画出边长符合要求的格点三角形 ABC 即 ABC 三个顶点都在 小正方形的顶点处 这样不需要求 ABC 的高 而借用网格就能就算出它的面 积 请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 思维拓展 2 已知 ABC 三边的长分别为a a 0 求这个三角形 的面积 我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法 如图 2 网格中每个小正方形的 边长都是 a 请在网格中画出相应的 ABC 并求出它的面积 类比创新 3 若 ABC 三边的长分别为 m 0 n 0 且 m n 求出这个三角 形的面积 如图 3 网格中每个小长方形长 宽都是 m n 请在网格中画出相应的 第 7 页 共 64 页 ABC 用网格计算这个三角形的面积 22 有一只喜鹊在一棵 3m 高的小树上觅食 它的巢筑在距离该树 24m 的一棵 大树上 大树高 14m 且巢离树顶部 1m 当它听到巢中幼鸟的叫声 立即赶 过去 如果它飞行的速度为 5m s 那它至少需要多少时间才能赶回巢中 23 拓展创新 在教材中 我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关 系 利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确 性 问题 1 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形 探究 S S 与 S 的关系 如图 1 问题 2 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形 探究 S S 与 S 的关系 如图 2 问题 3 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆 探究 S S 与 S 的关系 如 图 3 24 如图 在平面坐标系中 点 A 点 B 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 且 OA OB 另有两点 C a b 和 D b a a b 均大于 0 第 8 页 共 64 页 1 连接 OD CD 求证 ODC 45 2 连接 CO CB CA 若 CB 1 C0 2 CA 3 求 OCB 的度数 3 若 a b 在线段 OA 上有一点 E 且 AE 3 CE 5 AC 7 求 OCA 的面 积 25 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 鸟儿捉鱼 的问题 小溪边长着两棵棕榈树 恰好隔岸相望 一棵树高是 30 肘尺 肘尺是古代的 长度单位 另外一棵高 20 肘尺 两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺 每棵 树的树顶上都停着一只鸟 忽然 两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条 鱼 它们立刻飞去抓鱼 并且同时到达目标 问这条鱼出现的地方离开比较高 的棕榈树的树根有多远 26 1 先化简 再求值 x x 2 x 1 x 1 其中 x 10 2 已知 求代数式 x 1 2 4 x 1 4 的值 3 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 请在给定的网格中按要求画图 从点 A 出发在图中画一条线段 AB 使得 AB 画出一个以 1 中的 AB 为斜边的等腰直角三角形 使三角形的三个顶点都 在格点上 并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长 27 问题情境 第 9 页 共 64 页 勾股定理是一条古老的数学定理 它有很多种证明方法 我国汉代数学家赵爽 根据弦图 利用面积法进行证明 著名数学家华罗庚曾提出把 数学关系 勾 股定理 带到其它星球 作为地球人与其他星球 人 进行第一次 谈话 的语言 定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础 将两个直角边长为 a b 斜边长为 c 的三角形按如图所示的方式放置 连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶 点 如图 2 请你利用图 2 验证勾股定理 知识扩展 利用图 2 中的直角梯形 我们可以证明 其证明步骤如下 BC a b AD 又 在直角梯形 ABCD 中 有 BCAD 填大小关系 即 28 观察 思考与验证 1 如图 1 是一个重要公式的几何解释 请你写出这个公式 2 如图 2 所示 B D 90 且 B C D 在同一直线上 试说明 ACE 90 3 伽菲尔德 1881 年任美国第 20 届总统 利用 1 中的公式和图 