专题七二次函数特殊四边形的存在性问题

专题七二次函数综合题 类型三特殊四边形的存在性问题 遵义2014 27 3 铜仁2018 25 2 方法指导 平行四边形的判定 矩形 菱形的判定方法参照 中平行四边形的判定 典例精讲 例已知抛物线y ax2 bx c经过点A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 1 求抛物线的解析式 顶点坐标和对称轴 例题图 思维教练 要求抛物线的解析式 需将A B C三点坐标代入y ax2 bx c中 解方程组即可 把抛物线一般式化成顶点式 可得抛物线的顶点坐标和对称轴 解 将点A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点代入y ax2 bx c中 得 解得 抛物线的解析式为y x2 4x 3 把y x2 4x 3化成顶点式为y x 2 2 1 抛物线的顶点坐标为 2 1 对称轴是直线x 2 2 过点C作CD平行于x轴 交抛物线对称轴于点D 试判断四边形ABDC的形状 并说明理由 例题图 思维教练 要判断四边形ABDC的形状 观察发现 四边形ABDC为平行四边形 结合已知条件有CD AB 再设法证明AB CD即可 解 四边形ABDC是平行四边形 理由如下 D点在抛物线的对称轴上 CD x轴 D点的横坐标为2 即CD 2 A 1 0 B 3 0 AB 2 AB CD 又 CD AB 四边形ABDC是平行四边形 3 如果点G是直线BC上一点 点H是抛物线上一点 是否存在这样的点G和H 使得以G H O C为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 请求出点H的坐标 例题图 思维教练 先假设存在满足条件的点G和H 由于OC的长度和位置确定 所以点G H的纵坐标之差的绝对值与OC相等 据此可求出点H的坐标 解 存在 如解图 设直线BC的解析式为y kx b k 0 将点B 3 0 C 0 3 代入可得 解得 直线BC的解析式为y x 3 点G在直线BC上 点H在抛物线上 且以点G H O C构成的四边形是以OC为边的平行四边形 GH x轴 GH OC 设G点坐标为 n n 3 H点坐标为 n n2 4n 3 例题解图 GH OC 3 GH n2 4n 3 n 3 n2 3n 3 当n2 3n 3时 解得n 当n2 3n 3时 方程无解 当n 时 n2 4n 3 当n 时 n2 4n 3 综上所述 存在这样的点G和H 使得以G H O C为顶点的四边形是平行四边形 点H的坐标为 或 例题解图 4 如果点M在直线BC上 点N在抛物线上 是否存在这样的点M和N 使得以A B M N为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 请求出点N的坐标 例题图 思维教练 先假设存在满足条件的点M N 因为AB长度和位置确定 故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论 当AB为边时 则MN AB 且MN AB 据此可求出点N的坐标 当AB为对角线时 则MN与AB互相平分 从而确定点N的坐标 解 存在点M N 使得以A B M N为顶点的四边形是平行四边形 当AB为平行四边形的边时 需考虑点M和N的位置关系 即点M在点N的左边还是右边 如解图 当点M在点N的左边时 设点N的坐标为 m m2 4m 3 则点M的坐标为 m 2 m 5 四边形ABNM是平行四边形 m2 4m 3 m 5 解得m 当m 时 m2 4m 3 当m 时 m2 4m 3 点N的坐标为 或 例题解图 当点M在点N的右边时 设点N 的坐标为 m m2 4m 3 则点M 的坐标为 m 2 m 1 四边形ABM N 是平行四边形 m2 4m 3 m 1 解得m 1或2 当m 1时 点N与点A重合 故舍去 当m 2时 m2 4m 3 1 点N的坐标为 2 1 当AB为平行四边形的对角线时 则MN与AB互相平分 如解图 AB与MN相交于点J 易得J 2 0 易得AJ NJ BJ MJ 设M m m 3 N n n2 4n 3 则有 2 m 3 n2 4n 3 0 整理 得n2 3n 2 0 解得n1 1 舍去 n2 2 