微元法高考物理专题复习建议.doc

“微元法”高考物理专题复习建议刘小兵南京市金陵中学河西分校（江苏 南京210019） 【摘要】在研究物理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法，称为“微元法”。这是物理研究中非常重要的方法，在高考中屡屡出现，从应用来看，可以分为选取微元作为研究对象、微元求导和微元求和等三个方面。本文归纳总结了“微元法”解题步骤，力图通过最简单的例子和规范的解题过程引领示范，并且运用各种图象让物理情景形象生动地呈现，易于学生理解和提升。【关键词】微元法 变力 变加速度 化变为恒 化曲为直在处理和研究物理问题时，将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直），从其中抽取某一微小单元（研究对象或研究过程）进行研究，从而找到被研究对象或被研究过程遵循的物理规律，这种方法称为“微元法”。从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 这是一种深刻的思维方法，化变为恒，化曲为直，通过分割逼近，获得“微元”，从而可以运用中学阶段的解题手段，再累加求和（或求商求导），最终达到了求解整体的目的。人教版课本中多处涉及到了“微元思想”，由于散落在各册教材中，学生印象比较模糊，因此在总复习专题复习时以“微型例题”形式总结。如推导v-t图的面积表示位移、研究重力做功、推导向心加速度，等等，都用到了“微元法”。【微型例题1】试用“微元法”推导说明v-t的面积表示位移。图1解析：Step1 在匀速直线运动的v-t图象中，如图1， 图象与时间轴所围的面积表示位移x=vt.可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动(化变为恒)。然后把运动物体在每一个时间间隔内的位移（即小矩形的面积）都表示出来，最后求和，就得到了匀变速直线运动的总位移。Step2 从图2看出，矩形面积之和小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。Step3 选取的时间段t越小，各匀速直线运动位移和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图3。当t0时，各矩形面积之和趋近于v-t图象的面积。Step4 如果把整个运动过程划分得非常非常细（微元法），很多很小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于如图4所示的梯形的面积.图2图4图3图5【微型例题2】已知物体以O为圆心，R为半径，做角速度为的匀速圆周运动，求物体的向心加速度的大小解析：如图5所示，物体的运动速度由变到，速度变化为.（矢量差）在很小时，有的方向指向圆心，并且有，(在矢量三角形中，和大小相等，弦长视为弧长，扇形的弧长)（微元法）又有，图6故 【微型例题3】将一个质量为的物体，通过图中曲线路径由A点到C点（A、C两点离地高度分别为、）试求重力对物体所做的功是多少？解析：如图6所示，把路径分成许多小段，每一段可以看作一个小斜面（设斜面长为，倾角为，重力做功），各个斜面的高度为、从A 到C 重力对物体所做的功等于物体在通过各个小斜面时重力做功的和，即亦即可见，课本中的“微元法”“随风潜入夜，润物细无声”，并且不特别指明方法“微元法”。我们在总复习时应该加以提炼和归纳，便于学生备考。本文分为三种题型：题型一、以“微元”为研究对象；题型二、微元求导；题型三、微元求和。题型一、以“微元”为研究对象1、选取质量元m图7一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。【例1】加速启动的火车车厢内的一桶水,若已知水面与水平面之间的夹角为，则火车加速行驶的加速度为多大？FNmgsin图9解析：我们需要从水面上提取所需的“水元”，其质量为m，其受力情况如图所示，合力F合=mg, 根据牛顿第二定律可知,则a=g ,方向与启动方向相同。图8【例2】证明，如图8，建筑工地上的黄砂，无论怎样堆，其锥角保持不变。假如圆锥的底周长为，高为，求黄砂之间的动摩擦因数。（假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等）解析：如图9所示，圆锥形黄砂堆倾角为，取砂粒子质量元m 进行受力分析,m沿堆面不向下滑动，则处于平衡状态且达到最大静摩擦力，所以mgsin = mgcos ，即=tan 。所以.2、选取时间元图10【例3】高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，水射到煤层上后速度变为零，若水的密度为，试求水对煤的冲击力解析：如图10所示，取很小的一小段时间内冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设其质量为，则。根据牛顿第二定律，解得。3、选取电量元图11【例4】 如图11所示，一个均匀的带电圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O 点 通过O 点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带电圆环在P点处产生的电场强度多大?方向怎样? 解析：只能适用于点电荷产生的电场，无法直接求解。故在圆环直径的两端对称地取两段微元研究，设其电量均为q，它们在P 点处的场强的合场强；求和：；由于，故.