2 证明 了勾股定理 发表在 1876 年 4 月 1 日的 新英格兰教育日志 上 请你写出 验证过程 第 10 页 共 64 页 29 超速行驶容易引发交通事故 如图 某观测点设在到公路 l 的距离为 100 米的点 P 处 一辆汽车由西向东匀速驶来 测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的 时间为 3 秒 并测得 APO 60 BPO 45 是判断此车是否超过了每小时 80 千米的限制速度 参考数据 1 41 1 73 30 中日钓鱼岛争端持续 我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度 如图 OA OB OA 45 海里 OB 15 海里 钓鱼岛位于 O 点 我国海监船在点 B 处 发现有一不明国籍的渔船 自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O 我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船 结果 在点 C 处截住了渔船 1 请用直尺和圆规作出 C 处的位置 2 求我国海监船行驶的航程 BC 的长 31 在一次 构造勾股数 的探究性学习中 老师给出了下表 m2 3 3 4 n 1 1 2 3 a 22 1232 12 32 2242 32 第 11 页 共 64 页 b 46 1224 c 22 1232 1232 22 42 32 其中 m n 为正整数 且 m n 1 观察表格 当 m 2 n 1 时 此时对应的 a b c 的值能否为直角三角形 三边的长 说明你的理由 2 探究 a b c 与 m n 之间的关系并用含 m n 的代数式表示 a b c 3 以 a b c 为边长的三角形是否一定为直角三角形 如果是 请说明理由 如果不是 请举出反例 32 如图 1 在 4 8 的网格纸中 每个小正方形的边长都为 1 动点 P Q 分 别从点 D A 同时出发向右移动 点 P 的运动速度为每秒 1 个单位 点 Q 的运 动速度为每秒 0 5 个单位 当点 P 运动到点 C 时 两个点都停止运动 设运动 时间为 t 0 t 8 1 请在 4 8 的网格纸图 2 中画出 t 为 6 秒时的线段 PQ 并求其长度 2 当 t 为多少时 PQB 是以 BP 为底的等腰三角形 33 阅读下面的情景对话 然后解答问题 第 12 页 共 64 页 1 理解 根据 奇异三角形 的定义 请你判断 等边三角形一定是奇异三角形 吗 填是或不是 若某三角形的三边长分别为 1 2 则该三角形 是或不是 奇异三 角形 2 探究 若 Rt ABC 是奇异三角形 且其两边长分别为 2 2 则第三边的长为 且这个直角三角形的三边之比为 从小到大排列 不得含有分母 3 设问 请提出一个和奇异三角形有关的问题 不用解答 34 观察下列各式 你有什么发现 32 4 5 52 12 13 72 24 25 92 40 41 用你的发现解决下列问题 1 填空 112 2 请用含字母 n n 为正整数 的关系式表示出你发现的规律 3 结合勾股定理有关知识 说明你的结论的正确性 35 小明爸爸给小明出了一道题 如图 修公路 AB 遇到一座山 于是要修一 条隧道 BC 已知 A B C 在同一条直线上 为了在小山的两侧 B C 同时施 工 过点 B 作一直线 m 在山的旁边经过 过点 C 作一直线 l 与 m 相交于 D 点 经测量 ABD 130 D 40 BD 1000 米 CD 800 米 若施工队每天挖 100 米 求施工队几天能挖完 36 如图 把一块等腰直角三角形零件 ABC 其中 ACB 90 放置在一 第 13 页 共 64 页 凹槽内 三个顶点 A B C 分别落在凹槽内壁上 已知 ADE BED 90 测 得 AD 5cm BE 7cm 求该三角形零件的面积 37 如图 四边形 ABCD 的三边 AB BC CD 和 BD 的长度都为 5 厘米 动 点 P 从 A 出发 A B D 到 D 速度为 2 厘米 秒 动点 Q 从点 D 出发 D C B A 到 A 速度为 2 8 厘米 秒 5 秒后 P Q 相距 3 厘米 试确定 5 秒时 APQ 的形状 38 一艘轮船以 20 海里 时的速度由西向东航行 在途中接到台风警报 台风 中心正以 40 海里 时的速度由南向北移动 距台风中心 20 海里的圆形区域 包 括边界 都属于台风区域 当轮船到 A 处时测得台风中心移到位于点 A 正南方 的 B 处 且 AB 100 海里 若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行 在途中是否 会遇到台风 若会 则求出轮船最初遇到台风的时间 若不会 请说明理由 39 明朝数学家程大位在他的著作 算法统宗 中写了一首计算秋千绳索长度 的词 西江月 平地秋千未起 踏板一尺离地 送行二步恰竿齐 五尺板高 