N点坐标为 2 1 综上所述 点N的坐标为 2 1 例题解图 5 设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K 点P是抛物线对称轴上一点 点Q为y轴上一点 是否存在这样的点P和Q 使得四边形CKPQ是菱形 如果存在 请求出点P的坐标 例题图 思维教练 先假设存在满足条件的点P 由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定 则CK为菱形的边 故利用KP CK上下平移直线BC 与抛物线对称轴的交点即为所求点P 解 存在 理由如下 K点的坐标为 2 1 CK 假如存在这样的点P 使得四边形CKPQ为菱形 则KP CK 2 如解图 当点P在点K的下方时 点P1的坐标为 2 1 2 当点P在点K的上方时 点P2的坐标为 2 1 2 点P的坐标为 2 1 2 或 2 1 2 例题解图 6 若点R是抛物线对称轴上一点 点S是平面直角坐标系内任一点 是否存在满足条件的点R S 使得四边形BCRS为矩形 若存在 求出点R S的坐标 例题图 思维教练 先假设存在满足条件的点R S 要使四边形BCRS为矩形 则点R在直线BC上方 且 BCR 90 可通过寻找相似三角形利用相似求出点R 再根据矩形性质求出点S 解 存在 如解图 要使四边形BCRS为矩形 抛物线对称轴交x轴于点T 则 BCR 90 CRK TBK 由 5 知 K 2 1 CK 2 T 2 0 TK 1 BK RK 4 R 2 5 CB RS CB RS 根据点平移及矩形性质可得S 5 2 故存在满足条件的点R S 使得四边形BCRS为矩形 且点R S的坐标分别为R 2 5 S 5 2 例题解图 针对演练 解 1 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 将对称轴和A B两点的坐标代入抛物线解析式 得 解得 抛物线的解析式为y x2 x 4 配方 得y x 2 顶点坐标为 2 设E点坐标为 x x2 x 4 S 2 OA yE 6 x2 x 4 即S 4x2 28x 24 3 平行四边形OEAF的面积为24时 平行四边形OEAF可能为菱形 理由如下 当平行四边形OEAF的面积为24时 即 4x2 28x 24 24 化简 得x2 7x 12 0 解得x 3或4 当x 3时 EO EA 则平行四边形OEAF为菱形 当x 4时 EO EA 则平行四边形OEAF不为菱形 平行四边形OEAF的面积为24时 平行四边形OEAF可能为菱形 解 1 C1与C2关于y轴对称 C1与C2交点一定在y轴上 且C1与C2的形状 大小均相同 a 1 n 3 C1的对称轴为x 1 C2的对称轴为x 1 m 2 C1 y x2 2x 3 C2 y x2 2x 3 2 令C2中y 0 则x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 点A在点B左侧 A 3 0 B 1 0 3 存在 如解图 设P a b 第2题解图 四边形ABPQ是平行四边形 PQ AB 4 Q a 4 b 或 a 4 b 当Q a 4 b 时 得a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 5 P1 2 5 Q1 2 5 当Q a 4 b 时 得a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 3 P2 2 3 Q2 2 3 综上所述 所求点的坐标为P1 2 5 Q1 2 5 或P2 2 3 Q2 2 3 类型四相似三角形的存在性问题 铜仁2018 25 3 方法指导 ABC与 DEF相似 在没指明对应点的情况下 理论上应分六种情况讨论 但实际问题中通常不超过四种 常见有如下两种类型 每类分两种情况讨论就可以了 另外 如果不满足以上两种情况 但可以确定已知三角形的形状 特征 时 先确定动态三角形中固定的因素 看是否与已知三角形中有相等的角 若存在 根据分类讨论列比例关系式求解 已知条件中有一条对应边 只需要讨论另外两条边的对应关系 列比例关系式求解 若可得相似三角形的某个对应角的度数时 分类讨论另外两个角的对应情况 列比例关系式求解 典例精讲 例如图 