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习题课 数值微分和数值积分 用三点公式求在x 1 0 1 1 1 2处的导数值 f x 的函数值如下所示 解 x0 1 0 x1 1 1 x2 1 2 h 0 1 6 若用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积分 问区间 0 1 应多少等分才能使截断误差不超过0 5 10 5 若改用复化辛普生公式 要得到同样精度区间 0 1 应多少等分 解 利用给定的精度和两种方法的余项公式进行计算 0 x 1 由复化梯形截断误差公式 得 解得 所以积分区间应等分213份 由复化辛卜生截断误差公式 得 所以积分区间应等分4份 解得 已知 1 推导以这3个点作为求积节点在 0 1 上的插值型求积公式 2 指明求积公式所具有的代数精度 3 用所求公式计算 4 指出所得公式与一般的Newton Cotes型公在形式上的重要区别 解 1 所以该插值型求积公式为 2 求代数精度 f x 分别取1 x x2 x3 代入求积公式 左边 1 右边 左 右 右边 左边 左 右 左边 右边 左 右 右边 左边 左 右 右边 左边 左 右 所以该公式具有3次代数精度 3 计算积分值 4 这也是一个等距节点的插值公式 它与一般Newton Cotes公式的区别是该公式的求和项中不包含积分的上下限对应的函数值 已知飞机在高度H的上升速度v H 如下 用复化梯形公式求从地面 H 0 上升到H 10km高空所需的时间 解 复化梯形 试确定积分公式中的A B C使积分公式的代数精度最高 并指出实际的代数精度 解 令f x 1 x x2 则 给定求积分公式 f x 1 左边 右边 f x x2 左边 右边 f x x 左边 右边 解得 关于A B C的三元一次方程组 该积分公式可写为 下面确定该公式实际代数精度 再取f x x3 左边 右边 左边 右边 所以该求积公式具有3阶代数精度 再取f x x4代入 得 左边 右边 用龙贝格方法计算下列积分 要求精确到10 2 解 1 2 将区间 0 1 二等分 x 0 5是新分点 得 在区间 0 1 上使用梯形公式 得 3 再将区间等分 增加的分点为 4 将区间再等分 增加的分点为 5 将区间再等分 增加的分点为 注意 什么时候停止计算 1 物理量x的准确值 相对误差限和绝对误差限分别是x r和 它们三者的关系是 2 最小二乘法拟合与插值的区别是什么 3 已知f 0 99 2 691 f 1 00 2 718 f 1 01 2 746 用一阶三点公式计算出f 1 00 4 求求积公式 代数精度 5 计算 应避免 小测验 6 写出拉格朗日插值二次插值的基本形式7 牛顿 柯特斯积分公式的特点是什么 几种公式的代数精度分别是多少 8 为什么要提出复化积分的概念 写出复化
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