概率与数理统计-8-1

第八章,8.1 假设检验8.2 正态均值的假设检验,假设检验是对总体的未知参数或总体服从的分布等，首先提出某种假设，例如假设未知参数为某一常数或总体服从某已知分布等，然后由样本提供的信息，对所做假设的“真实性”做出否定还是不否定，即拒绝还是接受的判定。 假设检验问题分为如下两大类： 参数假设检验：对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。 非参数假设检验：对总体的分布、总体间的独立性以及是否同分布等方面的检验。,8.1 假设检验,例1 某厂生产合金钢，其抗拉强度X(单位：kg/mm2)可以认为服从正态分布N(,2)。据厂方说，抗拉强度的平均值=48。现抽查5件样品，测得抗拉强度为46.8 45.0 48.3 45.1 44.7问厂方的说法是否可信？这相当于先提出了一个假设H0：=48，然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。,参数假设检验,例2 为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人分成两组，一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前不饮酒，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间(单位：分钟)如下：饮酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67未饮酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20问饮酒对工作能力是否由显著的影响？两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服从正态分布的随机变量XN(1,12)和YN(2,22) ，如果饮酒对工作能力没有影响，两个变量的均值应该相等。所以问题相当于要求我们根据实际测得的样本数据，检验假设H0：1= 2是否成立。,参数假设检验,例3 某班学生的一次考试成绩为x1,x2,xn，问学生的考试成绩X是否服从正态分布？ 学生的考试成绩可以看作是总体X的样本观察值，该例题相当于提出这样一个问题H0：XN(,2)然后要求从样本出发，检验它是否成立。,非参数假设检验：,一 假设检验的理论依据,其基本原理就是所谓实际推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.,这是在长期大量实践中总结出来的原理,是人们在实践中广泛采用的一个原理。,下面我们用一例说明这个原则.,这里有两个盒子，各装有100个球.,现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球99个还是红球99个？,我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球.,现在我们从中随机摸出一个球，发现是,此时你如何判断这个假设是否成立呢？,解: 假设其中有99个白球，摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件.,小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设.,这个例子中所使用的推理方法，可以称为,带概率性质的反证法,它不同于一般的反证法,概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设.,一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设.,解: 隧道南3.5公里, 隧道北6.5公里. 用p表示一起交通事故发生在隧道南的概率.,则p=0.35表示隧道南北的路面发生交通事故的可能性相同. p0.35表示后隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北的路面发生交通事故的概率大.,引例 : 一条新建的南北交通干线全长10公里. 公路穿过一个隧道(长度忽略不计),隧道南面3.5公里, 北面6.5公里. 在刚刚通车的一个月中, 隧道南发生了3起交通事故, 而隧道北没有发生交通事故,能否认为隧道南的路面更容易发生交通事故?,为了作出正确的判断, 先作一个假设 H0: p=0.35. 我们称H0是原假设或零假设. 再作一个备择假设 H1: p 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.,三起交通事故的发生是相互独立的, 他们之间没有联系. 如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的概率都是0.35,于是这三起交通事故都发生在隧道南的概率是 这是一个很小的概率, 一般不容易发生. 所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交通事故的概率比隧道北大.,做出以上结论也有可能犯错误, 犯错误的概率正是0.043.,这是因为当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯错误. 这一概率正是P=0.043.,于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7% (在多次解决类似问题意义下).,通过对上例的分析, 我们得到以下的概念，进行假设检验时, 根据问题的背景, 提出原假设 H0: p=0.35, 及其备择假设 H1: p0.35.,在H0 成立的假设下, 计算观测数据出现的概率P.,如果P很小(一般用0.05衡量), 就应当否定 , 承认 ;,为了简便, 我们把以上的原假设和备择假设记作 H0: p=0.35 vs H1: p0.35. 其中的vs是versus的缩写.,如果P不是很小, 也不必急于承认H0, 这是因为证据往往还不够充分. 如果继续得到的观测数据还不能使得P降低下来, 再承认H0不迟.,例 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2, 而实际生产的螺钉强度 X 服从若 E(X )= = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从该厂生产的一批螺钉中抽取容量为 n=36 的样本，其样本均值为 ，,问这批螺钉是否符合要求？,二 假设检验的基本思想,问题: 根据样本信息判断,它是在拒绝原假设后，可供选择的一个命题，,若原假设正确, 则,因而,取值较大是小概率事件,由于,只需确定k使得,规定 为小概率事件的概率大小,在一次试验中几乎是不可能发生的.,意味着小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设.,这属于假设 成立下的正常情况，所以没理由拒绝，只能接受假设,因此,例如,取 = 0.05 , 则,由,即区间( ,66.824 ) 与 ( 69.18 , + )为检验的拒绝域,通常取= 0.05, 0.01,三、假设检验的相关概念,1. 