抛物线图象交x轴于A B两点 且点A位于x轴的正半轴 点B位于x轴的负半轴 且OA OB 3 抛物线交y轴于点C 0 3 1 求抛物线的解析式 例题图 思维教练 要求抛物线的解析式 已知OA OB的长度 可知点A B的坐标 再结合点C的坐标 利用待定系数法即可确定抛物线的解析式 解 OA 点A在x轴的正半轴 A 0 OB 3 点B在x轴的负半轴 B 3 0 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c 将点A 0 B 3 0 C 0 3 代入 得 解得 即此抛物线的解析式为y x2 x 3 2 连接AC BC 则在坐标轴上是否存在一点D 使得 ABC ACD 点D不与点B重合 若存在 请求出点D坐标 例题图 思维教练 要在坐标轴上找一点D 使得 ABC ACD 由 1 知A B C三点坐标 可判断出 ABC为直角三角形 则可知 ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点 根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标 解 存在 如解图 tan OCA OCA 30 tan BCO BCO 60 ACB 90 ABC为直角三角形 ABC ACD 且点D在坐标轴上 由题易知 AB 4 AC 2 BC 6 即 CD 3 C 0 3 D 0 0 例题解图 3 设抛物线的对称轴分别交抛物线 x轴于点E F 在x轴上是否存在一点G 不与点F重合 使得 AEF与 AEG相似 若存在 请求出点G坐标 思维教练 要使 AEF与 AEG相似 因为 AEF为直角三角形 需考虑 AEG中哪个角为直角的情况 当点G在x轴上时 分 AEF AGE和 AEF AEG两种情况 例题图 解 存在 AEF是直角三角形 且 AEF与 AEG相似 AEG也是直角三角形 点G在x轴上 分两种情况讨论 当 AGE AEF时 由 1 知A 0 E 4 EF 4 AF 2 根据勾股定理 得AE 2 AE2 AG AF 解得AG OG AG OA 即G 0 当 AEF AEG时 点F与点G重合 综上所述 G点坐标为 0 4 直线AC与抛物线的对称轴交于M点 在y轴上是否存在一点N 使得 AOC与 MNC相似 若存在 请求出点N坐标 例题图 思维教练 要使 AOC与 MNC相似 因为 ACO MCN 则需考虑 AOC 90 这个直角与哪个角对应 从而分以下两种情况讨论 AOC MNC AOC NMC 根据对应边成比例计算出点N的坐标 解 存在 设直线AC的解析式为y kx b 将A 0 C 0 3 代入 直线AC的解析式为y x 3 易知AC 2 又 抛物线对称轴为x 将x 代入y x 3中 得y 6 M 6 又 C 0 3 MC 分以下两种情况讨论 如解图 过点M作MN y轴于点N 此时 AOC MNC 则此时 点N与点M纵坐标相等 N 0 6 例题解图 如解图 过点M作MN AC于点M 此时 AOC NMC 即 NC 4 则ON OC NC 7 N 0 7 综上所述 满足要求的点N的坐标为 0 6 或 0 7 例题解图 5 在抛物线上是否存在点P 使 AOC与 ACP相似 若存在 请求出点P坐标 若不存在 请说明理由 例题图 思维教练 要使 AOC与 ACP相似 因为 AOC是直角三角形 而 ACP中三个内角均可能为直角 故需分三种情况讨论 在每种情况之下 求出对应点 再看求出的点是否满足三角形相似的条件 解 存在 AOC是直角三角形 AOC与 ACP相似 ACP也是直角三角形 分以下三种情况讨论 如解图 当点P与点B重合 即 ACP 90 时 AOC ACB CAO BAC AOC ACB 此时 点P的坐标为 3 0 例题解图 如解图 当 CAP 90 时 AC2 AP2 CP2 设点P坐标为 x x2 x 3 A 0 C 0 3 AC2 2 32 12 AP2 x 2 x2 x 3 2 CP2 x2 3 x2 x 3 2 即12 x 2 x2 x 3 2 x2 3 x2 x 3 2 解得x 或 4 当x 时y 0 点P与点A重合 故舍去 P 4 5 例题解图 AP 2 AOC与 ACP不相似 P 4 5 舍去 如解图 当 CPA 90 时 以AC为直径作圆 