概率与数理统计-3-3

第三章随机向量及其独立性,3.3连续型随机向量及其联合密度,有,定义1,一、联合概率密度,X的概率密度函数,定义2,（X,Y）的概率密度的性质 :,表示 f (x, y)和 平面上区域 所围成的柱体的体积.,随机点 落在矩形域,内的概率为,P( X = a ,- Y + ) = 0,P(- X Y )。,O x,y=x2,y=x,y,解 (1),(2)确定积分区域,例 2,(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3) 求概率P(X+2Y1)。,练习2 已知,解 (1),K=6,O x,y,x+2y=1,(2),(3),定理,设(X,Y)是连续型随机向量，且已知其分布函数为,例3,设D是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在D上服从均匀分布.,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在D上服从均匀分布.,例,二 两个常见的二维分布：,1 均匀分布,例4 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,练习3 设(X ,Y ) G 上的均匀分布,f ( x, y ); P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到y 轴距离小于0.3的概率.,求,解 (1),(2),(3),若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),2、正态分布,三、二维连续型随机变量的边缘密度函数,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,例5 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,= 5c/24 ,c =24/5.,解 (1),故,例5 设 (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上 ,当 时,例 5 设(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,暂时固定,综上 ,注意取值范围,例6 设 ( X ,Y ) 的联合密度函数为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 联合分布函数 F (x,y); 边缘密度函数与边缘分布函数,解 令,(1),(2),0.5,的分段区域,当0 x 1, 0 y x 时，,(3),当x0 或 y0 时,F(x,y) = 0,当0 x1, x y1时，,当0 x 1, y 1时，,当x 1, 0 y 1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0,当|x|1时,所以,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,四、连续型随机变量的独立性,这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.,定理,命题 若(X, Y)的 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是 f (x,y) = fX(x) fY (y),设(X,Y)在矩形 D = (x,y)|axb,cyd 上服从均匀分布，则随机变量X,Y相互独立.,解,例8,X的边缘密度为,同理,Y的边缘密度为,练习 设(X,Y)在圆域D=(x, y)| x2+y2r 2上服从均匀分布.(1) 判断X与Y是否相互独立.,解,(2),例9 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY),甲先到的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率,解一：,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),解二：,P(X Y),P(| X-Y| 5),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率.,对任何 x,y 有,取,则X,Y相互独立,命题,故,判连续型 r.v. 相互独立的有关命题,命题1 设f (x,y)是连续二维 r.v. (X ,Y )的联合密度函数r (x), g(y) 为非负可积函数, 且,则 X , Y 相互独立,且,例如1,则X ,Y 是相互独立的,且其边缘分布为,例如2,则X ,Y 是相互独立的, 且其边缘分布为,命题2 设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(