显著性水平,2. 检验统计量,用于判断假设成立与否的统计量,3. 原假设与备择假设,假设检验问题通常叙述为:,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,4. 拒绝域与临界点,当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界点.,如在前面实例中,或拒绝域为：,5. 两类错误,假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类:,(1) 当实际原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”.,(2) 当实际原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”.,H0 真,H0 不真,控制第一类错误的原则。,6. 显著性检验,7. 双边备择假设与双边假设检验,只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.,8. 右边检验与左边检验,右边检验与左边检验统称为单边检验.,给定拒绝域就给定了一个检验法，所以也用表示这个检验法。,9 参数检验的一般提法,当事件发生时拒绝 ，称为拒绝域。,如果否定 时犯错误的概率不超过 , 即 就称是检验水平为 的检验,称 是检验法的检验水平。,10、假设检验的一般步骤,4 由样本值算出检验统计量的值，看其是否在拒绝域中。,引例：第一类错误与第二类错误的比较 一个有20多年教龄的教师声称他上课从来不“点名”. 如何判定他讲的话是真实的?,确立原假设H0: 他没有点过名, 然后再调查H0是否为真.,当调查了他教过的3个班, 都说他没有点过名, 这时如果承认H0, 犯错误的概率还是较大的.,当调查了他教过的10个班, 都说他没有点过名, 这时承认H0 犯错误的概率会明显减少。,如果调查了他教过的30个班, 都说他没有点过名, 这时承认H0犯错误的概率就会很小了。可惜调查30个班是很难做到的！,四、检验结果的含义,反过来, 在调查中只要有人证实这位老师点过名, 就可以否定H0了(不论调查了几个班), 并且这样做犯错误的概率很小.,例告诉我们, 要否定原假设H0是比较简单的, 只要观测到了H0下小概率事件就可以。,要承认H0就比较费力了: 必须有足够多的证据(样本量), 才能够以较大的概率保证H0的真实.,在这个例子中还有一个现象值得注意: 当调查10个班发现都没有点过名就承认H0时, 即使判断失误, 造成的后果也不严重. 因为数据已经说明这位老师不爱点名.,8.2 正态均值的假设检验,对于正态总体 X 均值的检验，常见的有以下三种类型：,设 X N(, 2 )， (X1, X2, , Xn)为样本。,其中,如果发生，就称检验是显著的.,如果 是来自总体 的样本. 已知时，,的显著性水平为的拒绝域是,这时，否定犯错误的概率不超过。,由于这种检验方法是基于正态分布的方法, 所以又称为正态检验法或检验法.,证明 (1)右边检验,若原假设正确,则：,根据假设 0,由于,一个有用的结论,有相同的拒绝域.,某织物强力指标X的均值 =21公斤. 改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得 =21.55公斤. 假设强力指标服从正态分布 且已知 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01 下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?,例2,解:提出假设:,取统计量,z=2.512.33,故拒绝原假设H0 ，即新生产织物比过去的织物的强力有提高。,落入否定域,取统计量,解:提出假设:, 0, 0, 0,Z 检验法 (2 已知),例3 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:,假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?,解,查表得,例4 已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）在正常情况下服从正态分布N(4.55，0.112)，今测得5炉铁水含碳量如下：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.若标准差不变，铁水的含碳量是否有明显的降低？（ =0.05）,所以拒绝H0接受H1，即认为铁水的含碳量有显著下降。,由题设知n=5， 2=0.112，0.05，又由样本观察值计算出,解 此为方差 2=0.112时的左边单侧检验，其假设为H0: =4.55； H1: 4.55,上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法., 0, 0, 0, 0, 0,t 检验法 (2 未知),例 5. 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布N(, 2 )， 2未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下：,32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,问这批产品是否合格?,解: (1) 提出假设,(2) 选取检验统计量,(4) 查表,将样本值代入算出,(显著水平=0.01）,例6 某厂生产小型马达, 其说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8 安培. 现随机抽取16台马达试验, 求得平均消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?,解 根据题意待检假设可设为,H0 : 0.8 ； H1 : 0.8,H0 : 0.8 ； H1 : 0.8, 未知, 故选检验统计量:,查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为,现,故接受原假设, 即不能否定厂方断言.,解二 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8,选用统计量:,查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域,现,故接受原假设, 即否定厂方断言.,由例可见: 对问题的提法不同(把哪个假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.,由于假设检验是控制犯第一类错误的概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较慎重, 也就是 H0 得到特别的保护. 因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者