此圆过点O A C 不与抛物线有其他交点 则不存在符合要求的点P 综上所述 满足条件的点P的坐标为 3 0 例题解图 针对演练 1 2018乌鲁木齐 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y x2 bx c经过点A 2 0 B 8 0 1 求抛物线的解析式 2 点C是抛物线与y轴的交点 连接BC 设点P是抛物线上在第一象限内的点 PD BC 垂足为点D 是否存在点P 使线段PD的长度最大 若存在 请求出点P的坐标 当 PDC与 COA相似时 求点P的坐标 第1题图 解 1 将A 2 0 B 8 0 代入y x2 bx c得 抛物线解析式为 y x2 x 4 在Rt PDE中 PD PE sin PED PE sin OCB PE PE PE 当线段PE最长时 PD的长度最大 设P t t2 t 4 点E在直线BC上 且点E G的横坐标与点P的横坐标相等 E t t 4 G t 0 即PG t2 t 4 EG t 4 PE PG EG t2 2t t 4 2 4 0 t 8 当t 4时 PE有最大值4 此时点P坐标为 4 6 即当P点坐标为 4 6 时 PD的长度最大 最大值为PE 4 由A 2 0 B 8 0 C 0 4 易知AB2 BC2 AC2 则 ACB 90 OCB OCA 90 OCB OBC 90 OCA OBC AOC COB 90 COA BOC 当Rt PDC与Rt COA相似时 就有Rt PDC与Rt BOC相似 相似三角形对应角相等 PCD CBO 或 PCD BCO 若 PCD CBO Rt PDC Rt COB Rt AOC 此时有CP OB C 0 4 P点的纵坐标为4 x2 x 4 4 解得x1 6 或x2 0 舍 即Rt PDC Rt COB时 P 6 4 若 PCD BCO Rt PDC Rt BOC Rt COA 如解图 过点P作x轴的垂线 垂足为点G 与直线BC交于点F PF OC PFC BCO PCD PFC PF PC 设P n n2 n 4 由题意可得n 0 同 可知PF n2 2n 如解图 过点P作y轴的垂线 垂足为点N 在Rt PNC中 PC2 PN2 NC2 n2 n2 n 4 4 2 n4 n3 n2 PF PC PF2 PC2 即 n2 2n 2 n4 n3 n2 解得n 3或n 0 舍去 即Rt PDC Rt BOC时 P 3 当 PDC与 COA相似时 点P的坐标为 6 4 或 3 第1题解图 2 2018常德 如图 已知二次函数的图象过点O 0 0 A 8 4 与x轴交于另一点B 且对称轴是直线x 3 1 求该二次函数的解析式 2 若M是OB上的一点 作MN AB交OA于N 当 ANM面积最大时 求M的坐标 3 P是x轴上的点 过P作PQ x轴 与抛物线交于Q 过A作AC x轴于C 当以O P Q为顶点的三角形与以O A C为顶点的三角形相似时 求P点的坐标 第2题图 解 1 设二次函数的解析式为y a x 3 2 h a 0 将O 0 0 A 8 4 代入解析式 得 二次函数的解析式为y x 3 2 即y x2 x 2 O B两点关于x 3对称 B 6 0 设点M的坐标为 m 0 0 m 6 设直线AB的解析式为y k1x b1 直线AB的解析式为y 2x 12 易得直线OA的解析式为y x MN AB 设MN的解析式为y 2x b2 把M m 0 代入得b2 2m 直线MN的解析式y 2x 2m S ANM S AOM S NOM S AOM m 4 S NOM m m S ANM m2 2m 0 m 6 当m 3时 S ANM有最大值为S ANM 32 2 3 3 当 ANM面积最大时 点M的坐标为 3 0 3 设P t 0 则Q t t2 t OP t PQ t2 t A 8 4 AC x轴 OC 8 AC 4 OPQ OCA 90 以O P Q为顶点的三角形与以O C A为顶点的三角形相似有如下两种情况 当 OPQ OCA时 解得t1 8 t2 4 t3 0 舍去 当 OPQ ACO时 解得t1 14 t2 2 t3 0 舍去 综上所述 P点的坐标为 2 0 或 4 0 或 8 0 或 14 0 类型五全等三角形的存在性问题 铜仁2017 25 2 方法指导 全等的两个三角形 