七年级数学正数和负数、数轴、相反数华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 七年级数学正数和负数 数轴 相反数七年级数学正数和负数 数轴 相反数华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 正数和负数 数轴 相反数 学习目标 1 体会到现实世界中具有相反意义的量的含义 并能用有理数表示 2 能在数轴上表示有理数 并借助数轴理解相反数的意义 3 会求有理数的相反数 知识内容 一 正数和负数 在日常生活中 常遇到一些具有相反意义的量 如 向东和向西 零上和零下 收入 和支出 上升和下降等 只用原来小学学过的数很难区分这些具有相反意义的量 例如零 上 5 用 5 表示 那么零下 5 再用一个数 5 表示就不够了 在天气预报图中 零下 5 是 用 5 表示的 对于具有相反意义的量 我们可把其中一种意义的量规定为正的 用过去学过的数表 示 把与它意义相反的量规定为负的 用过去学过的数 零除外 前面放上一个 读 作 负 号表示 就拿温度为例 通常规定零上为正 于是零下为负 零下 5 用 5 表示 象 5 2 等这样的数是一种新数 叫做负数 过去学过的那些数 零除外 如 10 3 1 2 等 叫正数 正数前面有时也放一个 读作 正 号 零既不是正数 也不是负数 正整数 零 负整数统称整数 正分数和负分数统称分数 整数和分数统称有理数 我们可以作出如下的分类表 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 或有理数 正有理数 正整数 正分数 零 负有理数 负整数 负分数 二 数轴 我们在小学学习数学时 就能用直线上依次排列的点表示自然数 它帮助我们认识了 自然数的大小关系 我们可以在一条直线上规定一个正方向 用这条直线上的点表示正数 负数 零 具体做法如下 画一条直线 通常画成水平位置 在这条直线上任取一点作为原点 用这点表示 0 规定直线上从原点向右为正方向 画上箭头 而相反方向为负方向 再取适当的长度作为 单位长度 从原点向右 每隔一个单位长度取一点 依次标上 1 2 3 从原点向 用心 爱心 专心 左 每隔一个单位长度取一点 依次标上 1 2 3 如图所示 4 3 2 1 0 1 2 3 4 像这样规定了原点 正方向和单位长度的直线叫做数轴 在数轴上画出表示有理数的点 除了数零用原点表示外 对于不为零的任一有理数 可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边 正数在原点的右边 负数在原点的 左边 再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度 然后画上点 例如 表示 4 5 的点 应在原点的左边 4 5 个单位处 在数轴上表示的两个数 右边的数总是比左边的数大 比较有理数大小的法则 正数都大于零 负数都小于零 正数大于负数 三 相反数 如图所示 在数轴上 6 和 6 所对应的点位于原点两旁 且与原点的距离相等 6 5 4 1 5 1 5 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 也就是说 它们相对于原点的位置只有方向不同 1 5 和 1 5 所对应的点也是这样 容易看出 5 与 5 4 与 4 都只有符号不同 像以上这样只有符号不同的两个数称互为相反数 例 1 5 和 1 5 互为相反数 即 1 5 是 1 5 的相反数 1 5 是 1 5 的相反数 在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁 且与原点的距离相等 零的相反数是零 典型例题典型例题 例 1 下列说法是否正确 正确的打 错误的打 并说明理由 1 前进 2km 记作 2km 那么 5km 就表示后退 5km 2 有理数中不是正数的数就是负数 3 有一种记法 80 分以上如 88 分记为 8 某学生得分为 74 分 应记为 6 分 4 负整数和非负整数统称为整数 分析 分析 本例应准确把握互为相反意义的量的含义以及有理数的两种分类标准才能准确 判断 解 解 1 根据互为相反意义的量的含义 5km 应表示后退 5km 后退 5km 就表示前进 5km 2 有理数包括正数 负数以及 0 而本小题忽视了 0 为有理数这一特殊情况 3 0 的标准我们可以根据具体情况而定 故本题 80 分相当于 0 分 所以 80 分以上为正 80 分以下为负 故 74 分应记为 6 分 4 整数包括正整数 负整数 零 而非负整数指正整数和零 所以本题对整 数的分类正确 说明 对类似于本例的说理判断题 应注意灵活运用 全面把握各概念 否则易因考 用心 爱心 专心 虑不周全 似是而非致错 例 2 把下列各数填入相应的大括号内 0 1 0 7301300 0142857 9 3 355 113 1 正整数集 2 分数集 3 正分数集 4 负分数集 分析 分析 