数列知识点总结及题型归纳总结

让学习成为一种习惯 1 高三总复习高三总复习 数列数列 一 数列的概念一 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 在数列第一个位置的项叫第 1 项 或首项 在第二个 n a 位置的叫第 2 项 序号为 的项叫第项 也叫通项 记作 nn n a 数列的一般形式 简记作 1 a 2 a 3 a n a n a 例 判断下列各组元素能否构成数列 1 a 3 1 1 b 5 7 9 2 2010 年各省参加高考的考生人数 2 通项公式的定义 如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示 那么这个公式 n a 就叫这个数列的通项公式 例如 1 2 3 4 5 5 1 4 1 3 1 2 1 1 数列 的通项公式是 7 n ann nN 数列 的通项公式是 n a 1 n nN 说明 表示数列 表示数列中的第项 表示数列的通项公式 n a n an n a f n 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 例如 n a 1 n 1 21 1 2 nk kZ nk 不是每个数列都有通项公式 例如 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示 序号 1 2 3 4 5 6 项 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射 从函数观点看 数 列实质上是定义域为正整数集 或它的有限子集 的函数当自变量从 1 开始依次取值时对应的一系N f nn 列函数值 通常用来代替 其图象是一群孤立点 1 2 3 fff f n n a f n 例 画出数列的图像 12 nan 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 按数列项与项之间的大小关 系分 单调数列 递增数列 递减数列 常数列和摆动数列 例 下列的数列 哪些是递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 1 1 2 3 4 5 6 2 10 9 8 7 6 5 3 1 0 1 0 1 0 4 a a a a a 5 数列 的前项和与通项的关系 n an n S n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 例 已知数列的前 n 项和 求数列的通项公式 n a32 2 nsn n a 让学习成为一种习惯 2 练习 练习 1 根据数列前 4 项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2 21 2 2 31 3 2 41 4 2 51 5 3 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 4 9 99 999 9999 5 7 77 777 7777 6 8 88 888 8888 2 数列中 已知 n a 2 1 3 n nn anN 1 写出 1 a 2 a 3 a 1n a 2 n a 2 是否是数列中的项 若是 是第几项 2 79 3 3 2003 京春理 14 文 15 在某报 自测健康状况 的报道中 自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点 用适当的数填入表中空白 内 4 由前几项猜想通项 根据下面的图形及相应的点数 在空格及括号中分别填上适当的图形和数 写出点数的通项公式 5 观察下列各图 并阅读下面的文字 像这样 10 条直线相交 交点的个数最多是 其通项公式为 A 40 个 B 45 个 C 50 个 D 55 个 二 等差数列二 等差数列 2 条直线相交 最多有 1 个 交点 3 条直线相交 最多有 3 个 交点 4 条直线相交 最多有 6 个 交点 1 4 7 让学习成为一种习惯 3 题型一题型一 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么2 这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母表示 用递推公式表示为d 或 1 2 nn aad n 1 1 nn aad n 例 等差数列 12 nan 1nn aa 题型二题型二 等差数列的通项公式 1 1 n aand 说明 等差数列 通常可称为数列 的单调性 为递增数列 为常数列 为递减数列 A Pd0 0d 0d 例 1 已知等差数列中 等于 n a 12497 116aaaa 则 A 15 B 30 C 31 D 64 2 是首项 公差的等差数列 如果 则序号等于 n a 1 1a 3d 2005 n a n A 667 B 668 C 669 D 670 3 等差数列 则为 为 填 递增数列 或12 12 nbna nnn a n b 递减数列 题型三题型三 等差中项的概念 定义 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 其中 aAbAab 2 ab A 成等差数列 即 aAb 2 ab A 21 2 nnn aaa mnmnn aaa 2 例 1 14 全国 I 设是公差为正数的等差数列 若 则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 2 设数列是单调递增的等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 n a A 1 B 2 C 4 D 8 题型四题型四 等差数列的性质 1 在等差数列中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 n a 2 在等差数列中 相隔等距离的项组成的数列是等差数列 n a 3 在等差数列中 对任意 n amnN nm aanm d nm aa d nm mn 4 在等差数列中 若 且 则 n amnpqN mnpq mnpq aaaa 题型五题型五 等差数列的前和的求和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad n d a 2 n 2 1 1 2 是等差数列 2 为常数BABnAnSn n a 递推公式 2 2 1 1 naa naa S mnm n n 例 1 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 让学习成为一种习惯 4 2 2015 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 3 2015 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 4 2015 重庆文 2 在等差数列 n a中 19 10aa 则 5 a的值为 A 5 B 6 C 8 D 10 5 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 6 已知等差数列的前项和为 若 n an n S 1185212 