在没指明对应点的情况下 理论上应分六种情况讨论 但实际问题中通常不超过四种 常见有如下两种类型 每类分两种情况讨论就可以了 典例精讲 例 2017铜仁25 1 2 如图 抛物线y x2 bx c经过点A 1 0 B 0 2 并与x轴交于点C 点M是抛物线对称轴l上任意一点 点M B C三点不在同一直线上 1 求该抛物线所表示的二次函数的表达式 例题图 思维教练 将点A B分别代入抛物线的表达式 通过解方程组 可得到b c的值 解 将点A 1 0 B 0 2 代入y x2 bx c中 得 解得 二次函数表达式为y x2 x 2 2 在抛物线上找出两点P1 P2 使得 MP1P2与 MCB全等 并求出P1 P2的坐标 思维教练 利用全等时对应边相等 结合抛物线的对称性 分两种情况 分别作B C点关于对称轴对称的点 所作对称点即为所求P1 P2点 作BC的平行线 与抛物线的交点 即为所求P点 例题图 解 令y x2 x 2 0 得x1 1 x2 2 所以点C的坐标为 2 0 易得抛物线对称轴为x 如解图 取点C关于对称轴l的对称点A 点B关于对称轴l的对称点为B 1 2 则当点P1 P2与A B 重合时 有 MP1P2与 MBC全等 此时 P1 1 0 P2 1 2 例题解图 过点M作MP1 BC 交抛物线于点P1 如解图 若 MP1 C CBM 则MP1 CB 四边形MBCP1 为平行四边形 xM xB xP1 xC xM xB xC 0 2 将x 代入y x2 x 2中 得y P1 此时P2 与C点重合 P1 P2 2 0 综上所述 满足条件的P1 P2点的坐标分别为P1 1 0 P2 1 2 P1 P2 2 0 例题解图 针对演练 1 2017包头 如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 2 0 两点 与y轴交于点C 1 求该抛物线的解析式 2 直线y x n与抛物线在第四象限内交于点D 与线段BC交于点E 与x轴交于点F 且BE 4EC 求n的值 连接AC CD 线段AC与线段DF交于点G AGF与 CGD是否全等 请说明理由 第1题图 解 1 抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 2 0 两点 将A 1 0 B 2 0 代入抛物线解析式可得 解得 该抛物线的解析式为y x2 x 3 2 如解图 过点E作EE x轴于点E E E OC BE 4CE BE 4OE 设点E的坐标为 x y OE x BE 4x 点B坐标为 2 0 OB 2 x 4x 2 x 抛物线y x2 x 3与y轴交于点C 当x 0时 y 3 C 0 3 第1题解图 设直线BC的解析式为y kx b1 B 2 0 C 0 3 将B C两点代入解析式 得 解得k 直线BC的解析式为y x 3 当x 时 代入直线BC的解析式 得y E 点E在直线y x n上 n n 2 全等 理由如下 直线EF的解析式为y x 2 当y 0时 x 2 F 2 0 OF 2 A 1 0 OA 1 AF 1 抛物线与直线y x 2相交于点D 联立方程 得 解得或 点D在第四象限 点D的坐标为 1 3 点C的坐标为 0 3 CD x轴 CD 1 AFG CDG FAG DCG CD AF 1 AGF CGD ASA 2 如图 一次函数y x 2与坐标轴分别交于A B两点 抛物线y x2 bx c经过点A B 点P从点B出发 以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动 点Q从点A出发 以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动 两点同时出发 运动时间为t秒 1 求此抛物线的表达式 2 求当 APQ为等腰三角形时 所有满足条件的t的值 3 点P在线段AB上运动 请直接写出t为何值时 APQ的面积达到最大 此时 在抛物线上是否存在一点T 使得 APT APO 若存在 请直接写出点T的坐标 若不存在 请说明理由 第2题图 解 1 把x 0代入y x 2中 得y 2 把y 0代入y x 2中 得x 2 A 2 0 B 0 2 把A 2 0 B 0 2 分别代入y x2 bx c中 得b c 