正数集合包括所有的正整数和正分数 分数集合包括所有的正分数和负分数 解 解 1 正整数集 300 9 3 2 分数集 30101 3 正数集 301300 01 9 3 4 负分数集 0142857 355 113 说明 说明 本例是对有理进行分类 做题之前首先要明确各集合的含义 特别是对于以分 数和百分数形式出现的数应注意化简 如本例中的 300 和 经化简后为正整数 9 3 例 3 用正数 负数表示下面各组具有相反意义的量 并指出它们的分界点 1 零上 10 与零下 5 2 高于海平面 100 米与低于海平面 200 米 分析 分析 在现实世界中 存在着大量具有相反意义的量 比如收入与支出 上升与下降 零上温度与零下温度等 引入负数后 我们就可以用相应的数表示它们 解 解 1 如果用正数表示零上温度 那么零上 10 就表示 10 零下 5 就表示为 5 它的分界点是 0 2 如果用正数表示高出海平面的高度 那么高出海平面 100 米就表示为 100 米 而低于海平面 200 米就表示为 200 米 海平面就是它的分界点 用 0 表示 说明 具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示 另一个量就用负数来表示 到底用正数 还是用负数来表示其中的一个量 只是我们的一种规定 但也常遵守人们的 习惯 比如人们习惯用正数表示零上温度 用正数表示收入等 例 4 数轴上与表示 2 的点距离是 3 个单位长度的点有几个 它们分别是什么数 分析 分析 在数轴上 与已知点距离相等的点一定有两个 它们分别位于该点的左 右两 边 解 解 与表示 2 的点的距离是 3 个单位长度的点有两个 它们分别是 1 和 5 说明 说明 类似于本例借助于数轴求解的题目 我们只需把已知点按照题中要求移动 如 本题移动 3 个单位长度 左右各移动一次 即可求得两个数 本题易出现考虑不全只有一 个数的情况 用心 爱心 专心 例 5 如图所示 在数轴上有三个点 A B C 请回答 A B C 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 将 B 点向左移动 3 个单位后 三个点所表示的数谁最小 是多少 2 将 A 点向右移动 4 个单位后 三个点所表示的数谁最小 是多少 3 将 C 点向左移动 6 个单位后 这时 B 点表示的数比 C 点表示的数大多少 4 怎样移动 A B C 中的两个点 才能使三个点表示的数相同 有几种移动的方 法 解 解 1 因为将 B 点向左移动 3 个单位后 点 B 表示 5 而点 A 表示 4 点 C 表 示 3 因此点 B 表示的数最小 是 5 2 将 A 点向右移动 4 个单位后 点 A 表示 0 点 B 表示 2 点 C 表示 3 因此点 B 表示的数最小 是 2 3 将 C 点向左移动 6 个单位后 C 点表示数 3 A 点表示数 4 B 点表示数 2 所以 B 点表示的数比 C 点表示的数大 1 4 使三个点表示的数相同共有三种移动的方法 第一种 把点 A 向右移动 2 个单位 点 C 向左移动 5 个单位 第二种 把 B 点向左移动 2 个单位 C 点向左移动 7 个单位 第三种 把 A 点向右移动 7 个单位 B 点向右移动 5 个单位 例 6 某人从 A 地向东走 10 米 然后折回向西走 3 米 又折回向东走 6 米 此人在 A 地哪个方向 距离是多少 分析 分析 我们可以借助数轴求解 以 A 地为原点 1cm 长表示 2m 向东的方向表示数 轴的正方向 解 解 A B D C 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 观察数轴得知 此人在 A 地向东方向 距离为 13 米 说明 说明 借助数轴求解 即把实际问题转化为数学知识模型 实际行走路线是 ADBC 例 7 判断下列语句是否正确 正确的打 错误的打 并说明理由 1 符号相反的两个数叫做互为相反数 2 互为相反数的两个数不一定一个是正数 一个是负数 3 相反数和我们以前学过的倒数是一样的 分析 分析 本例要求准确理解相反数的定义 只有符号不同的两个数称互为相反数 其中 只有 指的是除了符号不同以外完全相同 解 解 1 符号相反的两个数不一定互为相反数 如 3 和 5 虽然符号 相反 但它们不是互为相反数 用心 爱心 专心 2 因为 0 的相反数是 0 但 0 既不是正数 也不是负数 3 相反数和我们以前学过的倒数是两种绝然不同的意义 互为相反数对符号 提出了要求 但倒数并没有此限定 说明 说明 对类似于本例的说理判断题 应注意特殊的数 0 注意 0 的相反数是本身 例 8 化简下列各数的符号 并回答后面的问题 1 3 1 2 2 4 1 5 3 5 4 2 5 3 6 3 7 2 前面有 2000 个正号 2001 个负号 化简后的结果是 符号化 简的规律为 分析 分析 某数的相反数在形式上表现为在该数前面添加 号 本例应从相反数本身 出发 总结化简规律 解 解 1 2 3 1 2 4 1 5 3 4 