21aaaaS 则 7 2014 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 8 2014 全国 已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 100 求数列 bn 的通项bn 9 已知数列是等差数列 其前 10 项的和 则其公差等于 n a10 10 a70 10 Sd C D 3 1 3 2 BA 3 1 3 2 10 2015 陕西卷文 设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 63 12as 则 n a 11 2013 全国 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列 的前n项和 求Tn n Sn 12 等差数列的前项和记为 已知 n an n S5030 2010 aa 求通项 若 242 求 n a n Sn 13 在等差数列中 1 已知 2 已知 3 已 n a 8121 48 168 SSad 求和 6588 10 5 aSaS 求和 知 31517 40 aaS 求 让学习成为一种习惯 5 题型六题型六 对于一个等差数列 1 若项数为偶数 设共有项 则 偶奇 2nS Snd 1 n n Sa Sa 奇 偶 2 若项数为奇数 设共有项 则 奇偶 21n S S n aa 中 1 Sn Sn 奇 偶 题型七题型七 对与一个等差数列 仍成等差数列 nnnnn SSSSS 232 例 1 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则它的前 3m项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 2 一个等差数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn 3 已知等差数列的前 10 项和为 100 前 100 项和为 10 则前 110 项和为 n a 4 设为等差数列的前项和 n S n an 97104 3014SSSS 则 5 2015 全国 II 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 3 6 S S 1 3 6 12 S S A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 题型八题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法 定义法 是等差数列 常数 Nndaa nn 1 n a 中项法 是等差数列 2 21 Nnaaa nnn n a 通项公式法 是等差数列 为常数bkbknan n a 前项和公式法 n 是等差数列 2 为常数BABnAnSn n a 例 1 已知数列满足 则数列为 n a2 1 nn aa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列的通项为 则数列为 n a52 nan n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a42 2 nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 4 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 2 2nsn n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 让学习成为一种习惯 6 5 已知一个数列满足 则数列为 n a02 12 nnn aaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 6 数列满足 8 n a 1 a022 124 nnn aaaa 且 Nn 求数列的通项公式 n a 7 14 天津理 2 设Sn是数列 an 的前n项和 且Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列 B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列 D 既非等比数列又非等差数列 题型九题型九 数列最值 1 时 有最大值 时 有最小值 1 0a 0d n S 1 0a 0d n S 2 最值的求法 若已知 n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn 的最值 n S n S 可用二次函数最值的求法 或者求出 n a中的正 负分界项 即 nN 若已知 则最值时的值 可如下确定或 n a n SnnN 1 0 0 n n a a 1 0 0 n n a a 例 1 等差数列中 则前 项的和最大 n a 1291 0SSa 2 设等差数列的前项和为 已知 n an n S0012 13123 SSa 求出公差的范围 d 指出中哪一个值最大 并说明理由 1221 SSS 3 12 上海 设 an n N N 是等差数列 Sn是其前n项的和 且S5 S6 S6 S7 S8 则下列结论错误 的是 A d 0 B a7 0 C S9 S5 D S6与 S7均为 Sn的最大值 让学习成为一种习惯 7 4 已知数列的通项 则数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 n a 99 98 n n Nn n a 5 已知是等差数列 其中 公差 n a 1 31a 8d 1 数列从哪一项开始小于 0 n a 2 求数列前项和的最大值 并求出对应的值 n ann 6 已知是各项不为零的等差数列 其中 公差 若 求数列前项和的最大 n a 1 0a 0d 10 0S n an 值 7 在等差数列中 求的最大值 n a 1 25a 179 SS n S 题型十题型十 利用求通项 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 1 数列的前项和 1 试写出数列的前 5 项 2 数列是等差数列吗 3 你能写出 n an 2 1 n Sn n a 数列的通项公式吗 n a 让学习成为一种习惯 8 2 已知数列的前项和则 n an 14 2 nnSn 3 设数列的前 n 项和为 Sn 2n2 求数列的通项公式 n a n a 4 已知数列中 前和 n a 3 1 an1 1 1 2 1 nn anS 求证 数列是等差数列 n a 求数列的通项公式 n a 5 2015 安徽文 设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 等比数列等比数列 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比 数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 即 q 0 q 1n a 0 n aq q 一 递推关系与通项公式一 递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广 通项公式 