2 抛物线的表达式为y x2 x 2 2 OA 2 OB 2 由勾股定理 得AB 4 BAO 30 运动t秒后 AQ t BP 2t 由 APQ为等腰三角形 有QA QP AP AQ PA PQ三种情况 当QP QA时 如解图 过点Q作QD AB于点D 则D为AP的中点 在Rt ADQ中 QD AQ t AD PD AQ t AP t BP AP AB 2t t 4 解得t 8 4 第2题解图 当AP AQ时 若点P在x轴上方的直线AB上 AP t BP 2t BP AP AB t 2t 4 解得t 若点P在x轴下方的直线AB上 AP BP AB AQ 2t 4 t 解得t 4 当PA PQ时 如解图 过点P作PE AO于点E 则AE AQ t 在Rt PEA中 PE AE t AP 2PE t BP AP AB 2t t 4 解得t 综上所述 当 APQ为等腰三角形时 t的值为8 4或或4或 第2题解图 3 如解图 过点P作PF AO于点F 延长FP交抛物线于点T 连接AT PF为 APQ底边AQ上的高 AP 4 2t BAO 30 PF AP 2 t S APQ AQ PF t 2 t t 1 2 当t 1时 APQ的面积最大 此时点P为AB的中点 且P 1 连接OP 则OP AP BP 点P 1 点T的横坐标为 第2题解图 将x 代入抛物线的解析式 得y 3 TP OP 2 在Rt TFA中 由勾股定理可知 TA 2 AO TA APT APO 存在点T 使 APT APO 点T的坐标为 3 类型六切线问题 遵义2015 27 3 铜仁2015 23 3 方法指导 抛物线中有关圆的切线的问题 一般为两种类型 已知直线与圆相切的相关计算 已知直线与圆相切 求直线解析式 对这两种问题 一般解题方法如下 已知圆与直线相切时 连接切点与圆心 得到垂直 再结合题干中的已知条件 利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算 若判断抛物线对称轴与圆的位置关系 只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定 若已知圆与直线相切 需根据题意分析 切线只存在一条 还是两条 若为两条 常要进行分类讨论计算 然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标 得到直线解析式 典例精讲 例如图 抛物线与x轴交于点A 4 0 B 2 0 与y轴交于点C 0 2 1 求抛物线的解析式 思维教练 根据题意设抛物线的顶点式 将C 0 2 代入即可得解 例题图 解 抛物线过点A 4 0 B 2 0 设抛物线解析式为 y a x 4 x 2 把C 0 2 代入 得2 a 4 2 即a 所求抛物线的解析式为y x 4 x 2 x2 x 2 2 若点D为该抛物线上的一个动点 且在直线AC上方 当以A C D三点为顶点的三角形面积最大时 求点D的坐标及此时三角形的面积 思维教练 求解此题 关键是用D的坐标表示出 ACD的面积 且由题意知yD 0 将 ACD拆分成同底 且以点A C为顶点的两个三角形求解 例题图 解 依题意可设D x x2 x 2 4 x 0 如解图 连接AC 过点D作DF x轴交AC于点F 设直线AC的解析式为y kx b k 0 将点A 4 0 C 0 2 代入 得 解得 直线AC的解析式为y x 2 F x x 2 S ADC S ADF S CDF xD xA yD yF xC xD yD yF xC xA yD yF 4 x2 x 2 x 2 x2 2x x 2 2 2 0 4 x 0 当x 2时 S ADC有最大值 最大值为2 此时D 2 2 例题解图 3 以AB为直径作 M 直线l经过点E 1 5 并且与 M相切 求直线l的解析式 思维教练 解此题的关键是确定切点坐标 设切点为F 由题可得圆心点M坐标 半径长 点M与E为平行于y轴的直线上的两点 有切点 故构造直角三角形是解题切入点 由于过圆外一点存在两条圆的切线 故此题有两种情况 例题图 解 如解图 以AB为直径作 M 且由解图易知 存在两条过点E且与 M相切的直线l1 l2 切点分别为P Q 连接MP MQ AB 6 以AB为直径的 M的半径为3 即M 1 0 设切点Q坐标为