第 14 页 共 64 页 离地 翻译成现代文为 如图 秋千 OA 静止的时候 踏板离地高一尺 AC 1 尺 将它往前推进两步 EB 10 尺 此时踏板升高离地五尺 BD 5 尺 求 秋千绳索 OA 或 OB 的长度 40 如图 AOB 90 OA 45cm OB 15cm 一机器人在点 B 处看见一个小球 从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O 机器人立即从点 B 出发 沿直线匀速 前进拦截小球 恰好在点 C 处截住了小球 如果小球滚动的速度与机器人行走 的速度相等 那么机器人行走的路程 BC 是多少 1 已知直角三角形两边的长为 3 和 4 则此三角形的周长为 A 12B 7 C 12 或 7 D 以上都不对 2 图中字母所代表的正方形的面积为 144 的选项为 A B C D 3 如图 数轴上的点 A 所表示的数为 x 则 x 的值为 第 15 页 共 64 页 A B C 2D 2 4 如图 带阴影的正方形面积是 5 如图 在 Rt ABC 中 BCA 90 点 D 是 BC 上一点 AD BD 若 AB 8 BD 5 则 CD 6 正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1 每个小格的顶点叫做格点 以 格点为顶点 1 在图 中 画一个面积为 10 的正方形 2 在图 图 中 分别画两个不全等的直角三角形 使它们的三边长都是 无理数 第 16 页 共 64 页 第 17 页 共 64 页 初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题 含解析含解析 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 小题 1 2016 秋 吴江区期中 直角三角形两直角边长度为 5 12 则斜边上的高 A 6B 8C D 分析 首先根据勾股定理 得 斜边 13 再根据直角三角形的面 积公式 求出斜边上的高 解答 解 由题意得 斜边为 13 所以斜边上的高 12 5 13 故选 D 点评 运用了勾股定理 注意 直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘 积除以斜边 2 2016 春 抚顺县期中 下列说法中正确的是 A 已知 a b c 是三角形的三边 则 a2 b2 c2 B 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C 在 Rt ABC 中 C 90 所以 a2 b2 c2 D 在 Rt ABC 中 B 90 所以 a2 b2 c2 分析 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和 且斜边对 角为直角 根据此就可以直接判断 A B C D 选项 解答 解 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和 且斜 边对角为直角 A 不确定 c 是斜边 故本命题错误 即 A 选项错误 第 18 页 共 64 页 B 不确定第三边是否是斜边 故本命题错误 即 B 选项错误 C C 90 所以其对边为斜边 故本命题正确 即 C 选项正确 D B 90 所以斜边为 b 所以 a2 c2 b2 故本命题错误 即 D 选项错误 故选 C 点评 本题考查了勾股定理的正确运用 只有斜边的平方才等于其他两边的 平方和 3 2016 春 临沭县期中 如图 是台阶的示意图 已知每个台阶的宽度都是 30cm 每个台阶的高度都是 15cm 连接 AB 则 AB 等于 A 195cmB 200cmC 205cmD 210cm 分析 作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾 股定理求得斜边 AB 的长 解答 解 如图 由题意得 AC 15 5 75cm BC 30 6 180cm 故 AB 195cm 故选 A 点评 本题考查了勾股定理的应用 解题的关键是从实际问题中抽象出直角 三角形 难度不大 4 2015 春 青山区期中 如图 在水池的正中央有一根芦苇 池底长 10 尺 它高出水而 1 尺 如果把这根芦苇拉向水池一边 它的顶端恰好到达池边的水 面则这根芦苇的长度是 第 19 页 共 64 页 A 10 尺B 11 尺C 12 尺D 13 尺 分析 找到题中的直角三角形 设水深为 x 尺 根据勾股定理解答 解答 解 设水深为 x 尺 则芦苇长为 x 1 尺 根据勾股定理得 x2 2 x 1 2 解得 x 12 芦苇的长度 x 1 12 1 13 尺 故选 D 点评 本题考查正确运用勾股定理 善于观察题目的信息是解题以及学好数 学的关键 5 2016 春 南陵县期中 如图所示 在数轴上点 A 所表示的数为 a 则 a 的值 为 A 1 B 1 C D 1 分析 点 