5 2 5 3 6 3 7 2 前面有 2000 个正号 2001 个负号 化简的结果是 2 符号化简的规律是 一个数符号的改变与它前面的正号无关 与负号的个数有关 当 负号的个数为奇数时 这个数的符号改变 正的变为负的 负的变为正的 当负号的个数 为偶数时 这个数的符号不变 例 9 已知 a 和 b 互为相反数 m n 互为倒数 求 的c 222ab mn c 值 分析 分析 相反数有一个很重要的性质 若两个数互为相反数 则这两个数的和为零 倒 数也有一个很重要的性质 若两个非零的数互为倒数 则这两个数的积为 1 解 解 根据题意知 abmn 01 又 c 22 22 2 ab mn c ab mn c 用心 爱心 专心 20 1 2 1 2 例 10 有理数 a b c 的位置如图 1 所示 试确定下列各组数之间的大小关系 a b 0 c 图 1 1 a 与 b 2 与 a b 3 与 4 与 bc ac 5 与 6 与a cb c 分析 分析 把 a b c 的相反数在数轴上表示出来 因为在数轴上表示的两个数 右边的 数总是比左边的大 我们就可以比较出以上各组数的大小 解 解 把表示在数轴上 如图 2 所示 由图可知 abc a c b 0 b c a 图 2 1 2 ab ab 3 4 bc ac 5 6 ac bc 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 正整数集合和负整数集合合在一起 构成数的集合是 A 整数集合 B 有理数集合 C 自然数集合 D 非零整数集合 2 下列说法 1 零是正数 2 零是整数 3 零是最小的有理数 4 零是非负数 5 零是偶数 其中正确说法的个数为 A 2B 3C 4D 5 3 下列说法正确的是 A 有理数是指整数 分数 正有理数 零 负有理数这五类数 B 一个有理数不是正数就是负数 C 一个有理数不是整数就是分数 D 以上说法都正确 4 如图所示 根据有理数 a b c 在数轴上的位置 下列关系正确的是 c a 0 b A B bca 0abc 0 用心 爱心 专心 C D acb 0bac 0 5 若有理数 在数轴上点 M 表示数 m 点 N 表示数 n 那么下面说法正确的是mn A 点 M 在点 N 的右边 B 点 M 在点 N 的左边 C 点 M 在原点右边 点 N 在原点的左边 D 点 M 和点 N 都在原点的右边 6 数轴上表示整数的点称为整点 某数轴的单位长度是 1 厘米 若在这个数轴上随意画 出一条长 2000 厘米的线段 AB 则线段 AB 盖住的整点共有 个 A 1998 或 1999 B 1999 或 2000 C 2000 或 2001 D 2001 或 2002 7 数轴上点 A B C D 分别表示数 a b c d 已知 A 在 B 的右侧 C 在 B 的左侧 D 在 B C 之间 则下列式子成立的是 A B abcd bcda C D cdab cdba 8 一个数大于它的相反数 那么这个数是 A 负数B 正数 C 非负数D 非正数 9 下列说法 1 3 是相反数 2 3 和 3 都是相反数 3 3 是 3 的相反数 4 3 和 3 互为相反数 5 3 是 3 的相反数 6 一个数的相反数必定是另一个数 其中正确的为 A 1 3 5 B 2 4 6 C 2 3 4 D 3 4 5 二 填空 1 设向东走为正 向东 30 米 记作 向西走 20 米记作 原 地不动记作 记作 25 米表示向 走 25 米 记作 16 米 表示向 走 16 米 2 把下列各数 分别填在 3405 1 3 08608870 5 6 7 相应的大括号里 正有理数集合 非负有理数集合 整数集合 负分数集合 3 数轴上点 M 表示 2 点 N 表示 3 5 点 A 表示 1 点 M 和点 N 中 距离点 A 较远 的是 4 若点 P 在数轴上原点的右边 则点 P 表示的是 数 3 在数轴上原 用心 爱心 专心 点的 边 表示 3 的点距离原点 个单位长度 距离 原点 3 个单位长度的点表示的有理数是 5 阅读下面的文字并回答问题 1 的相反数是 1 则 110 0 的相反数是 0 则000 的相反数是 则 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 0 故 a b 互为相反数 则 若 则 a b 互为相反数 ab 0ab 0 说明了 相反 也成立 三 计算 1 张金同学给自己的压岁钱记了流水账 大姑给 50 元 二姑给 30 元 三叔给 20 元 去动物园花了 10 元 记为 10 元 买文具用品花了 15 元 记为 15 元 他的账上余额为 多少元 2 工厂生产乒乓球的重量是规定的 但实际生产出的乒乓球 可能重一点或轻一点 比 标准重量重 0 02 克 记 0 02 克 比标准重量轻 0 02 克 记作 0 02 克 恰好等于标准重 量记作 0 克 现有 10 个乒乓球 称得它们的重量比标准重量重 0 02 克 0 01 克 0 克 0 02 克 0 01 克 0 03