概率与数理统计-2-1

第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量2.2 离散型随机变量,2.1 随机变量的概念,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,.,R,例 抛掷骰子,观察出现的点数.,样本点本身就是数量,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,例 掷硬币的试验，它的样本空间含有两个可能结果：,当“出现正面”时，用数“1”代表，当“出现反面”时，用“0”代表，此时将每个试验结果看作一个变量X，它将随试验的结果而变化：,例1：在有两个孩子的家庭中,按照年龄顺序考虑其性别 , 共有 4 个样本点:,若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有,是事件,设 是试验S的样本空间, 若,则称 X ( ) 为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.,定义,简记 r.v. X .,随机变量是,上的映射,此映射具有如下特点,事件及事件概率,随机变量及其取值规律,例1 将一颗骰子投掷两次，观察所得的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，12，而且X=2=(1,1),X=3=(1,2),(2,1),X=4=(1,3),(2,2),(3,1),X=12=(6,6)。,随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：,PX=2=1/36,PX=3=2/36,PX=4=3/36,PX=12=1/36,例 2,上午 8:0012:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数 则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；,表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件 注意 Y 的取值是可列无穷个！,例 3,表示寿命大于 3000小时这一随机事件,表示寿命不超过1500小时这一随机事件,=t | t 0,观察灯泡的寿命（单位：小时），,样本空间:,令 Y：该灯泡的寿命则 Y 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数,注意 Y 的取值是不可列无穷个！,在同一个样本空间可以同时定义多个r.v., 例如, = 北理工全体大学生 ,X() 身高,Y() 体重,Z() 腰围.,在什么样情况下定义何种随机变量要根据实际要解决什么问题而定。各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系 即 相互独立,离散型,非离散型,r.v. 分类,引入 r.v.重要意义, 任何随机现象可 被 r.v.描述, 借助微积分方法 将讨论进行到底,2.2 离散型随机变量的概率分布,若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。,定义1,一、离散型随机变量的分布律,注： 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,P X = xi = pi （i = 1, 2, ）,亦可用下面的概率分布表来表示,则称之为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或分布列（律）。,设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , X取各个值的概率，即事件X=xi的概率为,定义2,分布律的性质,X ,或,用这两条性质判断一个函数是否是概率函数,二、表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,X,例1 从110这10个数字中随机取出5个数字，X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的分布列,即 X 的分布列为,解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且,例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面次数与反面次数之差. 试求X 的分布列,解: X 的取值为-3，-1，1，3,则 X 的分布列为,例3 设离散型随机变量 X 的分布列为,则,例3（续）,例4 设随机变量 X 的分布律为,解: 由分布列的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,试求常数c,三、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.,1.两点分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,记作,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,2.等可能分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,3. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 1 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所需要抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,不难验证:,实例2 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求首次命中所需射击次数X 的概率函数.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,PX=1=P(A1)=p,计算 PX =k ,k = 1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.,几何分布背景：,随机试验的可能结果只有2种，A与,试验进行到首次A发生为止的次数X，X=k即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。,设随机变量X的概率函数为,则称随机变量X服从超几何分布,，记作,4 超几何分布,m = 0,1, l, l =min(M, n),从1.2例3可知，设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中“一次抽取n件样品”或“不放回地依次抽取n件样品”，则样品中的次品数：X= 0,1, l, l =min(M, n),如果随机变量 X 有如下的概率分布,5.二项分布 (Binomial分布),则称X 服从参数为 n和 p的二项分布,记作,说 明,1.显然，当 n = 1 时,此时，X 服从两点分布,这说明，两点分布是二项分布的一个特例,第k+1项,2.称为二项分布的原因是 为 二项展开式,1 伯努利(Bernoulli)试验模型,设随机试验满足：1在相同条件下进行n次重复试验；2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3各次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验,二项分布的概率背景,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 或n个人同时抛n枚硬币。,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就是 n重伯努利试验.,(3) 二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,例1 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，每次试验两个结果：次品(A)，非次品，它是3重伯努利试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,X b(3,0.05)，,注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时，只能用古典概型求解.,古典概型与伯努利概型不同，有何区别？,请思考：,伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次试验相互独立.,可以简单地说，,例2:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.,解 :每答一题为试验，结果只有两种，答对(A)的概率为 ，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个5重Bernoulli试验,例3 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜.，假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？,解 每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则 X B(10,0.6) ，按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以,P甲获胜 =,若乙获胜， 则甲赢棋的盘数，即,注意：事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能容易算出,图形,2 二项分布的分布特点,由此可知，,对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.,( x 表示不超过 x 的最大整数),例4 独立射击5000次, 每一次命中率为0.001,(1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；,(2) 命中次数不少于1 次的概率.,解,令X 表示命中次数,则 X b(5000,0.001),（2）求,命中次数不少于1 次的概率.,令X 表示命中次数,则 X b(5000,0.001),小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件,本例启示,由此可见日常生活中“提高警惕, 防火,由于时间无限, 自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳楼自杀.,6. 泊松分布,易见,例1 1910年, 著名科学家Rutherford(罗瑟福) 和 Geiger (盖克) 观察了放射性物质钋放射 粒子的情况,他们进行了N=2608次观测, 每次观测7.5秒,一共观测到10094个 粒子放出,下面的表是观测记录,用X 表示这块放射性钋在7.5秒内放射出的,粒子数,在 N = 2608 次重复观测中发生的频率和 基本相同. 见书p42图,表的最后两列表明,事件,其中的Y 是服从 分布的随机变量，,是7.5秒中放射出 粒子的平均数,设在n重贝努里试验中，以 代表事件 A 在一次试验中发生的概率 ,它与试验总数n 有关. 若,Poisson定理,则,Poisson定理的证明(续),对于固定的 k，有,得,由,所以,Poisson定理的证明(续),Poisson定理的应用 二项分布与泊松分布关系,由 Poisson 定理，可知,有,令,则当 n比较大，p 比较小时,则,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.,泊松分布可以作为描绘大量实验中稀有事件出现的次数X=0,1,2,的概率分布的数学模型,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,单击图形播放/暂停ESC键退出,n 100, np 10 时近似效果就很好,请看演示,实际计算中，,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例2,故所求概率为,可利用泊松定理计算,例3 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作n=300的伯努利概型.,XB(n,p)，n=300, p=0.01,可见，,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,PXN N 0.01的最小的N.,下面给出正式求解过程：,即至少需配备8个维修人员.,查书末的泊松分布表得,N+1 9,即N 8,我