A 在以 O 为圆心 OB 长为半径的圆上 所以在直角 BOC 中 根 据勾股定理求得圆 O 的半径 OA OB 然后由实数与数轴的关系可以求得 a 的值 解答 解 如图 点 A 在以 O 为圆心 OB 长为半径的圆上 在直角 BOC 中 OC 2 BC 1 则根据勾股定理知 OB 第 20 页 共 64 页 OA OB a 1 故选 A 点评 本题考查了勾股定理 实数与数轴 找出 OA OB 是解题的关键 6 2015 春 蓟县期中 一架 2 5 米长的梯子底部距离墙脚 0 7 米 若梯子的顶 端下滑 0 4 米 那么梯子的底部在水平方向滑动了 A 1 5 米B 0 9 米C 0 8 米D 0 5 米 分析 先根据梯子的顶端下滑了 0 4 米求出 A C 的长 再根据勾股定理求出 B C 的长 进而可得出结论 解答 解 1 在 Rt ABC 中 AB 2 5m BC 0 7m AC 2 4 m 梯子的顶端下滑了 0 4 米 A C 2m 在 Rt A B C 中 A B 2 5m A C 2m B C 1 5m BB B C BC 1 5 0 7 0 8m 故选 C 第 21 页 共 64 页 点评 此题主要考查了勾股定理的应用 关键是掌握勾股定理 在任何一个 直角三角形中 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 7 2015 春 罗田县期中 在 ABC 中 ACB 90 AC 12 BC 5 AM AC BN BC 则 MN 的长为 A 2B 2 6 C 3D 4 分析 根据勾股定理求出 AB 的长即可解答 解答 解 在 Rt ABC 中 根据勾股定理 AB 13 又 AC 12 BC 5 AM AC BN BC AM 12 BN 5 MN AM BN AB 12 5 13 4 故选 D 点评 本题综合考查了勾股定理的应用 找到关系 MN AM BN AB 是关键 8 2016 春 重庆校级期中 如图 是 2002 年北京第 24 届国际数学家大会会 徽 由 4 个全等的直角三角形拼合而成 如果大正方形的面积是 13 小正方形 的面积是 1 直角三角形的短直角边为 a 较长直角边为 b 那么 a b 2的值 为 第 22 页 共 64 页 A 13B 19C 25D 169 分析 根据勾股定理 知两条直角边的平方等于斜边的平方 此题中斜边的 平方即为大正方形的面积 13 2ab 即四个直角三角形的面积和 从而不难求得 a b 2的值 解答 解 a b 2 a2 b2 2ab 大正方形的面积 四个直角三角形的面积和 13 13 1 25 故选 C 点评 考查了勾股定理的证明 注意完全平方公式的展开 a b 2 a2 b2 2ab 还要注意图形的面积和 a b 之间的关系 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 9 2016 春 固始县期中 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子露在杯子外面的长度为 hcm 则 h 的 取值范围是 7cm h 16cm 分析 如图 当筷子的底端在 A 点时 筷子露在杯子外面的长度最短 当筷 子的底端在 D 点时 筷子露在杯子外面的长度最长 然后分别利用已知条件根 第 23 页 共 64 页 据勾股定理即可求出 h 的取值范围 解答 解 如图 当筷子的底端在 D 点时 筷子露在杯子外面的长度最长 h 24 8 16cm 当筷子的底端在 A 点时 筷子露在杯子外面的长度最短 在 Rt ABD 中 AD 15 BD 8 AB 17 此时 h 24 17 7cm 所以 h 的取值范围是 7cm h 16cm 故答案为 7cm h 16cm 点评 本题考查了勾股定理的应用 求出 h 的值最大值与最小值是解题关 键 10 2015 春 汕头校级期中 如图 一场暴雨过后 垂直于地面的一棵树在距 地面 1 米的点 C 处折断 树尖 B 恰好碰到地面 经测量 AB 2 米 则树高为 1 米 分析 根据题意利用勾股定理得出 BC 的长 进而得出答案 解答 解 由题意得 在直角 ABC 中 AC2 AB2 BC2 则 12 22 BC2 BC 第 24 页 共 64 页 则树高为 1 m 故答案为 1 点评 此题主要考查了勾股定理的应用 熟练利用勾股定理得出 BC 的长是解 题关键 11 2016 春 高安市期中 已知 Rt ABC 中 C 90 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积等于 24cm2 分析 利用勾股定理列出关系式 再利用完全平方公式变形 将 a b 与 c 的 值代入求出 ab 的值 即可确定出直角三角形的面积 解答 解 Rt ABC 中 C 90 a b 14cm c 10cm 由勾股定理得 a2 b2 c2 即 a b 2 2ab c2 100 196 2ab 100 即 ab 48 则 Rt