递推关系 1 1 1 q 1 在等比数列中 则 n a2 4 1 qa n a 2 在等比数列中 则 n a 3 7 12 2aq 19 a 3 2014 重庆文 在等比数列 an 中 a2 8 a1 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 4 在等比数列中 则 n a2 2 a54 5 a 8 a 让学习成为一种习惯 9 5 在各项都为正数的等比数列中 首项 前三项和为 21 则 n a 1 3a 345 aaa A 33 B 72 C 84 D 189 二 等比中项 若三个数二 等比中项 若三个数成等比数列 则称成等比数列 则称为为的等比中项 且为的等比中项 且为是成是成cba bca与acbacb 2 注 等比数列的必要而不充分条件等比数列的必要而不充分条件 例 1 和的等比中项为 23 23 1A 1B 1C 2D 2 2013 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前 n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 三 等比数列的基本性质 三 等比数列的基本性质 1 1 1 qpnm aaaaqpnm 则若 Nqpnm其中 2 2 Nnaaa a a q mnmnn m nmn 3 为等比数列 则下标成等差数列的对应项成等比数列 n a 4 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列 n a n a 例 1 在等比数列中 和是方程的两个根 则 n a 1 a 10 a 2 2510 xx 47 aa 5 2 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 在等比数列 已知 则 n a5 1 a100 109 aa 18 a 3 在等比数列中 n a 14361 3233 nn aaaaaa 求 n a 若 nnn TaaaT求 lglglg 21 让学习成为一种习惯 10 4 等比数列的各项为正数 且 n a 56473132310 18 loglogloga aa aaaa 则 A 12 B 10 C 8 D 2 3 log 5 5 2014 广东卷理 已知等比数列 n a 满足 0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则当 1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 n D 2 1 n 2 2 前项和公式n 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例 1 已知等比数列的首相 公比 则其前 n 项和 n a5 1 a2 q n S 2 已知等比数列的首相 公比 当项数 n 趋近与无穷大时 其前 n 项 n a5 1 a 2 1 q 和 n S 3 设等比数列的前 n 项和为 已 求和 n a n S 6 2 a306 31 aa n a n S 4 2015 年北京卷 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 5 2014 全国文 21 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 S6 2S9 求数列的公比q 6 设等比数列的公比为 q 前 n 项和为 Sn 若 Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则 q n a 的值为 3 3 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成等比数列 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 例 1 2014 辽宁卷理 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 若 6 3 S S 3 则 6 9 S S A 2 B 7 3 C 8 3 D 3 2 一个等比数列前项的和为 48 前 2项的和为 60 则前 3项的和为 nnn A 83 B 108 C 75 D 63 让学习成为一种习惯 11 3 已知数列是等比数列 且 n a mmm SSS 32 3010 则 4 4 等比数列的判定法 1 定义法 为等比数列 常数 q a a n n 1 n a 2 中项法 为等比数列 0 2 2 1nnnn aaaa n a 3 通项公式法 为等比数列 为常数 qkqka n n n a 4 前项和法 为等比数列 n 为常数 qkqkS n n 1 n a 为等比数列 为常数 qkkqkS n n n a 例 1 已知数列的通项为 则数列为 n a n n a2 n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 2 已知数列满足 则数列为 n a 0 2 2 1 nnnn aaaa n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 3 已知一个数列的前 n 项和 则数列为 n a 1n 22 n s n a A 等差数列 B 等比数列 C 既不是等差数列也不是等比数列 D 无法判断 5 5 利用求通项 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 例 1 2015 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求a2 a3 a4 1 1 3 nn aS 的值及数列 an 的通项公式 2 2015 山东卷 已知数列的首项前项和为 且 证明数 n a 1 5 a n n S 1 5 nn SSnnN 列是等比数列 1 n a 让学习成为一种习惯 12 四 求数列通项公式方法四 求数列通项公式方法 1 1 公式法 定义法 公式法 定义法 根据等差数列 等比数列的定义求通项根据等差数列 等比数列的定义求通项 例 1 已知等差数列满足 求 n a26 7 753 aaa n a 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 1 2 11 naaa nn n a 3 数列满足 8 求数列的通项公式 n a 1 a022 124 nnn aaaa 且 Nn n a 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a2 11 2 1 1 nn aa a n a 5 设数列满足且 求的通项公式 n a0 1 a1 1 1 1 1 1 nn aa n a 让学习成为一种习惯 13 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 2 n n n a aa a n a 7 等比数列的各项均为正数 且 求数列的通项公式 n a132 21 aa 62 2 3 9aaa n a 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 3 2 11 naaa