其方向沿OP 连线向外。4、选取圆弧元图12【例5】如图12所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作用点的轨迹分成无限多小段，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功，则转动一周过程中推力做的功.题型二、微元求导物理学中表示变化快慢的物理量瞬时值的定义式都是根据“微元求导（求商）”来定义的。如，都是运用了当时，微元求商（即求导）的极限思想。图13【例6】（2012年江苏高考）一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比下列描绘将皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是（ ）解析：，根据，对上升过程有，即，随着时间推移，v减小，a减小，如何减小呢？对求导，可见图的切线斜率的绝对值减小，本题答案选C。【例7】 P 、Q 是某电场中一条电场线上的两点, 一点电荷仅在电场力作用下, 沿电场线从P 点运动到Q 点, 经过此两点时速度大小分别为和 , 其速度v 随位移x 变化的图象如图14所示, 请比较P 、Q 两点电场强度的大小.图14解析：在图上作P、Q两点的曲线切线，其斜率的绝对值分别为、，显然有，即.由于，两点的加速度分别为，图中，所以.电荷只受电场力，故.题型三、微元求和对于变力作用的物理过程，有时用能量无法求解。此时可以考虑用“微元法求和”。其基本思路是：Step1 确定研究对象，写出瞬时表达式；Step2 取一小段时间（时间极短，加速度、速度都来不及变）；Step3 换元，使之具有“平权性”，才能正确合理求和；Step4 对各小段求和；Step5 写出解答，得到结果。【例8】一质量为m 的雨滴，从距地面h 高处由静止开始下落，假设雨滴在运动中受到的空气阻力跟速度的一次方成正比，即有f = kv( k为已知常数) ，已知雨滴落地前已开始做匀速运动，当地的重力加速度为g 试问：（1） 雨滴的运动时间；（2） 定性画出图、图。解析：（1）（Step1 写瞬时式），根据有，即，从而 ；（Step2 取微元）取一小段时间，；（Step3 换元）由于很小，所以；（Step4 求和）亦即（Step5 写结果）又有解得.（2）下落中，v先增大后匀速，由可知，先减小后为0，v-t图如图15。ta0图16tv0图15又对求导，得到，图的斜率绝对值减小，画出图如图16。图17【例9】如图所示，一水平放置的光滑平行金属导轨上放有一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨左端连有一阻值为 的电阻，杆与导轨的电阻均忽略不计，整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中 现给金属杆一个向右的初速度v0，然后任其向右运动，导轨足够长，试求:( 1) 证明金属杆的瞬时速度与其在导轨上的滑行位移成线性关系；( 2) 金属杆在导轨上向右运动的最大位移(3)定性画出图、图。解析：（1）（Step1 写瞬时式）据有，亦即则；（Step2 取微元）取一小段时间，故（Step3 换元）；（Step4 求和），亦即（为了书写方便，可以等效写成，等效为逆向加速运动）；（Step5 写结果）解得.（2）时位移最大。.va0图19xv0V0图18（3）本题中的图、图与【例8】中的第（2）问的答案一致。由，形如直线方程，图如图18。由画出图如图19。图19【例10】 如图20所示，一有界匀强磁场区域的宽度为L，方向竖直向下在光滑的水平桌面上，现有一边长为 ( L) 的正方形闭合金属线框以垂直磁场边界的初速度v0 滑入磁场，已知线框全部进入磁场中时的速度为v1，穿出磁场后的速度为v2.(1)试证明 (2)定性画出图、图、图。解析：（1）（Step1 写瞬时式）据有，亦即，所以 ；（Step2 取微元）取一小段时间，；（Step3 换元）；（Step4 求和）；亦即；（Step5 写结果）进场：；出场：，两式右边相同，故左边亦相等。解得.（2）图、图、图如图21至图23所示。xv0图22tv0图21ta0图23运用微元法，能够深入研究物体的运动性质，甚至探究未知的运动。图24【例11】（2013年全国高考卷I）如图24，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为导轨上端接有一平行板电容器，电容为导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向垂直于导轨平面在导轨上放置一质量为 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为忽略所有电阻让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：（）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；（）金属棒的速度大小随时间变化的关系解析：（1），所以.（2）（Step1 写瞬时式）根据，所以；(Step2 取微元)取一小段时间，；(Step3 换元)；(Step4 求和)；即，再将代入，(Step5 写结果)得到.上式形如，说明导体棒做匀加速直线运动，加速度。 在微元求和中，常常用到、，等等，值得注意。参考文献：1陈锋.窥一斑而见全豹-微元法在中学物理中的应用J.物理教学探讨,20