ABC 的面积为ab 24 cm2 故答案为 24cm2 点评 此题考查了勾股定理 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 12 2016 春 嘉祥县期中 观察下列勾股数 第一组 3 2 1 1 4 2 1 1 1 5 2 1 1 1 1 第二组 5 2 2 1 12 2 2 2 1 13 2 2 2 1 1 第三组 7 2 3 1 24 2 3 3 1 25 2 3 3 1 1 第四组 9 2 4 1 40 2 4 4 1 41 2 4 4 1 1 观察以上各组勾股数组成特点 第 7 组勾股数是 15 112 113 只填数 不填等式 分析 通过观察 得出规律 这类勾股数分别为 2n 1 2n n 1 2n n 1 1 由此可写出第 7 组勾股数 解答 解 第 1 组 3 2 1 1 4 2 1 1 1 5 2 1 1 1 1 第 2 组 5 2 2 1 12 2 2 2 1 13 2 2 2 1 1 第 3 组 7 2 3 1 24 2 3 3 1 25 2 3 3 1 1 第 25 页 共 64 页 第 4 组 9 2 4 1 40 2 4 4 1 41 2 4 4 1 1 第 7 组勾股数是 2 7 1 15 2 7 7 1 112 2 7 7 1 1 113 即 15 112 113 故答案为 15 112 113 点评 此题考查的知识点是勾股数 属于规律性题目 关键是通过观察找出 规律求解 13 2009 春 武昌区期中 观察下列一组数 列举 3 4 5 猜想 32 4 5 列举 5 12 13 猜想 52 12 13 列举 7 24 25 猜想 72 24 25 列举 13 b c 猜想 132 b c 请你分析上述数据的规律 结合相关知识求得 b 84 c 85 分析 认真观察三个数之间的关系 首先发现每一组的三个数为勾股数 第 一个数为从 3 开始连续的奇数 第二 三个数为连续的自然数 进一步发现第 一个数的平方是第二 三个数的和 最后得出第 n 组数为 2n 1 由此规律解决问题 解答 解 在 32 4 5 中 4 5 在 52 12 13 中 12 13 则在 13 b c 中 b 84 c 85 点评 认真观察各式的特点 总结规律是解题的关键 三 解答题 共三 解答题 共 27 小题 小题 14 2016 春 黄冈期中 a b c 为三角形 ABC 的三边 且满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判别这个三角形的形状 分析 现对已知的式子变形 出现三个非负数的平方和等于 0 的形式 求出 第 26 页 共 64 页 a b c 再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可 解答 解 由 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 得 a2 10a 25 b2 24b 144 c2 26c 169 0 即 a 5 2 b 12 2 c 13 2 0 由非负数的性质可得 解得 52 122 169 132 即 a2 b2 c2 C 90 即三角形 ABC 为直角三角形 点评 本题考查勾股定理的逆定理的应用 完全平方公式 非负数的性 质 判断三角形是否为直角三角形 已知三角形三边的长 只要利用勾股定理 的逆定理加以判断即可 15 2016 秋 永登县期中 如图 四边形 ABCD 中 AB CB CD DA 1 且 AB CB 于 B 试求 1 BAD 的度数 2 四边形 ABCD 的面积 分析 连接 AC 则在直角 ABC 中 已知 AB BC 可以求 AC 根据 AC AD CD 的长可以判定 ACD 为直角三角形 1 根据 BAD CAD BAC 可以求解 2 根据四边形 ABCD 的面积为 ABC 和 ACD 的面积之和可以解题 第 27 页 共 64 页 解答 解 1 连接 AC AB CB 于 B B 90 在 ABC 中 B 90 AB2 BC2 AC2 又 AB CB AC 2 BAC BCA 45 CD DA 1 CD2 5 DA2 1 AC2 4 AC2 DA2 CD2 由勾股定理的逆定理得 DAC 90 BAD BAC DAC 45 90 135 2 DAC 90 AB CB 于 B S ABC S DAC AB CB DA 1 AC 2 S ABC 1 S DAC 1 而 S四边形 ABCD S ABC S DAC S四边形 ABCD 2 点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 考查了根据勾股定理逆 第 28 页 共 64 页 定理判定直角三角形 考查了直角三角形面积的计算 本题中求证 ACD 是直 角三角形是解题的关键 16 2016 春 邹城市校级期中 如图 小华准备在边长为 1 的正方形网格中 作一个三边长分别为 4 5 的三角形 