概率与数理统计-1.5习题

习题课,设A，B为两个事件，求证,1,解：,2、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率,解：,3,已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的概率：,解：,4,已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：,解：,因为事件AB发生, 则事件C一定发生。,即：,设事件A，B，C两两独立，且ABC=, P(A)=P(B)=P(C)1/2，且已知P(ABC)=9/16, 求P(A),5,解：,解得：,或,舍掉,6、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。,解：,同理,7,已知,且a1，b1。求,解：,8、袋中装有编号1,2, n(n2)的n个球，有返回地抽取 r 次，求：（1）1号球不被抽到的概率；（2）1号球和2号球均被抽到的概率。,解：,设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。,（1）,（2）,9、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率,解：,设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品,10、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率,解：,设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标被命中。,11、某厂的产品有4%的废品，每100件合格品中有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一等品的概率。,解：,设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一件产品是合格品。,则易知,12 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,伯恩斯坦反例,13 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?,解,由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，,因此,又由题意知,故有,因此 A，B，C 不相互独立.,则三事件 A, B, C 两两独立.,由于,14 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。,解：,设p表示事件A在一次试验中出现的概率。,由题意知:,解得:,15 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,解,D表示飞机被击落 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,因而,由全概率公式得,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,思路 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故此题要用全概率公式来讨论.,17,解,又因为,18、甲袋中放有5只红球，10只白球；乙袋中放有5只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。,解：,设C表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋，B表示从乙袋取一红球放入甲袋，A表示最后从甲袋任取两个红球。,思路 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论:,19,解,所以,20 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一次