nn n a 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 1221 42 nnn aaaaa且 Nn n a 10 已知数列满足且 求数列的通项公式 n a 2 1 a 1 1 52 5 nn nn aa Nn n a 让学习成为一种习惯 14 11 已知数列满足且 求数列的通项公 n a 2 1 a 1 1 5 223 5 22 nn nn aa Nn n a 式 12 数列已知数列满足则数列的通项公式 n a 11 1 41 1 2 nn aaan n a 2 2 累加法累加法 1 累加法 累加法 适用于 适用于 1 nn aaf n 若 则 1 nn aaf n 2 n 21 32 1 1 2 nn aaf aaf aaf n 两边分别相加得 11 1 n n k aaf n 例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 14 1 2 1 2 11 n aaa nn n a 让学习成为一种习惯 15 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 4 设数列满足 求数列的通项公式 n a2 1 a 12 1 23 n nn aa n a 3 累乘法 累乘法 适用于 适用于 1 nn af n a 若 则 1 n n a f n a 312 12 1 2 n n aaa fff n aaa 两边分别相乘得 1 1 1 1 n n k a af k a 让学习成为一种习惯 16 例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 2 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 3 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 4 4 待定系数法待定系数法 适用于适用于 1 nn aqaf n 解题基本步骤 1 确定 f n 2 设等比数列 公比为 1 n af n 3 列出关系式 1 2211 nfanfa nn 4 比较系数求 1 2 5 解得数列的通项公式 1 n af n 6 解得数列解得数列的通项公式的通项公式 n a 让学习成为一种习惯 17 例 1 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 1 21 2 nn aaan n a 2 2015 重庆 文 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 1 23 1 nn aaan n a 3 2014 福建 理 22 本小题满分 14 分 已知数列满足求数列的通 n a 11 1 21 nn aaanN n a 项公式 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 设 1 1 52 5 nn nn axax 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 设 1 1 23 2 nn nn axyaxy 让学习成为一种习惯 18 6 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 11 24 31 n nn aaa n a 递推公式为 其中 p q 均为常数 先把原递推公式转化为其中 nnn qapaa 12 112nnnn saatsaa s t 满足 qst pts 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2112 56 1 2 nnn aaa aa n a 让学习成为一种习惯 19 5 递推公式中既有 递推公式中既有 n S 分析 把已知关系通过转化为数列或的递推关系 然后采用相应的方法求解 1 1 1 2 n nn S n a SSn n a n S 1 2015 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求a2 a3 a4的值 1 1 3 nn aS 及数列 an 的通项公式 2 2015 山东卷 已知数列的首项前项和为 且 证明数列 n a 1 5 a n n S 1 5 nn SSnnN 是等比数列 1 n a 3 已知数列中 前和 n a 3 1 an1 1 1 2 1 nn anS 求证 数列是等差数列 n a 求数列的通项公式 n a 让学习成为一种习惯 20 4 已知数列的各项均为正数 且前 n 项和满足 且成等比数列 求数 n a n S 1 1 2 6 nnn Saa 249 a a a 列的通项公式 n a 6 倒数变换法 倒数变换法 适用于分式关系的递推公式 分子只有一项适用于分式关系的递推公式 分子只有一项 例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 2 n n n a aa a n a 7 7 对无穷递推数列对无穷递推数列 消项得到第与项的关系1 nn 例 1 2014 年全国 I 第 15 题 原题是填空题 已知数列满足 n a 求的通项公式 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 2 设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求数列 n a的通项 让学习成为一种习惯 21 五 数列求和五 数列求和 1 1 直接用等差 等比数列的求和公式求和 直接用等差 等比数列的求和公式求和 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 公比含字母时一定要讨论 理 无穷递缩等比数列时 q a S 1 1 例 1 已知等差数列满足 求前项和 n a 1 1 a3 2 an n S 2 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n项和Sn 100 则n A 9 B 10 C 11 D 12 3 已知等比数列满足 求前项和 n a 1 1 a3 2 an n S 4 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n等于 A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 2 2 错位相减法求和 如 错位相减法求和 如 2211 的和求等比等差 nnnn babababa 例 1 求和 21 123 n n Sxxnx 2 求和 n n a n aaa S 32 321 让学习成为一种习惯 22 3 设是等差数列 是各项都为正数的等比数列 且 n a n b 11 1ab 35 21ab 53 13ab 求 的通项公式 求数列的前n项和 n a n b n n a b n S 3 3 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾若干项 裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差 正负相消剩下首尾