请你帮助小华作出来 分析 直接利用网格结合勾股定理求出答案 解答 解 如图所示 ABC 即为所求 点评 此题主要考查了勾股定理 正确借助网格求出是解题关键 17 2015 春 平南县期中 如图所示 在一次夏令营活动中 小明坐车从营地 A 点出发 沿北偏东 60 方向走了 100km 到达 B 点 然后再沿北偏西 30 方向 走了 100km 到达目的地 C 点 求出 A C 两点之间的距离 分析 根据所走的方向可判断出 ABC 是直角三角形 根据勾股定理可求出 解 第 29 页 共 64 页 解答 解 AD BE ABE DAB 60 CBE 30 ABC 180 ABE CBE 180 60 30 90 在 Rt ABC 中 200 A C 两点之间的距离为 200km 点评 本题考查勾股定理的应用 先确定是直角三角形后 根据各边长 用 勾股定理可求出 AC 的长 且求出 DAC 的度数 进而可求出点 C 在点 A 的什 么方向上 18 2015 秋 新泰市期中 如图 在气象站台 A 的正西方向 320km 的 B 处有 一台风中心 该台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60 的 BD 方向移动 在距离台风中心 200km 内的地方都要受到其影响 1 台风中心在移动过程中 与气象台 A 的最短距离是多少 2 台风中心在移动过程中 气象台将受台风的影响 求台风影响气象台的时 间会持续多长 分析 1 过 A 作 AE BD 于 E 线段 AE 的长即为台风中心与气象台 A 的最 短距离 由含 30 角的直角三角形的性质即可得出结果 2 根据题意得出线段 CD 就是气象台 A 受到台风影响的路程 求出 CD 的长 即可得出结果 解答 解 1 过 A 作 AE BD 于 E 如图 1 所示 第 30 页 共 64 页 台风中心在 BD 上移动 AE 的长即为气象台距离台风中心的最短距离 在 Rt ABE 中 ABE 90 60 30 AE AB 160 即台风中心在移动过程中 与气象台 A 的最短距离是 160km 2 台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60 的 BD 方向移动 在距离台 风中心 200km 内的地方都要受到其影响 线段 CD 就是气象台 A 受到台风影响的路程 连接 AC 如图 2 所示 在 Rt ACE 中 AC 200km AE 160km CE 120km AC AD AE CD CE ED 120km CD 240km 台风影响气象台的时间会持续 240 20 12 小时 第 31 页 共 64 页 点评 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用 垂径定理 含 30 角的直角 三角形的性质等知识 熟练掌握垂径定理和勾股定理 求出 CD 是解决问题 2 的关键 19 2015 春 阳东县期中 如图 已知 ABC 中 B 90 AB 8cm BC 6cm P Q 分别为 AB BC 边上的动点 点 P 从点 A 开始沿 A B 方向运动 且速度为每秒 1cm 点 Q 从点 B 开始 B C 方向运动 且速度为每 秒 2cm 它们同时出发 设出发的时间为 t 秒 1 出发 2 秒后 求 PQ 的长 2 从出发几秒钟后 PQB 能形成等腰三角形 3 在运动过程中 直线 PQ 能否把原三角形周长分成相等的两部分 若能够 请求出运动时间 若不能够 请说明理由 分析 1 我们求出 BP BQ 的长 用勾股定理解决即可 2 PQB 形成等腰三角形 即 BP BQ 我们可设时间为 t 列出方程 2t 8 1 t 解方程即得结果 3 直线 PQ 把原三角形周长分成相等的两部分 根据勾股定理可知 AC 10cm 即三角形的周长为 24cm 则有 BP BQ 12 即 2t 8 1 t 12 解 方程即可 第 32 页 共 64 页 解答 解 1 出发 2 秒后 AP 2 BQ 4 BP 8 2 6 PQ 2 3 分 2 设时间为 t 列方程得 2t 8 1 t 解得 t 6 分 3 假设直线 PQ 能把原三角形周长分成相等的两部分 由 AB 8cm BC 6cm 根据勾股定理可知 AC 10cm 即三角形的周长为 8 6 10 24cm 则有 BP BQ 24 12 设时间为 t 列方程得 2t 8 1 t 12 解得 t 4 当 t 4 时 点 Q 运动的路程是 4 2 8 6 所以直线 PQ 不能够把原三角形周长分成相等的两部分 10 分 点评 本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力 综合性较强 20 2014 秋 江阴市期中 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积 小华同学在解答这道题时 先画一个正方形 网格 每个小正方形的边长为 1 再在网格中画出格点 ABC 即 ABC 三个 顶点都在小正方形的顶点处 如图 1 所示 这样不需求 ABC 的高 而借用网 格就能计算出它的面积 这种方法叫做构图法 1 ABC 的面积为 3 5 2 若 DEF 三边的长分别为 请在图 2 的正方形网格中画出相 应的 DEF 并利用构图法求出它的面积为 3 3 如图 3 ABC 中 AG BC 于点 G 以 A 为直角顶点 分别以 AB AC 为 直角边 向 ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 Rt ACF 过点 E F 作射线 GA 的 第 33 页 共 64 页 垂线 垂足分别为 P Q 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系 并证明你的结论 4 如图 4 一个六边形的花坛被分割成 7 个部分 其中正方形 PRBA RQDC QPFE 的面积分别为 13m2 25m2 36m2 则六边形花坛 ABCDEF 的面积是 110 m2 分析 1 利用 ABC 所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面 积 计算即可得解 2 根据网格结构和勾股定理作出 DEF 再利用 DEF 所在的矩形的面积减 去四周三个小直角三角形的面积 计算即可得解 3 利用同角的余角相等求出 BAG AEP 然后利用 角角边 证明 ABG 和 EAP 全等 同理可证 ACG 和 FAQ 全等 根据全等三角形对应边相等可得 EP AG FQ 4 过 R 作 RH PQ 于 H 设 PH h 在 Rt PRH 和 Rt RQH 中 利用勾股定 理列式表示出 PQ 然后解无理方程求出 h 从而求出 PQR 的面积 再根据六 边形被分成的四个三角形的面积相等 总面积等于各部分的面积之和列式计算 即可得解 解答 解 1 ABC 的面积 3 3 2 1 3 1 2 3 9 1 1 5 3 9 5 5 3 5 2 DEF 如图 2 所示 第 34 页 共 64 页 面积 2 4 1 2 2 2 1 4 8 1 2 2 8 5 3 3 ABE 是等腰直角三角形 AB AE BAE 90 PAE BAG 180 90 90 又 AEP PAE 90 BAG AEP 在 ABG 和 EAP 中 ABG EAP AAS 同理可证 ACG FAQ EP AG FQ 4 如图 4 过 R 作 RH PQ 于 H 设 RH h 在 Rt PRH 中 PH 在 Rt RQH 中 QH PQ 6 6 两边平方得 25 h2 36 12 13 h2 整理得 2 两边平方得 13 h2 4 第 35 页 共 64 页 解得 h 3 S PQR 6 3 9 六边形花坛 ABCDEF 的面积 25 13 36 4 9 74 36 110m2 故答案为 1 3 5 2 3 4 110 点评 本题考查了勾股定理 构图法求三角形的面积 全等三角形的判定与 性质 读懂题目信息 理解构图法的操作方法是解题的关键 21 2016 春 周口期中 1 在 ABC 中 AB BC AC 三边的长分别为 求这个三角形的面积 如图 1 某同学在解答这道题时 先建立一个每个小正方形的边长都是 1 的网 格 再在网格中画出边长符合要求的格点三角形 ABC 即 ABC 三个顶点都在 小正方形的顶点处 这样不需要求 ABC 的高 而借用网格就能就算出它的面 积 请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 3 5 思维拓展 2 已知 ABC 三边的长分别为a a 0 求这个三角形 的面积 第 36 页 共 64 页 我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法 如图 2 网格中每个小正方形的 边长都是 a 请在网格中画出相应的 ABC 并求出它的面积 类比创新 3 若 ABC 三边的长分别为 m 0 n 0 且 m n 求出这个三角 形的面积 如图 3 网格中每个小长方形长 宽都是 m n 请在网格中画出相应的 ABC 用网格计算这个三角形的面积 分析 1 根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算即可 2 根据勾股定理在网格中画出相应的 ABC 根据矩形的面积公式和三角形 的面积公式求出它的面积 3 根据勾股定理在网格中画出相应的 ABC 根据矩形的面积公式和三角形 的面积公式求出它的面积 解答 解 1 ABC 的面积 2 4 1 2 1 4 1 3 3 5 故答案为 3 5 2 如图 2 ABC 的面积 3a 4a 3a 2a a 4a 2a 2a 5a2 3 如图 3 ABC 的面积 4m 4n m 4n 3m n 4m 3n 6 5mn 第 37 页 共 64 页 点评 本题考查的是勾股定理的应用 掌握在任何一个直角三角形中 两条 直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键 22 2015 春 罗田县期中 有一只喜鹊在一棵 3m 高的小树上觅食 它的巢筑 在距离该树 24m 的一棵大树上 大树高 14m 且巢离树顶部 1m 当它听到巢 中幼鸟的叫声 立即赶过去 如果它飞行的速度为 5m s 那它至少需要多少时 间才能赶回巢中 分析 根据题意 构建直角三角形 利用勾股定理解答 解答 解 如图 由题意知 AB 3 CD 14 1 13 BD 24 过 A 作 AE CD 于 E 则 CE 13 3 10 AE 24 在 Rt AEC 中 AC2 CE2 AE2 102 242 AC 26 26 5 5 2 s 第 38 页 共 64 页 点评 本题考查正确运用勾股定理 善于观察题目的信息是解题以及学好数 学的关键 23 2014 春 镇原县校级期中 拓展创新 在教材中 我们通过数格子的方 法发现了直角三角形的三边关系 利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的 方式验证了勾股定理的正确性 问题 1 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形 探究 S S 与 S 的关系 如图 1 问题 2 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形 探究 S S 与 S 的关系 如图 2 问题 3 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆 探究 S S 与 S 的关系 如 图 3 分析 这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式 运用等 式的性质即可得到相同的结论 解答 解 探究 1 由等边三角形的性质知 S a2 S b2 S c2 则 S S a2 b2 因为 a2 b2 c2 所以 S S S 探究 2 由等腰直角三角形的性质知 S a2 S b2 S c2 则 S S a2 b2 因为 a2 b2 c2 所以 S S S 探究 3 由圆的面积计算公式知 S a2 S b2 S c2 第 39 页 共 64 页 则 S S a2 b2 因为 a2 b2 c2 所以 S S S 点评 熟悉各种图形的面积公式 结合勾股定理 运用等式的性质进行变 形 24 2014 春 三水区校级期中 如图 在平面坐标系中 点 A 点 B 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 且 OA OB 另有两点 C a b 和 D b a a b 均大 于 0 1 连接 OD CD 求证 ODC 45 2 连接 CO CB CA 若 CB 1 C0 2 CA 3 求 OCB 的度数 3 若 a b 在线段 OA 上有一点 E 且 AE 3 CE 5 AC 7 求 OCA 的面 积 分析 1 过 C 点 D 点向 x 轴 y 轴作垂线 运用勾股定理计算 结合全等 可证 2 连接 DA 证 OCB ODA SAS 可得 AD CB 1 而 OC OD 2 故 CD 根据勾股定理逆定理可证 ADC 90 易得 OCB ODA 135 3 作 CF OA F 为垂足 有 CF2 CE2 EF2 CF2 CA2 AF2 CA2 AE EF 2 设 EF x 列出关于 x 的方程 求得 x 再在 Rt CEF 中 根据勾股定理求得 CF 然后由三角形的面积公式即可求解 解答 1 证明 过 C 点 D 点向 x 轴 y 轴作垂线 垂足分别为 M N C a b D b a a b 均大于 0 OM ON a CM DN b OCM ODN SAS 第 40 页 共 64 页 COM DON DON MOD 90 COM MOD 90 OC OD COD 是等腰直角三角形 ODC 45 2 解 连接 DA 在 OCB 与 ODA 中 OCB ODA SAS AD CB 1 OCB ODA OC OD 2 CD AD2 CD2 1 8 9 AC2 9 AD2 CD2 AC2 ADC 90 OCB ODA 90 45 135 3 解 作 CF OA F 为垂足 由勾股定理得 CF2 CE2 EF2 CF2 CA2 AF2 CA2 AE EF 2 设 EF x 可得 52 x2 72 3 x 2 解得 x 第 41 页 共 64 页 在 Rt CEF 中 得 CF OF CF OCA 的面积 点评 本题考查了全等三角形 等腰直角三角形的判定与性质 勾股定理及 其逆定理 三角形的面积 有一定难度 准确作出辅助线是解题的关键 25 2015 春 定州市期中 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 鸟儿捉鱼 的问题 小溪边长着两棵棕榈树 恰好隔岸相望 一棵树高是 30 肘尺 肘尺是古代的